Corrigé de l’exercice 1 : fonction exponentielle et suite, deux protocoles de traitement
Partie A
1. a. La fonction \( f \) est de la forme \( u \times v \) avec \( u(t) = 3t \) et \( v(t) = \text{e}^{-0{,}5t+1} \). On a \( u'(t) = 3 \) et \( v'(t) = -0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t+1} \). Donc :
\[ f'(t) = 3\,\text{e}^{-0{,}5t+1} + 3t \times (-0{,}5)\,\text{e}^{-0{,}5t+1} = 3\,\text{e}^{-0{,}5t+1}\left(1 - 0{,}5t\right). \]
On retrouve bien \( f'(t) = 3(-0{,}5t+1)\,\text{e}^{-0{,}5t+1} \).
b. Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \( f'(t) \) a le même signe que \( -0{,}5t + 1 \). Or \( -0{,}5t + 1 \geqslant 0 \) équivaut à \( t \leqslant 2 \). La fonction \( f \) est donc croissante sur \( [0\,;\,2] \) et décroissante sur \( [2\,;\,10] \). On calcule : \( f(0) = 0 \), \( f(2) = 6\,\text{e}^{0} = 6 \) et \( f(10) = 30\,\text{e}^{-4} \approx 0{,}55 \).
| \( t \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 10 \) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \( f'(t) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | ||
| Variations de \( f \) | \( 0 \) | croît | \( 6 \) | décroît | \( 30\,\text{e}^{-4} \) |
c. D'après le tableau, le maximum est atteint en \( t = 2 \) : la quantité de médicament est maximale au bout de 2 heures, et elle vaut alors 6 mg.
2. a. Sur \( [0\,;\,2] \), la fonction \( f \) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \( f(0) = 0 \) et \( f(2) = 6 \). Comme \( 5 \in [0\,;\,6] \), le théorème des valeurs intermédiaires (version strictement monotone) assure que l'équation \( f(t) = 5 \) a une unique solution \( \alpha \) dans \( [0\,;\,2] \). À la calculatrice (tableau de valeurs ou résolution), on trouve \( \alpha \approx 1{,}02 \).
b. D'après les variations, \( f(t) \geqslant 5 \) exactement lorsque \( t \in [\alpha\,;\,\beta] \). La durée d'efficacité vaut donc \( \beta - \alpha \approx 3{,}46 - 1{,}02 = 2{,}44 \) heures. En minutes : \( 2{,}44 \times 60 = 146{,}4 \). Le médicament est efficace pendant environ 146 minutes, soit 2 h 26 min.
Partie B
1. Après une heure, il reste 70 % des 2 mg, puis on réinjecte 1,8 mg : \( u_1 = 0{,}7 \times 2 + 1{,}8 = 1{,}4 + 1{,}8 = \) 3,2 mg.
2. Juste après la \( n \)-ième injection, il y a \( u_n \) mg. Une heure plus tard, une diminution de 30 % laisse \( 0{,}7\,u_n \) mg. La nouvelle injection ajoute 1,8 mg, d'où \( u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 1{,}8 \).
3. a. Pour tout entier \( n \), on note \( P(n) \) la propriété \( u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6 \).
Initialisation. \( u_0 = 2 \) et \( u_1 = 3{,}2 \), donc \( u_0 \leqslant u_1 \lt 6 \) : \( P(0) \) est vraie.
Hérédité. Soit \( n \) tel que \( P(n) \) soit vraie : \( u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6 \). On multiplie par 0,7 (positif, l'ordre est conservé) puis on ajoute 1,8 :
\[ 0{,}7u_n + 1{,}8 \leqslant 0{,}7u_{n+1} + 1{,}8 \lt 0{,}7 \times 6 + 1{,}8, \]
c'est-à-dire \( u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \lt 6 \), car \( 0{,}7 \times 6 + 1{,}8 = 6 \). Donc \( P(n+1) \) est vraie.
Conclusion. \( P(0) \) est vraie et la propriété est héréditaire : pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6 \).
b. L'inégalité \( u_n \leqslant u_{n+1} \) montre que la suite est croissante, et \( u_n \lt 6 \) qu'elle est majorée. Une suite croissante et majorée converge (théorème de la convergence monotone) : \( (u_n) \) est convergente.
c. Passons à la limite dans \( u_{n+1} = 0{,}7u_n + 1{,}8 \) : \( \ell = 0{,}7\ell + 1{,}8 \), donc \( 0{,}3\ell = 1{,}8 \) et \( \ell = 6 \). Interprétation : à long terme, avec ce protocole, la quantité de médicament juste après une injection se rapproche de 6 mg sans jamais les dépasser.
4. a. Pour tout \( n \) :
\[ v_{n+1} = 6 - u_{n+1} = 6 - 0{,}7u_n - 1{,}8 = 4{,}2 - 0{,}7u_n = 0{,}7\,(6 - u_n) = 0{,}7\,v_n. \]
La suite \( (v_n) \) est donc géométrique de raison 0,7, de premier terme \( v_0 = 6 - u_0 = \) 4.
b. Pour une suite géométrique, \( v_n = v_0 \times q^n \), donc \( v_n = 4 \times 0{,}7^n \). Comme \( v_n = 6 - u_n \), on en déduit \( u_n = 6 - 4 \times 0{,}7^n \).
c. On cherche le plus petit \( n \) tel que \( u_n \geqslant 5{,}5 \) :
\[ 6 - 4 \times 0{,}7^n \geqslant 5{,}5 \iff 0{,}7^n \leqslant \dfrac{0{,}5}{4} = \dfrac{1}{8} \iff n \ln(0{,}7) \leqslant \ln\left(\dfrac{1}{8}\right). \]
Comme \( \ln(0{,}7) \lt 0 \), l'inégalité change de sens quand on divise : \( n \geqslant \dfrac{-\ln 8}{\ln 0{,}7} \approx 5{,}83 \). Le plus petit entier convenable est \( n = 6 \) (vérification : \( u_5 \approx 5{,}33 \lt 5{,}5 \) et \( u_6 \approx 5{,}53 \geqslant 5{,}5 \)).
L'injection initiale correspond à \( u_0 \), la dernière à \( u_6 \) : on compte \( u_0, u_1, \dots, u_6 \), soit 7 injections.
Corrigé de l’exercice 2 : projeté orthogonal d’un point sur une droite
1. a. Dans une représentation paramétrique, les coefficients de \( t \) donnent un vecteur directeur : \( \overrightarrow{u}\,(2\,;\,-1\,;\,2) \).
b. On cherche \( t \) tel que \( 1+2t = -1 \), \( 2-t = 3 \) et \( 2+2t = 0 \). La première équation donne \( t = -1 \), la deuxième aussi (\( -t = 1 \)), la troisième aussi (\( 2t = -2 \)). Le même \( t = -1 \) convient : B appartient à \( \mathcal{D} \).
c. \( \overrightarrow{\text{AB}}\,(0\,;\,2\,;\,-3) \), donc \( \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 2 = \) \( -8 \).
2. a. Le plan \( \mathcal{P} \) est orthogonal à \( \mathcal{D} \), donc \( \overrightarrow{u} \) est un vecteur normal à \( \mathcal{P} \). Une équation de \( \mathcal{P} \) est de la forme \( 2x - y + 2z + d = 0 \). Comme A\( (-1\,;\,1\,;\,3) \) appartient à \( \mathcal{P} \) : \( -2 - 1 + 6 + d = 0 \), donc \( d = -3 \). Une équation cartésienne de \( \mathcal{P} \) est \( 2x - y + 2z - 3 = 0 \).
b. H est sur \( \mathcal{D} \) et sur \( \mathcal{P} \). On remplace \( x, y, z \) par leurs expressions en \( t \) dans l'équation du plan :
\[ 2(1+2t) - (2-t) + 2(2+2t) - 3 = 0 \iff 9t + 1 = 0 \iff t = -\dfrac{1}{9}. \]
Alors \( x = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9} \), \( y = 2 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{19}{9} \), \( z = 2 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{16}{9} \) : H\( \left(\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right) \).
c. \( \overrightarrow{\text{AH}}\left(\dfrac{16}{9}\,;\,\dfrac{10}{9}\,;\,-\dfrac{11}{9}\right) \), donc
\[ \text{AH} = \dfrac{\sqrt{16^2 + 10^2 + 11^2}}{9} = \dfrac{\sqrt{477}}{9} = \dfrac{3\sqrt{53}}{9} = \dfrac{\sqrt{53}}{3}. \]
3. a. H et B sont deux points de la droite \( \mathcal{D} \), donc \( \overrightarrow{\text{HB}} \) est colinéaire au vecteur directeur \( \overrightarrow{u} \) (si H = B, on prend \( k = 0 \)). Il existe donc un réel \( k \) tel que \( \overrightarrow{\text{HB}} = k\,\overrightarrow{u} \).
b. Par la relation de Chasles, \( \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HB}} \), donc
\[ \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{\text{HB}} \cdot \overrightarrow{u}. \]
Le vecteur \( \overrightarrow{\text{AH}} \) est dans le plan \( \mathcal{P} \), orthogonal à \( \overrightarrow{u} \) : \( \overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \). Il reste \( \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = k\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = k \left\|\overrightarrow{u}\right\|^2 \), d'où \( k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2} \).
c. \( \left\|\overrightarrow{u}\right\|^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \) et \( \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = -8 \), donc \( k = -\dfrac{8}{9} \). Avec H\( (x\,;\,y\,;\,z) \), \( \overrightarrow{\text{HB}}\,(-1-x\,;\,3-y\,;\,-z) = -\dfrac{8}{9}\,(2\,;\,-1\,;\,2) \), ce qui donne \( x = \dfrac{16}{9} - 1 = \dfrac{7}{9} \), \( y = 3 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{19}{9} \), \( z = \dfrac{16}{9} \). On retrouve bien H\( \left(\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right) \).
4. Le triangle ACH est dans le plan \( \mathcal{P} \). La droite \( \mathcal{D} \) est orthogonale à \( \mathcal{P} \) et passe par H, donc \( \text{BH} \) est la hauteur du tétraèdre issue de B, relative à la base ACH. Or \( \overrightarrow{\text{HB}} = -\dfrac{8}{9}\overrightarrow{u} \), donc \( \text{HB} = \dfrac{8}{9} \times 3 = \dfrac{8}{3} \). Alors
\[ V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{ACH}} \times \text{BH} \iff \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{ACH}} \times \dfrac{8}{3} \iff \mathcal{A}_{\text{ACH}} = 1. \]
L'aire du triangle ACH est 1 unité d'aire.
Corrigé de l’exercice 3 : stage de formation, probabilités et loi binomiale
1. a. L'énoncé donne que 25 % des salariés ont suivi le stage : \( P(S) = 0{,}25 \).
b. On a \( P(F) = 0{,}52 \), donc \( P(\overline{F}) = 0{,}48 \). Parmi les femmes, 40 % ont suivi le stage : \( P_F(S) = 0{,}4 \) et \( P_F(\overline{S}) = 0{,}6 \). Les quatre branches demandées sont donc 0,52 ; 0,48 ; 0,4 et 0,6 (les deux dernières branches, du côté de \( \overline{F} \), se complètent aux questions suivantes : 0,0875 et 0,9125).
c. \( P(F \cap S) = P(F) \times P_F(S) = 0{,}52 \times 0{,}4 = \) 0,208.
d. On cherche \( P_S(F) = \dfrac{P(F \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}208}{0{,}25} = \) 0,832. Parmi les personnes ayant suivi le stage, 83,2 % sont des femmes.
e. D'après la formule des probabilités totales, \( P(S) = P(F \cap S) + P(\overline{F} \cap S) \), donc \( P(\overline{F} \cap S) = 0{,}25 - 0{,}208 = 0{,}042 \). La proportion d'hommes ayant suivi le stage parmi les hommes est
\[ P_{\overline{F}}(S) = \dfrac{0{,}042}{0{,}48} = 0{,}0875 \lt 0{,}1. \]
L'affirmation du directeur est exacte : 8,75 % des hommes ont suivi le stage, moins de 10 %.
2. a. On répète 20 fois la même épreuve de Bernoulli (le salarié a suivi le stage ou non, avec une probabilité de succès 0,25), de façon indépendante puisque le tirage est assimilé à un tirage avec remise. \( X \) compte les succès : \( X \) suit la loi binomiale \( \mathcal{B}(20\,;\,0{,}25) \).
b. \( P(X = 5) = \dbinom{20}{5} \times 0{,}25^5 \times 0{,}75^{15} \approx \) 0,202.
c. La fonction proba(k) additionne \( P(X = i) \) pour \( i \) allant de 0 à \( k \) : elle renvoie \( P(X \leqslant k) \). Pour \( k = 5 \), la valeur renvoyée est \( P(X \leqslant 5) \approx \) 0,617. Interprétation : la probabilité que, dans un échantillon de 20 salariés, au plus 5 aient suivi le stage est d'environ 0,617.
d. L'événement « au moins 6 » est le contraire de « au plus 5 » : \( P(X \geqslant 6) = 1 - P(X \leqslant 5) \approx 1 - 0{,}617 = \) 0,383.
3. Il faut être prudent : le pourcentage moyen dépend de ce que l'on moyenne. Si on fait la moyenne des pourcentages des salariés (25 % reçoivent 5 %, 75 % reçoivent 2 %), on obtient \( 0{,}25 \times 5 + 0{,}75 \times 2 = 2{,}75 \) %. Mais l'augmentation de la masse salariale dépend aussi des salaires de chacun. Exemple : 25 salariés formés à 1 000 euros et 75 non formés à 1 200 euros donnent une moyenne de 1 150 euros qui passe à 1 180,50 euros, soit environ 2,65 %. Avec 25 salariés formés à 1 200 euros et 75 non formés à 1 000 euros, on passe de 1 050 euros à 1 080 euros, soit environ 2,86 %. On ne retrouve donc 2,75 % que si tous les salaires sont égaux : avec ces seules données, on ne peut pas déterminer l'augmentation moyenne des salaires ; elle vaut 2,75 % si l'on suppose les salaires identiques.
Corrigé de l’exercice 4 : QCM sur les fonctions
Aucune justification n'était demandée, mais la voici pour chaque question.
1. En factorisant par \( x^2 \) au numérateur et au dénominateur, \( f(x) = \dfrac{-2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \), qui tend vers \( -2 \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \) (ou \( -\infty \)). La courbe admet donc la droite horizontale \( y = -2 \) comme asymptote. Réponse c.
2. On écrit \( f(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x\,\text{e}^{x^2} \), de la forme \( \dfrac{1}{2}u'\text{e}^{u} \) avec \( u(x) = x^2 \). Les primitives sont \( F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2} + k \). Avec \( F(0) = 1 \) : \( \dfrac{1}{2} + k = 1 \), donc \( k = \dfrac{1}{2}\). Réponse d.
3. La fonction \( f \) est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée \( f' \) y est croissante. D'après la courbe, \( f' \) est croissante sur \( [0\,;\,2] \) (elle monte de moins 2 environ jusqu'à 0, et elle continue de monter jusque vers \( x = 3 \)), puis décroissante au-delà de 3. Donc \( f \) est convexe sur \( [0\,;\,2] \), mais pas sur \( ]0\,;\,+\infty[ \) et pas sur \( [2\,;\,+\infty[ \) ; elle n'est pas non plus concave sur \( ]0\,;\,+\infty[ \). Réponse c.
4. Une primitive \( F \) de \( f \) vérifie \( F' = f \). Or \( f(x) = 3\text{e}^{-x^2} + 2 \gt 0 \) pour tout réel \( x \). Toutes les primitives ont donc une dérivée strictement positive : elles sont toutes croissantes sur \( \mathbb{R} \). Réponse a.
5. On écrit \( f(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{\frac{\ln x}{x^2}}{1 + \frac{1}{3x^2}} \). Par croissances comparées, \( \dfrac{\ln x}{x^2} \to 0 \), et le dénominateur tend vers 1. La limite est \( 0 \). Réponse d.
6. On pose \( X = \text{e}^x \) (avec \( X \gt 0 \)) : l'équation devient \( X^2 + X - 12 = 0 \), de discriminant \( 1 + 48 = 49 \), de solutions \( X = 3 \) et \( X = -4 \). Seule \( X = 3 \) est positive, et \( \text{e}^x = 3 \) équivaut à \( x = \ln 3 \). L'équation a une seule solution. Réponse c.