Corrigé de l’exercice 1 : QCM sur les fonctions et les suites
1. Réponse b. Pour tout réel \(x\), on divise numérateur et dénominateur par \(\mathrm{e}^x\) : \(g(x)=\dfrac{2}{1+\mathrm{e}^{-x}}\). Quand \(x\to+\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\to0\), donc \(g(x)\to\dfrac{2}{1}=2\). La courbe admet la droite d'équation \(y=2\) comme asymptote horizontale.
2. Réponse c. La fonction \(f\) est convexe là où \(f''\) est positive. Sur la courbe, \(f''\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-1]\), négative sur \([-1\,;\,2]\), puis positive sur \([2\,;\,+\infty[\). Donc \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\). Les réponses b et d sont fausses, et la réponse a aussi : \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(-1\) et en \(2\), donc \(\mathcal{C}\) a deux points d'inflexion.
3. Réponse d. Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}-2=\dfrac{1}{2}u_n+1-2=\dfrac{1}{2}u_n-1=\dfrac{1}{2}(u_n-2)=\dfrac{1}{2}v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
4. Réponse b. On a \(\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0\), donc le minorant tend vers 1. Pour le majorant, \(2-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}=1+\dfrac{1}{n+1}\), qui tend aussi vers 1. D'après le théorème des gendarmes, la suite \((u_n)\) converge vers 1.
5. Réponse a. On dérive la proposition a avec la formule du produit : \(F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{9}x^3\), donc \(F'(x)=x^2\ln x+\dfrac{1}{3}x^3\times\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}x^2=x^2\ln x\). C'est bien \(f(x)\), donc \(F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln x-\dfrac{1}{3}\right)\) est une primitive de \(f\).
6. Réponse a. On met au même dénominateur : \(2+\dfrac{3\mathrm{e}^{-x}-5}{\mathrm{e}^{-x}+1}=\dfrac{2\mathrm{e}^{-x}+2+3\mathrm{e}^{-x}-5}{\mathrm{e}^{-x}+1}=\dfrac{5\mathrm{e}^{-x}-3}{\mathrm{e}^{-x}+1}\). On multiplie numérateur et dénominateur par \(\mathrm{e}^x\), non nul : on obtient \(\dfrac{5-3\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}\).
Corrigé de l’exercice 2 : probabilités, loi de probabilité et loi binomiale
1. a. On a \(p(M)=0{,}7\), donc \(p\left(\overline{M}\right)=1-0{,}7=0{,}3\). Alors
\[p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=\dfrac{p\left(\overline{M}\cap\overline{G}\right)}{p\left(\overline{M}\right)}=\dfrac{0{,}06}{0{,}3}=\mathbf{0{,}2}\]
b. Les branches de l'arbre sont : \(p(M)=0{,}7\), \(p\left(\overline{M}\right)=0{,}3\), \(p_M(G)=0{,}6\) et \(p_M\left(\overline{G}\right)=0{,}4\), puis \(p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0{,}2\) et \(p_{\overline{M}}(G)=0{,}8\).
c. \(p\left(\overline{M}\cap G\right)=p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}(G)=0{,}3\times0{,}8=\mathbf{0{,}24}\).
d. D'après la formule des probabilités totales : \(p(G)=p(M\cap G)+p\left(\overline{M}\cap G\right)=0{,}7\times0{,}6+0{,}24=0{,}42+0{,}24=\mathbf{0{,}66}\).
2. On calcule la proportion de clients qui visitent le musée parmi ceux qui visitent la grotte : \(p_G(M)=\dfrac{p(M\cap G)}{p(G)}=\dfrac{0{,}42}{0{,}66}=\dfrac{7}{11}\approx0{,}64\). Cette valeur est supérieure à \(0{,}5\) : l'affirmation du responsable est exacte.
3. a. La somme dépensée vaut 0, 5, 12 ou 17 euros (12 + 5 pour les deux visites). Les probabilités sont : \(p(T=0)=0{,}06\) ; \(p(T=5)=p\left(\overline{M}\cap G\right)=0{,}24\) ; \(p(T=12)=p\left(M\cap\overline{G}\right)=0{,}7\times0{,}4=0{,}28\) ; \(p(T=17)=p(M\cap G)=0{,}42\). La somme fait bien \(0{,}06+0{,}24+0{,}28+0{,}42=1\).
| \(t\) (en euros) | \(0\) | \(5\) | \(12\) | \(17\) |
|---|---|---|---|---|
| \(p(T=t)\) | \(0{,}06\) | \(0{,}24\) | \(0{,}28\) | \(0{,}42\) |
b. \(E(T)=0\times0{,}06+5\times0{,}24+12\times0{,}28+17\times0{,}42=1{,}2+3{,}36+7{,}14=\mathbf{11{,}7}\) euros par client en moyenne.
c. Pour \(N\) clients par jour, la recette moyenne est \(11{,}7\times N\). On veut \(11{,}7N\gt700\), soit \(N\gt\dfrac{700}{11{,}7}\approx59{,}8\). Il faut donc en moyenne au moins 60 clients par jour.
4. Notons \(x\) le nouveau prix de la visite de la grotte. La nouvelle somme dépensée vaut \(0\), \(x\), \(12\) ou \(12+x\), avec les mêmes probabilités. L'espérance est
\[x\times0{,}24+12\times0{,}28+(12+x)\times0{,}42=0{,}66x+3{,}36+5{,}04=0{,}66x+8{,}4\]
On veut \(0{,}66x+8{,}4=15\), donc \(0{,}66x=6{,}6\) et \(x=10\). Le prix à fixer est 10 euros.
5. Soit \(X\) le nombre de clients qui visitent la grotte parmi 100. Les 100 choix étant assimilés à un tirage avec remise, \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=100\) et \(p=0{,}66\). On cherche \(P(X\geqslant75)=1-P(X\leqslant74)\). À la calculatrice, \(P(X\geqslant75)\approx\mathbf{0{,}034}\).
Corrigé de l’exercice 3 : la fonction \(\dfrac{\ln x}{x}\) et une suite récurrente
Partie A
1. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=\mathbf{0}\).
2. a. On dérive le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u=\ln x\) et \(v=x\) :
\[f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x\times1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\]
b. Le dénominateur \(x^2\) est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-\ln x\). Or \(1-\ln x\gt0\iff\ln x\lt1\iff x\lt\mathrm{e}\), car la fonction exponentielle est croissante. Donc \(f'(x)\gt0\) sur \([1\,;\,\mathrm{e}[\), \(f'(\mathrm{e})=0\), et \(f'(x)\lt0\) sur \(]\mathrm{e}\,;\,+\infty[\).
c. On calcule \(f(1)=\dfrac{\ln1}{1}=0\) et \(f(\mathrm{e})=\dfrac{\ln\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
| \(x\) | \(1\) | \(\mathrm{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
3. a. Sur \([1\,;\,\mathrm{e}]\), la fonction \(f\) est continue et strictement croissante, avec \(f(1)=0\) et \(f(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\). Si \(0\leqslant k\leqslant\dfrac{1}{\mathrm{e}}\), le nombre \(k\) appartient à \(\left[f(1)\,;\,f(\mathrm{e})\right]\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone, l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([1\,;\,\mathrm{e}]\).
b. Le maximum de \(f\) sur \([1\,;\,+\infty[\) est \(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\) (atteint en \(\mathrm{e}\)). Donc \(f(x)\leqslant\dfrac{1}{\mathrm{e}}\lt k\) pour tout \(x\geqslant1\) : l'équation \(f(x)=k\) n'admet aucune solution.
Partie B
1. La dérivée de \(g\) est \(g'(x)=\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{x/4}\gt0\) pour tout réel \(x\). La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. Pour tout entier \(n\), on note \(P_n\) : « \(u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\mathrm{e}\) ».
Initialisation. \(u_0=1\) et \(u_1=\mathrm{e}^{1/4}\approx1{,}28\). On a bien \(1\leqslant1{,}28\leqslant\mathrm{e}\approx2{,}72\) : \(P_0\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\mathrm{e}\). La fonction \(g\) étant croissante, \(g(u_n)\leqslant g(u_{n+1})\leqslant g(\mathrm{e})\), c'est-à-dire \(u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\mathrm{e}^{\mathrm{e}/4}\). Or \(\mathrm{e}\lt4\), donc \(\dfrac{\mathrm{e}}{4}\lt1\) et \(\mathrm{e}^{\mathrm{e}/4}\lt\mathrm{e}\). Ainsi \(u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\mathrm{e}\) : \(P_{n+1}\) est vraie.
Conclusion. Pour tout entier \(n\), \(u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\mathrm{e}\).
3. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\mathrm{e}\). D'après le théorème de convergence monotone, elle converge.
4. La suite est croissante donc \(\ell\geqslant u_0=1\), et majorée par \(\mathrm{e}\) donc \(\ell\leqslant\mathrm{e}\). On a \(\mathrm{e}^{\ell/4}=\ell\) avec \(\ell\gt0\). On applique le logarithme népérien : \(\dfrac{\ell}{4}=\ln\ell\). En divisant par \(\ell\) (non nul) : \(\dfrac{\ln\ell}{\ell}=\dfrac{1}{4}\), c'est-à-dire \(f(\ell)=\dfrac{1}{4}\).
5. Comme \(\mathrm{e}\lt4\), on a \(\dfrac{1}{4}\lt\dfrac{1}{\mathrm{e}}\) : d'après la partie A (question 3. a.), l'équation \(f(x)=\dfrac{1}{4}\) a une seule solution dans \([1\,;\,\mathrm{e}]\), et c'est \(\ell\). À la calculatrice, \(f(1{,}42)\approx0{,}2469\lt0{,}25\) et \(f(1{,}43)\approx0{,}2501\gt0{,}25\). Donc \(\ell\approx1{,}43\) à \(10^{-2}\) près.
Corrigé de l’exercice 4 : droites, plan, distance et volume
1. a. Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}12\\-15\\-6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}\). Donc \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}\) dirige \(\Delta\). La droite passe par D\((-1\,;\,6\,;\,8)\), d'où la représentation \(x=-1+4t\), \(y=6-5t\), \(z=8-2t\). Pour \(t=3\), on trouve \((11\,;\,-9\,;\,2)\), c'est bien le point E.
b. La droite \(\Delta'\) passe par O\((0\,;\,0\,;\,0)\) avec le même vecteur directeur : \(x=4t\), \(y=-5t\), \(z=-2t\) (\(t\in\mathbb{R}\)).
c. Pour \(x=1{,}36\), il faut \(4t=1{,}36\), soit \(t=0{,}34\). Alors \(y=-5\times0{,}34=-1{,}7\) (correct) mais \(z=-2\times0{,}34=-0{,}68\neq-0{,}7\). Le point F n'appartient pas à \(\Delta'\).
2. a. On a \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) est nulle, pas celle de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)). Les points A, B et C ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan.
b. Le vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}\) de \(\Delta\) vérifie \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=8-10+2=0\) et \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=8+0-8=0\). Il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), donc à ce plan : la droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC).
c. Le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est normal au plan (ABC), dont une équation est donc \(4x-5y-2z+d=0\). Avec A : \(-4+5-6+d=0\), donc \(d=5\). On obtient \(4x-5y-2z+5=0\). (Vérification avec B : \(4-5-4+5=0\) ; avec C : \(4+5-14+5=0\).)
3. a. Pour \(t=2\), la représentation de \(\Delta\) donne \((-1+8\,;\,6-10\,;\,8-4)=(7\,;\,-4\,;\,4)\) : le point G appartient à \(\Delta\).
b. Comme \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par G, le projeté H est le point d'intersection de \(\Delta\) et du plan. Le point de paramètre \(t\) vérifie l'équation du plan si \(4(-1+4t)-5(6-5t)-2(8-2t)+5=0\), soit \(-4+16t-30+25t-16+4t+5=45t-45=0\), donc \(t=1\). On trouve H\((3\,;\,1\,;\,6)\). (Vérification : \(12-5-12+5=0\).)
c. La distance de G au plan est GH. On a \(\overrightarrow{\mathrm{GH}}\begin{pmatrix}-4\\5\\2\end{pmatrix}\), donc \(\mathrm{GH}=\sqrt{16+25+4}=\sqrt{45}=\mathbf{3\sqrt{5}}\).
4. a. Le produit scalaire \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\times2+2\times0+(-1)\times4=0\). Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
b. On prend ABC pour base. Ses côtés de l'angle droit mesurent \(\mathrm{AB}=\sqrt{4+4+1}=3\) et \(\mathrm{AC}=\sqrt{4+0+16}=2\sqrt{5}\). L'aire de la base est \(B=\dfrac{1}{2}\times3\times2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\). La hauteur issue de G est \(h=\mathrm{GH}=3\sqrt{5}\). Alors
\[V=\dfrac{1}{3}\times3\sqrt{5}\times3\sqrt{5}=\dfrac{1}{3}\times45=\mathbf{15}\]
Le volume du tétraèdre ABCG est de 15 unités de volume.