Corrigé de l’exercice 1 : arbre pondéré, loi de \(X\) et loi binomiale
1. Les données de l'énoncé se lisent ainsi : si le client loue un vélo de route, il prend un vélo électrique avec la probabilité 0,4, donc \(p_R(E) = 0{,}4\) et \(p_R(\overline{E}) = 0{,}6\). S'il loue un vélo tout terrain, \(p_{\overline{R}}(E) = 0{,}7\) et \(p_{\overline{R}}(\overline{E}) = 0{,}3\). Sur l'arbre, la branche \(R\) porte \(\alpha\) et la branche \(\overline{R}\) porte \(1-\alpha\). Les quatre branches de droite se complètent donc de haut en bas par 0,4 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,3.
2. a. \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
\[p(E) = p(R \cap E) + p(\overline{R} \cap E) = \alpha \times 0{,}4 + (1-\alpha) \times 0{,}7.\]
On développe : \(p(E) = 0{,}4\alpha + 0{,}7 - 0{,}7\alpha\), soit \(p(E) = 0{,}7 - 0{,}3\alpha\).
b. L'énoncé dit que \(p(E) = 0{,}58\). On résout donc \(0{,}7 - 0{,}3\alpha = 0{,}58\), ce qui donne \(0{,}3\alpha = 0{,}12\), puis \(\alpha = 0{,}4\).
3. On cherche \(p_E(\overline{R})\), la probabilité d'avoir un vélo tout terrain sachant que le vélo est électrique. Comme \(\alpha = 0{,}4\), on a \(p(\overline{R}) = 0{,}6\) et \(p(\overline{R} \cap E) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42\). Alors :
\[p_E(\overline{R}) = \dfrac{p(\overline{R} \cap E)}{p(E)} = \dfrac{0{,}42}{0{,}58} \approx 0{,}724.\]
La probabilité est donc d'environ 0,72.
4. « Vélo tout terrain électrique » correspond à l'évènement \(\overline{R} \cap E\), dont on vient de calculer la probabilité : 0,42.
5. a. Il y a quatre situations. Le vélo de route non électrique coûte 25 euros, le vélo de route électrique 40 euros, le tout terrain non électrique 35 euros et le tout terrain électrique 50 euros. Leurs probabilités sont :
\[p(X=25) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24 \qquad p(X=40) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\]
\[p(X=35) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18 \qquad p(X=50) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42\]
Ces quatre probabilités ont pour somme 1, ce qui confirme les calculs. La loi de \(X\) est :
| Prix \(x_i\) (en euros) | 25 | 35 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|
| \(p(X = x_i)\) | 0,24 | 0,18 | 0,16 | 0,42 |
b. L'espérance est :
\[E(X) = 25 \times 0{,}24 + 35 \times 0{,}18 + 40 \times 0{,}16 + 50 \times 0{,}42 = 6 + 6{,}3 + 6{,}4 + 21 = 39{,}7.\]
\(E(X) = 39{,}7\). Cela signifie que, sur un très grand nombre de locations, le prix moyen d'une location à la journée est d'environ 39,70 euros.
6. a. On répète 30 fois la même expérience : un client loue un vélo électrique (succès, de probabilité 0,58) ou non. Ces 30 épreuves sont indépendantes, car le tirage est assimilé à un tirage avec remise, et chacune n'a que deux issues. \(Y\) compte les succès : \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(30\,;\,0{,}58)\).
b. On applique la formule de la loi binomiale :
\[p(Y = 20) = \dbinom{30}{20} \times 0{,}58^{20} \times 0{,}42^{10} \approx 0{,}0952.\]
Arrondi au millième : 0,095.
c. Il est plus simple de passer par l'évènement contraire : \(p(Y \geqslant 15) = 1 - p(Y \leqslant 14)\). La calculatrice donne \(p(Y \leqslant 14) \approx 0{,}1419\), donc \(p(Y \geqslant 15) \approx 0{,}8581\), soit 0,858.
Corrigé de l’exercice 2 : QCM sur les suites, la convexité et les primitives
1. Calculons les premiers termes : \(a_0 = 1\), \(a_1 = 1{,}5\), \(a_2 = 1{,}75\). Les différences \(a_1 - a_0 = 0{,}5\) et \(a_2 - a_1 = 0{,}25\) ne sont pas égales, donc \((a_n)\) n'est pas arithmétique. Les quotients \(1{,}5/1 = 1{,}5\) et \(1{,}75/1{,}5 \approx 1{,}17\) diffèrent aussi, donc elle n'est pas géométrique. Pour \((b_n)\) :
\[b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 0{,}5a_n + 1 - 2 = 0{,}5a_n - 1 = 0{,}5\left(a_n - 2\right) = 0{,}5\,b_n.\]
La suite \((b_n)\) est géométrique de raison 0,5 : réponse b.
2. On calcule : \(u_1 = 2 + 3 \times 1 = 5\) et \(v_1 = 2 + 1 = 3\), puis \(u_2 = 5 + 3 \times 3 = 14\) et \(v_2 = 5 + 3 = 8\). On teste les propositions : la a est fausse (\(u_2 = 14\)), la b donne \(14^2 - 3 \times 8^2 = 196 - 192 = 4\) et non \(-4\), la d donne \(5u_1 = 25\) et \(3v_1 = 9\). Seule la c convient, car \(\dfrac{u_2}{v_2} = \dfrac{14}{8} = 1{,}75\) : réponse c.
3. Au départ, \(u\) et \(v\) valent \(u_0\) et \(v_0\). À chaque passage dans la boucle, on remplace le couple \((u_n, v_n)\) par \((u_{n+1}, v_{n+1})\) (la variable \(c\) garde l'ancienne valeur de \(u\) pour calculer le nouveau \(v\)). La boucle fait 10 passages (\(k\) va de 1 à 10), donc le programme renvoie \(u_{10}\) et \(v_{10}\) : réponse d. (L'absence des deux-points après le range est une coquille de l'énoncé.)
4. La convexité de \(f\) se lit sur les variations de \(f'\) : \(f\) est convexe là où \(f'\) est croissante. Sur la courbe \(\mathcal{C}'\), \(f'\) croît jusqu'à \(x = 0\) environ, puis décroît. Donc \(f\) est convexe sur \([-4\,;\,0]\) : réponse b. Les autres intervalles contiennent des points où \(f'\) change de sens de variation ou décroît.
5. Le nombre \(f''(1)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}'\) au point d'abscisse 1. Cette tangente est la droite (BC), avec \(\text{B}(1\,;\,0)\) et \(\text{C}(0\,;\,5)\) :
\[f''(1) = \dfrac{y_\text{C} - y_\text{B}}{x_\text{C} - x_\text{B}} = \dfrac{5 - 0}{0 - 1} = -5.\]
Réponse d. On remarque aussi que \(f'(1) = 0\), ce qui élimine les réponses a et b.
6. On teste la forme \(\left(x^2 - 2x + 3\right)\text{e}^x\) en la dérivant : \(\left(2x - 2 + x^2 - 2x + 3\right)\text{e}^x = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x\). C'est donc une primitive de \(f\), et les primitives sont de la forme \(\left(x^2 - 2x + 3\right)\text{e}^x + C\). La condition \(F(0) = 1\) donne \(3 + C = 1\), donc \(C = -2\). Réponse b. (La réponse a donne \(F(0) = 3\).)
Corrigé de l'exercice 3 : étude de \(x - x\ln x\), suite récurrente et famille de fonctions
Partie A
1. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to 0} x\ln x = 0\), et \(\lim\limits_{x \to 0} x = 0\). Donc \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).
2. On factorise : \(f(x) = x\left(1 - \ln x\right)\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(1 - \ln x\) tend vers \(-\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
3. a. On dérive en utilisant la formule du produit pour \(x\ln x\) :
\[f'(x) = 1 - \left(1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x}\right) = 1 - \ln x - 1 = -\ln x.\]
b. Le signe de \(f'(x) = -\ln x\) est positif pour \(0 \lt x \lt 1\) et négatif pour \(x \gt 1\), avec \(f'(1) = 0\). Donc \(f\) est croissante sur \(]0\,;\,1]\) et décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\). On a \(f(1) = 1 - 0 = 1\). Tableau de variations :
| \(x\) | 0 | 1 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + 0 − | ||
| Variations de \(f\) | 0 (limite) | maximum 1 (\(f\) croît avant, décroît après) | \(-\infty\) (limite) |
4. On résout \(f(x) = x\) : \(x - x\ln x = x\) équivaut à \(-x\ln x = 0\). Comme \(x \gt 0\), cela équivaut à \(\ln x = 0\), c'est-à-dire \(x = 1\). L'ensemble des solutions est \(\{1\}\).
Partie B
1. Démontrons par récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\) ».
Initialisation. \(u_0 = 0{,}5\) et \(u_1 = f(0{,}5) = 0{,}5 - 0{,}5\ln 0{,}5 \approx 0{,}85\). On a bien \(0{,}5 \leqslant 0{,}5 \leqslant 0{,}85 \leqslant 1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. On suppose \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) fixé : \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\). Comme \(f\) est croissante sur \([0{,}5\,;\,1]\), on peut appliquer \(f\) à chaque membre sans changer le sens des inégalités : \(f(0{,}5) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1)\), c'est-à-dire \(u_1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1\), puisque \(f(1) = 1\). Or \(u_1 \approx 0{,}85 \geqslant 0{,}5\), donc \(0{,}5 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).
2. a. D'après la question précédente, \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est croissante. Elle est aussi majorée par 1. D'après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.
b. La fonction \(f\) est continue sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). En passant à la limite, \(\ell\) vérifie \(\ell = f(\ell)\). Comme \(0{,}5 \leqslant u_n \leqslant 1\) pour tout \(n\), on a \(\ell \in [0{,}5\,;\,1]\), donc \(\ell \gt 0\). D'après la question A.4, la seule solution de \(f(x) = x\) est 1 : \(\ell = 1\).
Partie C
1. La fonction \(f_k\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(f_k'(x) = k - (\ln x + 1) = k - 1 - \ln x\). Or :
\[f_k'(x) \gt 0 \iff \ln x \lt k - 1 \iff x \lt \text{e}^{k-1}.\]
La fonction \(f_k\) est donc croissante sur \(]0\,;\,\text{e}^{k-1}]\) puis décroissante sur \([\text{e}^{k-1}\,;\,+\infty[\). Elle admet un maximum atteint en \(x_k = \text{e}^{k-1}\).
2. On calcule ce maximum :
\[y_k = f_k\left(\text{e}^{k-1}\right) = k\text{e}^{k-1} - \text{e}^{k-1}\ln\left(\text{e}^{k-1}\right) = k\text{e}^{k-1} - (k-1)\text{e}^{k-1} = \text{e}^{k-1}.\]
On trouve \(y_k = \text{e}^{k-1} = x_k\) : \(x_k = y_k\) pour tout réel \(k\).
Corrigé de l’exercice 4 : distance entre deux droites de l’espace
1. a. La représentation paramétrique de \(\mathcal{D}'\) est de la forme \(\left(x_0 + at\,;\,y_0 + bt\,;\,z_0 + ct\right)\) avec \((a\,;\,b\,;\,c)\) le vecteur directeur. Ici on lit \(\overrightarrow{u'}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).
b. Si les droites étaient parallèles, \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) seraient colinéaires, donc il existerait un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{u} = \lambda\overrightarrow{u'}\). La première coordonnée donnerait \(1 = \lambda \times 0 = 0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) ne sont pas parallèles.
c. La droite \(\mathcal{D}\) passe par \(\text{A}(2\,;\,4\,;\,0)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(1\,;\,2\,;\,0)\). Une représentation paramétrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + s \\ y &=& 4 + 2s \\ z &=& 0 \end{array}\right., \quad s \in \mathbb{R}.\]
2. La droite \(\Delta\) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\) et à \(\mathcal{D}'\) : un vecteur directeur de \(\Delta\) est orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\). On calcule les produits scalaires :
\[\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 1 \times 0 = 0 \qquad \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u'} = 2 \times 0 + (-1) \times 1 + 1 \times 1 = 0.\]
Le vecteur \(\overrightarrow{v}\), non nul, est orthogonal aux deux vecteurs directeurs ; comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ne sont pas colinéaires, il dirige la direction orthogonale commune, donc \(\overrightarrow{v}\) est un vecteur directeur de \(\Delta\).
3. a. Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires et dirigent le plan \(\mathcal{P}\). On calcule :
\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + (-5) \times 0 = 0 \qquad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 2 + (-1) \times (-1) + (-5) \times 1 = 4 + 1 - 5 = 0.\]
Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : c'est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).
b. Une équation de \(\mathcal{P}\) est de la forme \(2x - y - 5z + d = 0\). Le point \(\text{A}(2\,;\,4\,;\,0)\) appartient au plan : \(4 - 4 - 0 + d = 0\), donc \(d = 0\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x - y - 5z = 0\).
c. Le point M\('\) est sur \(\mathcal{D}'\) et sur \(\Delta\). Or \(\Delta\) est contenue dans le plan \(\mathcal{P}\), donc M\('\) appartient aussi à \(\mathcal{P}\) : c'est un point commun à \(\mathcal{D}'\) et à \(\mathcal{P}\). Pour le trouver, on remplace les coordonnées d'un point de \(\mathcal{D}'\) dans l'équation du plan :
\[2 \times 3 - (3 + t) - 5(3 + t) = 0 \iff 6 - 3 - t - 15 - 5t = 0 \iff -12 - 6t = 0 \iff t = -2.\]
Pour \(t = -2\), on obtient \((3\,;\,3 - 2\,;\,3 - 2)\). Donc M\('(3\,;\,1\,;\,1)\).
4. a. La droite \(\Delta\) passe par M\('(3\,;\,1\,;\,1)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{v}(2\,;\,-1\,;\,1)\) :
\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 3 + 2t \\ y &=& 1 - t \\ z &=& 1 + t \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}.\]
b. Le point M est sur \(\mathcal{D}\), donc sa cote est 0 : \(1 + t = 0\), soit \(t = -1\). On obtient \(x = 3 - 2 = 1\), \(y = 1 + 1 = 2\), \(z = 0\). Vérification : ce point est sur \(\mathcal{D}\) pour \(s = -1\), car \((2 - 1\,;\,4 - 2\,;\,0) = (1\,;\,2\,;\,0)\). Donc M\((1\,;\,2\,;\,0)\).
c. On calcule la distance avec les coordonnées des deux points :
\[\text{MM}' = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.\]
La distance entre les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) est \(\sqrt{6}\) (environ 2,45).
5. a. Un vecteur directeur de \(d\) est \(\overrightarrow{w}(5\,;\,5\,;\,1)\). On calcule \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w} = 2 \times 5 - 5 - 5 \times 1 = 0\) : \(\overrightarrow{w}\) est orthogonal à la normale du plan, donc \(d\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) ou contenue dans \(\mathcal{P}\). Le point \((0\,;\,2\,;\,1)\) de \(d\) (pour \(t = 0\)) vérifie \(2 \times 0 - 2 - 5 \times 1 = -7 \neq 0\), il n'est pas dans \(\mathcal{P}\). Donc la droite \(d\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\), sans y être contenue.
b. Les points A, M et M\('\) sont dans le plan \(\mathcal{P}\) : on prend le triangle AMM\('\) comme base du tétraèdre, la hauteur relative à cette base est la distance de N au plan \(\mathcal{P}\), c'est-à-dire \(\ell\). Le triangle AMM\('\) est rectangle en M, car A et M sont sur \(\mathcal{D}\) (direction \(\overrightarrow{u}\)) et M, M\('\) sur \(\Delta\) (direction \(\overrightarrow{v}\)), avec \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\). On a \(\text{AM} = \sqrt{(1-2)^2 + (2-4)^2 + 0^2} = \sqrt{5}\) et \(\text{MM}' = \sqrt{6}\), donc :
\[B = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{6} = \dfrac{\sqrt{30}}{2} \quad \text{et} \quad V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{30}}{2} \times \ell = \dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell.\]
c. Les points N\(_1\) et N\(_2\) sont sur la droite \(d\), parallèle au plan \(\mathcal{P}\) : ils sont à la même distance \(\ell\) de ce plan. Les deux tétraèdres ont la même base AMM\('\) dans \(\mathcal{P}\) et la même hauteur \(\ell\), donc le même volume \(\dfrac{\sqrt{30}}{6}\,\ell\).