Bac de maths 2023 France septembre J1 : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : primitive, suites et script Python

1. On dérive la proposition d et on vérifie qu'on retrouve \(f\). Pour \(F(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2-3}\), la formule \((\mathrm{e}^u)'=u'\mathrm{e}^u\) avec \(u(x)=x^2-3\) donne \(F'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x\,\mathrm{e}^{x^2-3}=x\,\mathrm{e}^{x^2-3}=f(x)\). Réponse d.

2. Pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=\mathrm{e}^{2(n+1)+1}=\mathrm{e}^{2n+1+2}=\mathrm{e}^{2}\times\mathrm{e}^{2n+1}=\mathrm{e}^2\,u_n\). Le rapport de deux termes consécutifs est constant et vaut \(\mathrm{e}^2\) : la suite est géométrique de raison \(\mathrm{e}^2\). Réponse c. (Elle diverge vers \(+\infty\), car \(\mathrm{e}^2 \gt 1\), ce qui exclut la réponse d.)

3. La boucle while doit continuer tant que le seuil n'est pas dépassé : elle s'arrête dès que \(u \gt 10\,000\). La condition à écrire est donc u <= 10000. Réponse a. (Avec la réponse c, la boucle ne s'exécuterait jamais, car \(u=15\) au départ.)

4. Pour tout entier \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}+60=1{,}2u_n+12+60=1{,}2u_n+72=1{,}2\left(u_n+60\right)=1{,}2\,v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 1,2. Réponse b.

Corrigé de l’exercice 2 : plan, distances et projeté orthogonal

1.a. On calcule \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}\). Si ces vecteurs étaient colinéaires, comme \(2=2\times 1\), on aurait \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), donc \(-1=2\times(-2)\), ce qui est faux. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan \(\mathcal{P}\).

1.b. On a \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\). Les produits scalaires, dans un repère orthonormé, valent \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=4-1-3=0\) et \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2-2+0=0\). Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de \(\mathcal{P}\) : la droite (CD) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\). Le point C appartient à \(\mathcal{P}\) et (CD) est perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) : C est le projeté orthogonal de D sur le plan \(\mathcal{P}\).

1.c. Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) est normal à \(\mathcal{P}\), donc une équation du plan est \(2x+y-z+d=0\). Le point C appartient au plan : \(2\times 2+(-2)-(-1)+d=0\), soit \(3+d=0\) et \(d=-3\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est \(2x+y-z-3=0\). (On vérifie avec A : \(2+0+1-3=0\), et avec B : \(6-1-2-3=0\).)

2.a. \(\mathrm{CD}^2=2^2+1^2+(-1)^2=6\), donc \(\mathrm{CD}=\sqrt{6}\).

2.b. Soit M un point de \(\mathcal{P}\) distinct de C. La droite (CD) étant orthogonale à \(\mathcal{P}\), le triangle DCM est rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, \(\mathrm{DM}^2=\mathrm{DC}^2+\mathrm{CM}^2=6+\mathrm{CM}^2\), avec \(\mathrm{CM} \gt 0\). Donc \(\mathrm{DM}^2 \gt 6\) et \(\mathrm{DM} \gt \sqrt{6}\). Il n'existe aucun point M de \(\mathcal{P}\), différent de C, tel que \(\mathrm{MD}=\sqrt{6}\). (Le projeté C est le point du plan le plus proche de D.)

3.a. Un point de \(\Delta\) a pour coordonnées \((0\,;\,2+t\,;\,-1+t)\). On l'insère dans l'équation de \(\mathcal{P}\) :

\[2\times 0+(2+t)-(-1+t)-3=2+t+1-t-3=0.\]

L'égalité est vraie pour tout réel \(t\) : tous les points de \(\Delta\) appartiennent à \(\mathcal{P}\), donc \(\Delta\) est incluse dans \(\mathcal{P}\).

3.b. Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\). Le point H de \(\Delta\) correspond à un paramètre \(t\), soit \(\mathrm{H}(0\,;\,2+t\,;\,-1+t)\), et \(\overrightarrow{\mathrm{DH}}\begin{pmatrix}-4 \\ 3+t \\ 1+t\end{pmatrix}\). Comme H est le projeté orthogonal de D sur \(\Delta\), \(\overrightarrow{\mathrm{DH}}\cdot\overrightarrow{u}=0\), c'est-à-dire \((3+t)+(1+t)=0\), soit \(4+2t=0\). Donc \(t=-2\) et \(\mathrm{H}(0\,;\,0\,;\,-3)\).

3.c. Avec \(t=-2\), \(\overrightarrow{\mathrm{DH}}\begin{pmatrix}-4 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\), donc \(\mathrm{DH}^2=16+1+1=18\). La distance de D à la droite \(\Delta\) est \(\mathrm{DH}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).

Corrigé de l’exercice 3 : test de dépistage et loi binomiale

Partie A

1. L'énoncé donne \(p_A(T)=0{,}97\) et \(p_{\overline{A}}(\overline{T})=0{,}957\). Les probabilités des deux branches issues d'un même nœud ont pour somme 1 :

2.a. \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\[p(T)=p(A)\,p_A(T)+p(\overline{A})\,p_{\overline{A}}(T)=0{,}97x+0{,}043(1-x)=0{,}927x+0{,}043.\]

2.b. On sait que \(p(T)=0{,}2\), donc \(0{,}927x+0{,}043=0{,}2\), soit \(x=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\). La probabilité que l'individu soit allergique est \(x\approx 0{,}169\).

3. L'affirmation signifie \(p_T(A) \gt 0{,}8\). On calcule :

\[p_T(A)=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)}=\dfrac{p(A)\times p_A(T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}97\times\frac{0{,}157}{0{,}927}}{0{,}2}\approx 0{,}821.\]

Comme \(0{,}821 \gt 0{,}8\), l'affirmation est vérifiée : un test positif correspond à environ 82 % de chances d'être allergique.

Partie B

1. On répète 150 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (allergique ou non) de probabilité de succès 0,08. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=150\) et \(p=0{,}08\).

2. À la calculatrice, \(P(X=20)\approx 0{,}008\).

3. Au moins 10 % de 150 personnes, c'est au moins 15 personnes : \(P(X\geqslant 15)=1-P(X\leqslant 14)\). La calculatrice donne \(P(X\leqslant 14)\approx 0{,}7797\), donc \(P(X\geqslant 15)\approx 0{,}220\).

Corrigé de l’exercice 4 : étude de \(\mathrm{e}^x\ln x\)

Partie A

1. Pour \(x \gt 0\), \(g'(x)=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}=\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}\). Comme \(x^3 \gt 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(g'(x)\) a le signe de \(x^2-2x+2\).

2. On écrit \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geqslant 1 \gt 0\). Donc \(g'(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) : la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. La fonction \(g\) est dérivable donc continue, et strictement croissante sur \([0{,}5\,;\,1]\). On a \(g(0{,}5)=4-4+\ln 0{,}5=\ln 0{,}5\approx -0{,}69 \lt 0\) et \(g(1)=2-1+0=1 \gt 0\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction strictement monotone), l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0{,}5\,;\,1]\) ; on trouve \(\alpha\approx 0{,}592\).

4. La fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(g(\alpha)=0\). Donc pour \(0 \lt x \lt \alpha\), \(g(x) \lt g(\alpha)=0\), et pour \(x \gt \alpha\), \(g(x) \gt 0\). Le tableau de signes est justifié : \(g\) est négative avant \(\alpha\), nulle en \(\alpha\), positive après, et \(\alpha\) est la seule solution de \(g(x)=0\) sur tout l'intervalle.

Partie B

1. On dérive \(f'(x)=\mathrm{e}^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln x\right)\) comme un produit \(uv\) avec \(u=\mathrm{e}^x\) et \(v=\dfrac{1}{x}+\ln x\), de dérivée \(v'=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\) :

\[f''(x)=\mathrm{e}^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln x\right)+\mathrm{e}^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right)=\mathrm{e}^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln x\right).\]

2. L'expression entre parenthèses est \(g(x)\) : \(f''(x)=\mathrm{e}^x\,g(x)\).

3.a. Comme \(\mathrm{e}^x \gt 0\), \(f''(x)\) a le même signe que \(g(x)\).

3.b. La dérivée seconde \(f''\) s'annule en \(\alpha\), et uniquement en \(\alpha\), en changeant de signe. La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet donc un unique point d'inflexion A, d'abscisse \(\alpha\) (environ \(\mathrm{A}(0{,}592\,;\,-0{,}948)\)).

3.c. Sur \(]0\,;\,\alpha]\), \(f''\leqslant 0\) : \(f\) est concave. Sur \([\alpha\,;\,+\infty[\), \(f''\geqslant 0\) : \(f\) est convexe.

4.a. En 0 : \(\mathrm{e}^x\to 1\) et \(\ln x\to-\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty\). En \(+\infty\) : \(\mathrm{e}^x\to+\infty\) et \(\ln x\to+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

4.b. De \(g(\alpha)=0\), on tire \(\ln\alpha=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\). Alors :

\[f'(\alpha)=\mathrm{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\right)=\mathrm{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{1}{\alpha}\right)=\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha).\]

4.c. On a \(\mathrm{e}^{\alpha} \gt 0\), \(\alpha^2 \gt 0\) et \(\alpha \lt 1\), donc \(1-\alpha \gt 0\) : \(f'(\alpha) \gt 0\). D'après la question 3.a, \(f''\leqslant 0\) sur \(]0\,;\,\alpha]\) et \(f''\geqslant 0\) sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) : la fonction \(f'\) décroît puis croît, et admet donc son minimum en \(\alpha\). Ce minimum \(f'(\alpha)\) étant strictement positif, \(f'(x) \gt 0\) pour tout \(x \gt 0\).

4.d. La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), avec \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Au passage, \(f(1)=\mathrm{e}\ln 1=0\), et \(f(\alpha)\approx -0{,}948\) est la valeur au point d'inflexion.