Corrigé de l’exercice 1 : cinq situations indépendantes
Situation 1. On divise 780 par les nombres premiers successifs : \(780=2\times 390\), \(390=2\times 195\), \(195=3\times 65\), \(65=5\times 13\). Donc \(780=2^2\times 3\times 5\times 13\).
Situation 2. Les 32 cartes ont la même chance d'être tirées.
a. Il n'y a qu'un seul 8 de pique : la probabilité est \(\dfrac{1}{32}\).
b. Il y a 4 rois et 8 cœurs, mais le roi de cœur est compté deux fois. Le nombre de cartes favorables est \(4+8-1=11\). La probabilité est \(\dfrac{11}{32}\).
Situation 3. On développe avec la double distributivité : \(A=2x\times 3x+2x\times(-4)+5\times 3x+5\times(-4)=6x^2-8x+15x-20\). Donc \(A=6x^2+7x-20\).
Situation 4. Ce prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés de l'angle droit 80 cm et 60 cm (son hypoténuse mesure bien 100 cm, car \(80^2+60^2=100^2\)). La hauteur du prisme est la longueur de 120 cm.
a. L'aire de la base est \(\dfrac{80\times 60}{2}=2\,400\ \text{cm}^2\). Le volume est \(2\,400\times 120=\) \(288\,000\ \text{cm}^3\).
b. Comme \(1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3\), on a \(288\,000\ \text{cm}^3=288\ \text{dm}^3\), soit 288 L.
Situation 5. Dans un agrandissement de coefficient \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\) et les aires par \(k^2\). Ici \(k^2=3^2=9\), donc l'aire du polygone 2 est \(9\times 11=\) \(99\ \text{cm}^2\).
Corrigé de l’exercice 2 : triangle rectangle, Thalès et aires
1. Le plus grand côté est [AN]. On compare : \(AN^2=13^2=169\) et \(LN^2+AL^2=5^2+12^2=25+144=169\). Les deux nombres sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est rectangle en L.
2. Les droites (OH) et (AL) sont toutes deux perpendiculaires à (LN) : elles sont donc parallèles. Les points L, O, N d'une part, et A, H, N d'autre part, sont alignés dans le même ordre. D'après le théorème de Thalès dans le triangle LNA : \(\dfrac{NO}{NL}=\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{OH}{LA}\). Avec les valeurs connues, \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{OH}{12}\). Donc \(OH=\dfrac{3\times 12}{5}=\) 7,2 cm.
3. Dans le triangle LNA rectangle en L, le côté adjacent à l'angle \(\widehat{\text{LNA}}\) est [LN] et l'hypoténuse est [AN] : \(\cos\widehat{\text{LNA}}=\dfrac{LN}{AN}=\dfrac{5}{13}\). La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{LNA}}\approx 67{,}4^\circ\), soit environ 67°.
4. Les triangles LNA et ONH ont chacun un angle droit (en L et en O) et ils partagent l'angle \(\widehat{\text{N}}\). Deux de leurs angles sont égaux deux à deux : ils sont semblables.
5. a. L'aire du triangle LNA est \(\dfrac{LN\times LA}{2}=\dfrac{5\times 12}{2}=30\ \text{cm}^2\). L'aire du triangle ONH est \(\dfrac{ON\times OH}{2}=\dfrac{3\times 7{,}2}{2}=10{,}8\ \text{cm}^2\). Le quadrilatère LOHA est le triangle LNA privé du triangle ONH : \(30-10{,}8=\) \(19{,}2\ \text{cm}^2\).
b. La proportion est \(\dfrac{19{,}2}{30}=0{,}64\). L'aire de LOHA représente \(\dfrac{16}{25}\), soit 64 %, de celle du triangle LNA.
Corrigé de l’exercice 3 : visiteurs d’un site et prix d’hôtels
Partie A
1. a. Le bâton de 2010 s'arrête à la ligne 300 000 : il y a eu 300 000 visiteurs en 2010.
b. Le bâton le plus haut est celui de 2019 : le nombre de visiteurs a été le plus élevé en 2019 (400 000).
2. Une hausse d'au moins 15 % à partir de 187 216 visiteurs donne : \(187\,216\times 1{,}15=215\,298{,}4\). En 2021, il y a eu 219 042 visiteurs, et \(219\,042\gt 215\,298{,}4\). On peut aussi calculer le taux réel : \(\dfrac{219\,042-187\,216}{187\,216}\approx 0{,}17\), soit 17 %. L'objectif a été atteint.
Partie B
3. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(500-60=\) 440 €.
4. L'effectif total est \(1\,200+1\,350+1\,000+1\,100+1\,200+1\,300+900+300=8\,350\) nuits. La somme des prix, pondérée par les effectifs, est \(60\times 1\,200+80\times 1\,350+85\times 1\,000+90\times 1\,100+110\times 1\,200+120\times 1\,300+350\times 900+500\times 300=1\,117\,000\). La moyenne est \(\dfrac{1\,117\,000}{8\,350}\approx 133{,}77\), soit environ 134 €.
5. La moitié de l'effectif total est \(\dfrac{8\,350}{2}=4\,175\). Les nuits facturées moins de 100 € sont celles à 60, 80, 85 et 90 € : \(1\,200+1\,350+1\,000+1\,100=4\,650\). Comme \(4\,650\gt 4\,175\), plus de la moitié des nuits coûte moins de 100 € (environ 56 %). L'affirmation est vraie.
Corrigé de l’exercice 4 : la fleur en Scratch
1. a. Avec 1 cm pour 5 pas, 35 pas deviennent \(35\div 5=7\) cm et 20 pas deviennent \(20\div 5=4\) cm. Pour construire le parallélogramme : trace le segment [KL] de 7 cm ; place avec le rapporteur un angle \(\widehat{\text{KLM}}\) de 120° en L et reporte LM = 4 cm ; en M, trace la parallèle à (KL) et en K la parallèle à (LM) ; leur intersection est le point N. Le côté [KN] mesure aussi 4 cm et [MN] mesure 7 cm, ce qui permet de vérifier ta figure.
b. Le stylo avance de K à L, tourne vers la gauche pour partir vers M, avance, tourne encore, et la boucle est répétée 2 fois pour revenir en K. Un parallélogramme a ses côtés opposés égaux, et à chaque sommet la rotation vaut \(180^\circ\) moins l'angle intérieur. En L, l'angle intérieur est 120°, on tourne de \(180-120=60^\circ\). En M, l'angle intérieur est 60°, on tourne de \(180-60=120^\circ\). Les valeurs à compléter sont : ligne 4 : 35 ; ligne 5 : 60 ; ligne 6 : 20 ; ligne 7 : 120.
2. a. Le motif contient 5 pétales : ligne 2 : 5.
b. Les 5 pétales sont répartis régulièrement autour du centre, et un tour complet mesure 360°. Entre deux pétales, il faut donc tourner de \(\dfrac{360}{5}=72^\circ\). C'est pourquoi la valeur 72 convient.
c. Le motif comporte 12 pétales, donc ligne 2 : 12, et l'angle de rotation devient \(\dfrac{360}{12}=30^\circ\), donc ligne 4 : 30.
Corrigé de l’exercice 5 : la piste de l’hippodrome
1. Un tour de piste comprend deux lignes droites de 850 m et deux demi-cercles de rayon 40 m, qui forment ensemble un cercle complet de rayon 40 m. Le périmètre du cercle est \(2\times\pi\times 40=80\pi\approx 251{,}3\) m. Le tour mesure donc \(2\times 850+80\pi\approx 1\,700+251{,}3\approx\) 1 951 m.
2. a. Le temps vaut \(2\ \text{min}\ 9\ \text{s}=2\times 60+9=129\) s. La vitesse moyenne est \(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\,951}{129}\approx 15{,}1\), soit environ 15 m/s.
b. En une heure, il y a 3 600 s et un kilomètre vaut 1 000 m, donc \(15\ \text{m/s}=\dfrac{15\times 3\,600}{1\,000}\ \text{km/h}=\) 54 km/h environ.
3. On calcule pour chaque marque le nombre de sacs entiers à acheter pour couvrir \(73\,027\ \text{m}^2\).
Marque A : \(\dfrac{73\,027}{500}\approx 146{,}05\), donc 147 sacs, soit \(147\times 141{,}95\approx 20\,866{,}65\) €.
Marque B : \(\dfrac{73\,027}{400}\approx 182{,}57\), donc 183 sacs, soit \(183\times 87{,}90=16\,085{,}70\) €.
Marque C : \(\dfrac{73\,027}{300}\approx 243{,}42\), donc 244 sacs, soit \(244\times 66{,}50=16\,226\) €.
Le prix le plus bas est celui de la marque B : il faut choisir la marque B, pour un coût d'environ 16 085,70 €.