Corrigé de l’exercice 1 : QCM sur cinq notions du programme
1. On écrit \(0{,}193=1{,}93\times10^{-1}\), donc \(0{,}193\times10^{-100}=1{,}93\times10^{-1}\times10^{-100}=1{,}93\times10^{-101}\). Bonne réponse : \(1{,}93\times10^{-101}\).
2. On convertit la durée : 42 min \(=\dfrac{42}{60}\) h \(=0{,}7\) h, donc 5 h 42 min \(=5{,}7\) h. La vitesse moyenne est \(\dfrac{480}{5{,}7}\approx84{,}21\) km/h. Bonne réponse : 84,2.
3. La roue a 15 secteurs égaux, et 8 d'entre eux portent le nombre 2. Si on écrit 2 dans le secteur vide, il y a 9 secteurs sur 15 qui portent le nombre 2, soit une probabilité de \(\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\). Bonne réponse : oui, en écrivant le nombre 2.
4. On range la liste : \(1\ ;\ 3\ ;\ 5\ ;\ 10\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 17\). L'étendue est \(17-1=16\). Il y a 7 valeurs, donc la médiane est la 4e valeur, soit 10. La moyenne vaut \(\dfrac{57}{7}\approx8{,}1\). Aucune de ces valeurs n'est égale à 5. Bonne réponse : rien de particulier.
5. Après la réservation, il reste à payer \(1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\) du prix. Partagé en trois paiements égaux, cela donne \(\dfrac{4}{5}\div3=\dfrac{4}{15}\). Bonne réponse : \(\dfrac{4}{15}\).
Corrigé de l’exercice 2 : circuits d’entraînement et multiples communs
1. Dans le circuit 1, chacun des 5 exercices dure 40 s et est suivi de 16 s de repos, soit \(40+16=56\) s par exercice. Le circuit dure \(5\times56=\) 280 secondes.
Dans le circuit 2, chacun des 10 exercices dure 30 s et est suivi de 5 s de repos, soit \(35\) s par exercice. Le circuit dure \(10\times35=\) 350 secondes.
2. On décompose : \(280=2\times140=2\times2\times70=2\times2\times2\times35=2^3\times5\times7\), et \(350=2\times175=2\times5\times35=2\times5\times5\times7=2\times5^2\times7\). \(280=2^3\times5\times7\) et \(350=2\times5^2\times7\).
3. a. On a \(2800=10\times280\) : en 2 800 secondes, Camille a fait exactement 10 tours complets du circuit 1, donc elle est de nouveau au départ.
De même, \(2800=8\times350\) : Dominique a fait exactement 8 tours complets du circuit 2. Elle est donc aussi au départ du circuit 2, devant l'exercice 1.
b. Camille est au départ aux instants multiples de 280 et Dominique aux instants multiples de 350. Ils se retrouvent ensemble au départ au premier instant qui est un multiple commun à 280 et 350 : c'est leur plus petit multiple commun non nul. Il doit contenir au moins \(2^3\) (pour 280), au moins \(5^2\) (pour 350) et le facteur 7 : \(2^3\times5^2\times7=8\times25\times7=1400\).
On convertit : \(1400=23\times60+20\). Camille et Dominique se retrouvent ensemble au départ pour la première fois après 1 400 secondes, soit 23 minutes et 20 secondes.
Corrigé de l’exercice 3 : programme de calcul, script et fonction
Partie A
1. Avec 5 au départ : \(5-2=3\) d'un côté, \(5+1=6\) de l'autre, puis \(3\times6=\) 18. Le résultat final est bien 18.
2. Avec \(-\dfrac{3}{2}\) au départ : \(-\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}=-\dfrac{7}{2}\) d'un côté, et \(-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{2}=-\dfrac{1}{2}\) de l'autre. Le produit est \(-\dfrac{7}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\) \(\dfrac{7}{4}\).
3. Les variables \(a\) et \(b\) mémorisent les deux résultats intermédiaires, et le script affiche leur produit. Ligne 3 : « mettre a à réponse - 2 » ; ligne 4 : « mettre b à réponse + 1 » ; ligne 5 : « dire a * b pendant 2 secondes ».
Partie B
1. On développe : \((x-2)(x+1)=x\times x+x\times1-2\times x-2\times1=x^2+x-2x-2=\) \(x^2-x-2\).
2. a. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc \((x-2)(x+1)=0\) équivaut à \(x-2=0\) ou \(x+1=0\), c'est-à-dire \(x=2\) ou \(x=-1\).
b. D'après la question 1, \(g(x)=(x-2)(x+1)\). Les antécédents de 0 sont donc les solutions de \(g(x)=0\) : \(-1\) et \(2\).
3. La courbe de \(g\) doit passer par les points \((-1\,;0)\) et \((2\,;0)\). Le graphique 1 ne coupe pas l'axe des abscisses en \(-1\), et le graphique 2 ne le coupe pas en 2 (de plus, ces deux courbes sont des droites alors que \(g\) n'est pas une fonction affine). C'est le graphique 3.
4. Le programme de calcul transforme un nombre \(x\) en \((x-2)(x+1)\), c'est-à-dire en \(g(x)\). Obtenir 0 en résultat final revient à chercher les antécédents de 0 par \(g\). Il faut choisir comme nombre de départ \(-1\) ou \(2\).
Corrigé de l’exercice 4 : Pythagore, trigonométrie, Thalès et homothétie
1. Le plus grand côté du triangle ABE est [AB]. D'une part \(AB^2=5{,}5^2=30{,}25\). D'autre part \(AE^2+EB^2=4{,}4^2+3{,}3^2=19{,}36+10{,}89=30{,}25\). On a \(AB^2=AE^2+EB^2\), donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en E.
2. Dans le triangle ABE rectangle en E, le côté adjacent à l'angle \(\widehat{\mathrm{ABE}}\) est [EB] et l'hypoténuse est [AB]. Donc \(\cos\widehat{\mathrm{ABE}}=\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{3{,}3}{5{,}5}=0{,}6\). À la calculatrice, \(\widehat{\mathrm{ABE}}\approx53{,}13^\circ\). L'angle \(\widehat{\mathrm{ABE}}\) mesure environ 53°.
3. Les points E, B, D sont alignés, ainsi que E, A, F, et les droites (AB) et (FD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, \(\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{AB}{FD}\), avec \(ED=EB+BD=3{,}3+6{,}6=9{,}9\). Donc \(\dfrac{3{,}3}{9{,}9}=\dfrac{5{,}5}{FD}\), d'où \(FD=\dfrac{5{,}5\times9{,}9}{3{,}3}=5{,}5\times3=\) 16,5 cm.
4. L'homothétie de centre E envoie B sur D, donc son rapport est \(\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{9{,}9}{3{,}3}=\) 3. (On retrouve aussi \(\dfrac{FD}{AB}=\dfrac{16{,}5}{5{,}5}=3\).)
Corrigé de l’exercice 5 : chapeau de sorcier, patron et volume
Partie A
1. Le triangle SOM est rectangle en O, donc, d'après le théorème de Pythagore, \(MS^2=OS^2+OM^2=30^2+9^2=900+81=981\). Ainsi \(MS=\sqrt{981}\approx31{,}32\). Arrondie au dixième, la longueur MS est bien 31,3 cm.
2. Le bord du chapeau est un cercle de rayon 9 cm, de longueur \(2\times\pi\times9=18\pi\approx56{,}55\) cm. Cette longueur est un peu supérieure à 56 cm, le tour de tête de Léo. Les dimensions sont donc adaptées : le chapeau entoure la tête de Léo, avec un très léger jeu d'environ 0,5 cm.
3. a. Le cercle de rayon SM a pour longueur \(2\times\pi\times31{,}3\approx196{,}66\). Arrondie au dixième, elle est égale à 196,7 cm.
b. Le tableau de proportionnalité est :
| Mesure de l'angle \(\widehat{\mathrm{M'SM}}\) (en degré) | 360 | … |
| Longueur de l'arc \(\overset{\frown}{\mathrm{M'M}}\) (en centimètre) | 196,7 | 56,5 |
Le tour complet (360°) correspond à la longueur du cercle entier, 196,7 cm.
c. Par proportionnalité : \(\widehat{\mathrm{M'SM}}=\dfrac{360\times56{,}5}{196{,}7}=\dfrac{20340}{196{,}7}\approx103{,}4^\circ\). L'angle \(\widehat{\mathrm{M'SM}}\) mesure environ 103°.
Partie B
1. Le rayon de la base est 9 cm et la hauteur 30 cm : \(V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times9^2\times30=\dfrac{1}{3}\times\pi\times81\times30=810\pi\approx2544{,}7\). Le volume est donc de 2 545 cm³ au cm³ près.
2. Les bonbons forment un petit cône de même sommet S, de hauteur 15 cm, soit la moitié de 30 cm. Il s'agit d'une réduction de rapport \(\dfrac{1}{2}\) : son rayon est 4,5 cm. Son volume est \(\dfrac{1}{3}\times\pi\times4{,}5^2\times15=101{,}25\pi\approx318{,}1\) cm³. Comme les volumes sont multipliés par \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}\), le petit cône occupe \(\dfrac{1}{8}=0{,}125=12{,}5\,\%\) du chapeau.
Comme \(12{,}5\,\%\lt 15\,\%\), l'estimation de Léo est correcte : les bonbons occupent moins de 15 % du volume du chapeau.