Une boîte, un aquarium, une piscine : tous ces objets occupent de la place. Dans ce chapitre, tu apprends à mesurer cette place : compter des cubes, calculer le volume d’un pavé droit ou d’un cube, changer d’unité (m³, dm³, cm³, litres) et résoudre des problèmes concrets.
1. Qu’est-ce qu’un volume ?
Le volume d’un solide mesure l’espace qu’il occupe. Pour le mesurer, on choisit une unité de volume (u.v.) et on compte combien de fois elle « rentre » dans le solide.
C’est comme pour une longueur : on compte combien de fois une petite règle rentre dans un segment. Pour un volume, l’unité est un petit cube.
Voici un pavé droit construit avec des petits cubes identiques. On prend un petit cube pour unité de volume.
Sur la première couche il y a 4 × 3 = 12 cubes. Il y a 2 couches, donc 12 × 2 = 24 cubes. Le volume est de 24 u.v.
Sur un dessin en perspective, on ne voit pas tous les cubes. Ceux de derrière ou du dessous existent quand même : il faut les compter ! Aide-toi des couches pour ne rien oublier.
2. Comparer des volumes
Quand deux solides sont construits avec des cubes identiques, on compte les cubes de chacun : celui qui a le plus de cubes a le plus grand volume. Pour ne pas se tromper, on compte couche par couche ou colonne par colonne.
Voici un solide en forme de L, avec des cubes identiques.
Deux couches de hauteur. Chaque couche contient 4 cubes devant et 2 cubes derrière, soit 6 cubes. Volume : 6 × 2 = 12 u.v.
Deux solides de formes très différentes peuvent avoir le même volume. Un solide « plus haut » n’a pas forcément un plus grand volume : il faut tout compter.
3. Le centimètre cube
Un cube dont l’arête mesure 1 cm a un volume de 1 cm³ (« un centimètre cube »). C’est l’unité de volume la plus utilisée pour les petits objets : 1 cm³ = 1 cm × 1 cm × 1 cm.
Avec des cubes de 1 cm d’arête, le volume en cm³ est le nombre de cubes. Voici un cube de 3 cm d’arête, rempli de petits cubes de 1 cm³ :
Une couche : 3 × 3 = 9 cubes. Trois couches : 9 × 3 = 27 cubes. Le volume est 27 cm³.
Le cm² mesure une aire (une surface) ; le cm³ mesure un volume (de l’espace). Si tu mesures la place occupée par un objet, c’est toujours une unité « au cube ».
4. Le volume d’un pavé droit
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont toutes les faces sont des rectangles : une boîte à chaussures, une brique, un aquarium. Il a trois dimensions : la longueur, la largeur et la hauteur.
Pour remplir cette boîte de cubes de 1 cm : le fond contient 5 × 3 = 15 cubes ; il faut 2 couches ; au total 15 × 2 = 30 cubes. Donc 30 cm³.
Volume = longueur × largeur × hauteur. Les trois dimensions doivent être exprimées dans la même unité. Si elles sont en cm, le volume est en cm³ ; en dm, il est en dm³ ; en m, il est en m³.
1) Repère les trois dimensions et vérifie qu’elles ont la même unité. 2) Calcule l’aire du fond : longueur × largeur. 3) Multiplie par la hauteur. 4) Écris le résultat avec l’unité au cube.
Exemple : un pavé de 8 cm, 6 cm et 5 cm. Fond : 8 × 6 = 48 cm². Volume : 48 × 5 = 240 cm³.
Si on connaît le volume et deux dimensions, on divise. Un pavé de 240 cm³ a un fond de 48 cm² : sa hauteur est 240 ÷ 48 = 5 cm. Vérifie en remultipliant !
5. Le volume d’un cube
Un cube est un pavé droit dont les trois dimensions sont égales : c’est sa longueur d’arête. Le volume d’un cube d’arête a est : a × a × a, que l’on écrit a³.
| Arête (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Volume (cm³) | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1 000 |
4³ ne veut pas dire 4 × 3 ! 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. De même, si on double l’arête d’un cube, son volume n’est pas doublé : il est multiplié par 8 (2 × 2 × 2).
6. Les unités de volume
Comme pour les longueurs, il existe des multiples et sous-multiples. Les unités à connaître sont le mètre cube (m³), le décimètre cube (dm³) et le centimètre cube (cm³).
Un cube de 1 dm d’arête, soit 10 cm : son volume est 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³. Donc 1 dm³ = 1 000 cm³.
Quand on passe d’une unité de volume à la suivante, on multiplie ou on divise par 1 000.
1 m³ = 1 000 dm³ · 1 dm³ = 1 000 cm³ · donc 1 m³ = 1 000 000 cm³.
Un cube de 1 m d’arête : 100 cm × 100 cm × 100 cm = 1 000 000 cm³ = 1 000 dm³.
Chaque unité occupe trois colonnes (centaines, dizaines, unités). On place le dernier chiffre de la partie entière dans la colonne des unités de l’unité de départ, puis on lit le nombre dans l’autre unité.
| m³ | dm³ | cm³ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| c | d | u | c | d | u | c | d | u |
| 3 | 2 | 5 | 0 | |||||
| 2 | 4 | 5 | 0 | |||||
Ligne 1 : 3,25 m³ = 3 250 dm³. Ligne 2 : 2 450 cm³ = 2,45 dm³ (le 2 est dans la colonne des unités de dm³). c = centaines, d = dizaines, u = unités.
7 dm³ = 7 000 cm³ · 4 500 dm³ = 4,5 m³ · 0,6 m³ = 600 dm³ · 12 000 cm³ = 12 dm³.
Pour les longueurs, on multiplie par 10 de rang en rang (1 m = 10 dm). Pour les volumes, c’est par 1 000 : 1 m³ n’est pas 10 dm³ mais 1 000 dm³.
7. Volumes et capacités : le litre
Un litre (L) est la capacité d’un cube de 1 dm d’arête : 1 L = 1 dm³. La capacité d’un récipient est le volume de liquide qu’il peut contenir.
1 L = 1 dm³ · 1 mL = 1 cm³ (un millilitre) · 1 m³ = 1 000 L · 1 L = 100 cL = 1 000 mL.
| Volume | Capacité |
|---|---|
| 1 m³ | 1 000 L |
| 1 dm³ | 1 L |
| 1 cm³ | 1 mL (0,001 L) |
| 250 cm³ | 250 mL = 25 cL |
| 0,5 dm³ | 0,5 L = 50 cL |
Un petit pot a un volume de 330 cm³. En millilitres : 330 mL. En litres : 0,33 L. Une bouteille de 1,5 L contient 1 500 cm³ de liquide.
Pour passer d’un volume à une capacité, convertis d’abord en dm³. Dès que tu as des dm³, tu as des litres, sans aucun calcul de plus !
8. Résoudre un problème de volume
1) Fais un petit schéma et note les dimensions. 2) Convertis toutes les longueurs dans la même unité. 3) Calcule le volume (L × l × h). 4) Convertis le résultat dans l’unité demandée (L, m³…). 5) Écris une phrase réponse avec l’unité.
Un aquarium mesure 80 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Quelle est sa capacité en litres ?
Volume : 80 × 30 × 40 = 2 400 × 40 = 96 000 cm³. Or 96 000 cm³ = 96 dm³ = 96 L. Il contient au maximum 96 litres.
Un solide est formé de deux pavés collés. L’un a un volume de 120 cm³ et l’autre de 45 cm³. Le volume total est la somme : 120 + 45 = 165 cm³. Si on creuse un trou dans un pavé, on soustrait le volume enlevé.
À retenir
- Le volume mesure l’espace occupé par un solide ; on le compte en unités de volume, par exemple en petits cubes.
- Le cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête.
- Pavé droit : volume = longueur × largeur × hauteur (même unité pour les trois). Cube : volume = arête × arête × arête.
- De m³ à dm³ et de dm³ à cm³, on multiplie par 1 000 : 1 m³ = 1 000 dm³ et 1 dm³ = 1 000 cm³.
- 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L.
- Pour trouver une dimension manquante, on divise le volume par l’aire du fond.