Pylônes, toits, charpentes, voiles de bateau, pointes de pizza : le triangle est la forme la plus solide et la plus répandue autour de nous. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à savoir si un triangle existe, à le construire, à reconnaître les triangles particuliers, à calculer ses angles, à tracer ses médiatrices et ses hauteurs, puis à calculer son aire.
1. Rappels et vocabulaire
Triangle
Un triangle est une figure plane fermée qui possède trois sommets, trois côtés (des segments) et trois angles. On le nomme avec les lettres de ses sommets : le triangle ABC.
Un triangle est une figure plane fermée qui possède trois sommets, trois côtés (des segments) et trois angles. On le nomme avec les lettres de ses sommets : le triangle ABC.
Le côté [BC] est le côté opposé au sommet A. L’angle ∠BAC (ou plus simplement ∠A) est l’angle de sommet A : il est formé par les côtés [AB] et [AC].
- Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés : P = AB + BC + CA.
- Sur une figure, on code les côtés de même longueur avec le même nombre de petits traits et l’angle droit avec un petit carré.
- Un triangle dont on ne sait rien de particulier est dit quelconque.
Astuce de Mathbot
Pour lire « l’angle ∠ABC », place-toi toujours au sommet qui est écrit au milieu : ici B. Les deux autres lettres indiquent les côtés de l’angle.
Pour lire « l’angle ∠ABC », place-toi toujours au sommet qui est écrit au milieu : ici B. Les deux autres lettres indiquent les côtés de l’angle.
2. L’inégalité triangulaire
Pour aller du point A au point B, le chemin le plus court est la ligne droite. Passer par un point C est donc un détour, ou, au mieux, un trajet aussi long.
Inégalité triangulaire
Pour trois points A, B et C quelconques : AB ≤ AC + CB.
• Si AB < AC + CB, les trois points forment un vrai triangle.
• Si AB = AC + CB, le point C est sur le segment [AB] : les trois points sont alignés, le triangle est « aplati ».
Pour trois points A, B et C quelconques : AB ≤ AC + CB.
• Si AB < AC + CB, les trois points forment un vrai triangle.
• Si AB = AC + CB, le point C est sur le segment [AB] : les trois points sont alignés, le triangle est « aplati ».
Méthode : savoir si un triangle est constructible
- Repère la plus grande des trois longueurs.
- Calcule la somme des deux autres.
- Si la plus grande est strictement inférieure à cette somme, le triangle existe. Sinon, il n’existe pas.
Exemple 1
Peut-on construire un triangle de côtés 7 cm, 9 cm et 15 cm ? Le plus grand côté mesure 15 cm et 7 + 9 = 16. Comme 15 < 16, oui, le triangle existe.
Peut-on construire un triangle de côtés 7 cm, 9 cm et 15 cm ? Le plus grand côté mesure 15 cm et 7 + 9 = 16. Comme 15 < 16, oui, le triangle existe.
Exemple 2
Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 5 cm et 8 cm ? Ici 3 + 5 = 8 : c’est l’égalité. Les points sont alignés, il n’y a pas de vrai triangle.
Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 5 cm et 8 cm ? Ici 3 + 5 = 8 : c’est l’égalité. Les points sont alignés, il n’y a pas de vrai triangle.
Piège
Il ne suffit pas de comparer deux longueurs au hasard ! Il faut comparer la plus grande à la somme des deux autres. Si celle-là convient, les deux autres vérifications sont automatiquement bonnes.
Il ne suffit pas de comparer deux longueurs au hasard ! Il faut comparer la plus grande à la somme des deux autres. Si celle-là convient, les deux autres vérifications sont automatiquement bonnes.
3. Construire un triangle
Un triangle est entièrement déterminé quand on connaît trois informations bien choisies. Il y a trois cas possibles.
Les trois cas de construction
Cas 1 : les longueurs des trois côtés (avec l’inégalité triangulaire vérifiée).
Cas 2 : un angle et les deux côtés qui l’entourent.
Cas 3 : un côté et les deux angles situés à ses extrémités (leur somme doit être inférieure à 180°).
Cas 1 : les longueurs des trois côtés (avec l’inégalité triangulaire vérifiée).
Cas 2 : un angle et les deux côtés qui l’entourent.
Cas 3 : un côté et les deux angles situés à ses extrémités (leur somme doit être inférieure à 180°).
Méthode : les trois côtés sont donnés (règle et compas)
- Trace le plus long côté, par exemple [AB] = 6 cm.
- Pour AC = 5 cm : place la pointe du compas en A, écartement 5 cm, trace un arc de cercle.
- Pour BC = 4 cm : place la pointe du compas en B, écartement 4 cm, trace un second arc.
- Les deux arcs se coupent en C. Relie C à A et à B.
Méthode : un angle et ses deux côtés / un côté et deux angles
- Trace le côté connu avec la règle.
- À une extrémité, place le rapporteur pour tracer l’angle donné.
- Cas 2 : reporte la longueur du second côté sur la demi-droite tracée, puis termine en reliant les points.
- Cas 3 : trace l’autre angle à l’autre extrémité. Les deux demi-droites se coupent au troisième sommet.
Exemple
Construis le triangle RST tel que RS = 7 cm, ∠R = 40° et ∠S = 70°. On trace [RS], puis un angle de 40° en R et un angle de 70° en S. Les deux demi-droites se coupent en T. Ici 40° + 70° = 110° < 180° : la construction est possible.
Construis le triangle RST tel que RS = 7 cm, ∠R = 40° et ∠S = 70°. On trace [RS], puis un angle de 40° en R et un angle de 70° en S. Les deux demi-droites se coupent en T. Ici 40° + 70° = 110° < 180° : la construction est possible.
4. Les triangles particuliers
Triangle isocèle
Un triangle est isocèle quand il a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal, le côté opposé est la base.
Un triangle est isocèle quand il a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal, le côté opposé est la base.
Triangle équilatéral
Un triangle est équilatéral quand ses trois côtés ont la même longueur.
Un triangle est équilatéral quand ses trois côtés ont la même longueur.
Triangle rectangle
Un triangle est rectangle quand il a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est le plus long côté.
Un triangle est rectangle quand il a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est le plus long côté.
Isocèle et angles
• Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure.
• Réciproquement, si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
• Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure.
• Réciproquement, si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
Équilatéral et angles
• Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60°.
• Réciproquement, si un triangle a trois angles de même mesure, alors il est équilatéral.
• Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60°.
• Réciproquement, si un triangle a trois angles de même mesure, alors il est équilatéral.
Piège
Un triangle équilatéral est aussi isocèle (il a bien deux côtés égaux, et même trois). Un triangle peut aussi être à la fois rectangle et isocèle : on le reconnaît à son angle droit et à ses deux autres angles de 45°.
Un triangle équilatéral est aussi isocèle (il a bien deux côtés égaux, et même trois). Un triangle peut aussi être à la fois rectangle et isocèle : on le reconnaît à son angle droit et à ses deux autres angles de 45°.
5. La somme des angles d’un triangle
Somme des angles
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Pourquoi est-ce vrai ? Trace la droite (d) parallèle à (BC) passant par A. Les angles formés par (d) et les côtés [AB] et [AC] sont alternes-internes avec les angles B et C : ils ont donc les mêmes mesures. Avec l’angle A, on obtient trois angles qui forment ensemble un angle plat, soit 180°.
Méthode : calculer un angle manquant
- Écris que la somme des trois angles vaut 180°.
- Additionne les deux angles connus.
- Soustrais ce total à 180°.
Exemple 1
Dans le triangle ABC, ∠A = 52° et ∠B = 77°. Comme la somme des angles est 180°, ∠C = 180° − (52° + 77°) = 180° − 129° = 51°.
Dans le triangle ABC, ∠A = 52° et ∠B = 77°. Comme la somme des angles est 180°, ∠C = 180° − (52° + 77°) = 180° − 129° = 51°.
Exemple 2 : triangle isocèle
Un triangle isocèle a un angle au sommet principal de 36°. Les deux angles à la base sont égaux et valent chacun (180° − 36°) ÷ 2 = 144° ÷ 2 = 72°.
Un triangle isocèle a un angle au sommet principal de 36°. Les deux angles à la base sont égaux et valent chacun (180° − 36°) ÷ 2 = 144° ÷ 2 = 72°.
Conséquences
• Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme de 90°.
• Un triangle rectangle isocèle a deux angles de 45°.
• Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle droit ou obtus.
• Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme de 90°.
• Un triangle rectangle isocèle a deux angles de 45°.
• Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle droit ou obtus.
6. Médiatrices et cercle circonscrit
Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
Propriété de la médiatrice
Un point est sur la médiatrice d’un segment [AB] si, et seulement si, il est à égale distance de A et de B : MA = MB.
Un point est sur la médiatrice d’un segment [AB] si, et seulement si, il est à égale distance de A et de B : MA = MB.
Médiatrices d’un triangle
Les médiatrices d’un triangle sont les médiatrices de ses trois côtés.
Les médiatrices d’un triangle sont les médiatrices de ses trois côtés.
Cercle circonscrit
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un seul point O. Ce point est à égale distance des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit, l’unique cercle qui passe par A, B et C.
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un seul point O. Ce point est à égale distance des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit, l’unique cercle qui passe par A, B et C.
Méthode : tracer le cercle circonscrit
- Trace la médiatrice de [AB] (au compas ou avec l’équerre et le milieu).
- Trace la médiatrice de [BC]. Elles se coupent en O.
- Place la pointe du compas en O, écartement OA, et trace le cercle : il passe par A, B et C.
(La troisième médiatrice sert de vérification.)
Cas du triangle rectangle
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse. Le cercle a donc l’hypoténuse pour diamètre.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse. Le cercle a donc l’hypoténuse pour diamètre.
Exemple
ABC est rectangle en A avec BC = 9 cm. Son cercle circonscrit a pour centre le milieu O de [BC] et pour rayon 9 ÷ 2 = 4,5 cm. On a donc OA = OB = OC = 4,5 cm.
ABC est rectangle en A avec BC = 9 cm. Son cercle circonscrit a pour centre le milieu O de [BC] et pour rayon 9 ÷ 2 = 4,5 cm. On a donc OA = OB = OC = 4,5 cm.
7. Les hauteurs d’un triangle
Hauteur
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). On parle de la hauteur issue de A ou relative au côté [BC]. Le pied de la hauteur est le point où elle coupe ce côté.
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). On parle de la hauteur issue de A ou relative au côté [BC]. Le pied de la hauteur est le point où elle coupe ce côté.
Méthode : tracer une hauteur
- Choisis le sommet de départ, par exemple A.
- Place l’équerre avec un côté de l’angle droit le long de [BC].
- Fais glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par A.
- Trace la droite : c’est la hauteur issue de A.
Orthocentre
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un seul point, appelé orthocentre.
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un seul point, appelé orthocentre.
Cas particuliers
• Si le triangle a un angle obtus (plus de 90°), deux hauteurs sont à l’extérieur du triangle : il faut prolonger le côté opposé pour y poser l’équerre.
• Si le triangle est rectangle, deux de ses hauteurs sont confondues avec les côtés de l’angle droit.
• Si le triangle a un angle obtus (plus de 90°), deux hauteurs sont à l’extérieur du triangle : il faut prolonger le côté opposé pour y poser l’équerre.
• Si le triangle est rectangle, deux de ses hauteurs sont confondues avec les côtés de l’angle droit.
8. L’aire d’un triangle
Aire d’un triangle
L’aire d’un triangle est la moitié du produit d’un côté (la base b) par la hauteur h qui lui est relative :
Aire = b × h ÷ 2
L’aire d’un triangle est la moitié du produit d’un côté (la base b) par la hauteur h qui lui est relative :
Aire = b × h ÷ 2
Le triangle occupe la moitié du rectangle de même base et de même hauteur.
- La base et la hauteur doivent être perpendiculaires et exprimées dans la même unité ; l’aire est alors en unité².
- On peut choisir n’importe quel côté comme base, à condition de prendre la hauteur qui lui correspond : on trouve toujours la même aire.
Exemple 1 : calcul de l’aire
Un triangle a une base de 9 cm et une hauteur relative de 4 cm. Son aire est 9 × 4 ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 cm².
Un triangle a une base de 9 cm et une hauteur relative de 4 cm. Son aire est 9 × 4 ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 cm².
Exemple 2 : calcul de la hauteur
Un triangle a pour aire 30 cm² et une base de 12 cm. On a 12 × h ÷ 2 = 30, donc 12 × h = 60 et h = 60 ÷ 12 = 5 cm.
Un triangle a pour aire 30 cm² et une base de 12 cm. On a 12 × h ÷ 2 = 30, donc 12 × h = 60 et h = 60 ÷ 12 = 5 cm.
Piège
N’utilise jamais un côté « penché » à la place de la hauteur : dans un triangle quelconque, la hauteur n’est pas un côté. Et n’oublie pas de diviser par 2 !
N’utilise jamais un côté « penché » à la place de la hauteur : dans un triangle quelconque, la hauteur n’est pas un côté. Et n’oublie pas de diviser par 2 !
À retenir
- Inégalité triangulaire : AB ≤ AC + CB ; le triangle existe si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
- On construit un triangle avec trois côtés, ou un angle et deux côtés, ou un côté et deux angles.
- Isocèle : deux côtés égaux et deux angles à la base égaux. Équilatéral : trois côtés égaux et trois angles de 60°. Rectangle : un angle droit.
- La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
- La médiatrice d’un segment est perpendiculaire au segment en son milieu ; ses points sont équidistants des extrémités.
- Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit ; dans un triangle rectangle, c’est le milieu de l’hypoténuse.
- Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; les trois hauteurs se coupent en l’orthocentre.
- Aire d’un triangle = base × hauteur ÷ 2.