Bac de maths 2021 Amérique du Nord : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : test anti-dopage, probabilités et loi binomiale

Partie A

1. On a \( P(D) = 0{,}08 \), donc \( P(\overline{D}) = 0{,}92 \). Un athlète dopé a un test positif avec la probabilité 0,98 : \( P_D(T) = 0{,}98 \) et \( P_D(\overline{T}) = 0{,}02 \). Un athlète non dopé a un test négatif avec la probabilité 0,995 : \( P_{\overline{D}}(\overline{T}) = 0{,}995 \) et \( P_{\overline{D}}(T) = 0{,}005 \). L'arbre a deux branches principales, \( D \) (0,08) et \( \overline{D} \) (0,92). De \( D \) partent \( T \) (0,98) et \( \overline{T} \) (0,02), de \( \overline{D} \) partent \( T \) (0,005) et \( \overline{T} \) (0,995).

2. \( D \) et \( \overline{D} \) forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :

\[ P(T) = P(D \cap T) + P(\overline{D} \cap T) = 0{,}08 \times 0{,}98 + 0{,}92 \times 0{,}005 = 0{,}0784 + 0{,}0046 = 0{,}083. \]

3. a. On cherche la probabilité de \( D \) sachant \( T \) :

\[ P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0784}{0{,}083} \approx 0{,}9446. \]

Au millième près, \( P_T(D) \approx 0{,}945 \).

b. Le laboratoire exige \( P_T(D) \geqslant 0{,}95 \). Or \( 0{,}945 \lt 0{,}95 \) : le test ne sera pas commercialisé.

Partie B

1. a. On contrôle 5 athlètes, de façon indépendante, chacun ayant une probabilité 0,103 d'avoir un test positif. \( X \) compte les tests positifs : \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n = 5 \) et \( p = 0{,}103 \).

b. \( E(X) = np = 5 \times 0{,}103 = \) 0,515. Interprétation : si l'on répète de nombreuses fois un contrôle de 5 athlètes, on trouve en moyenne un peu plus d'un demi test positif par contrôle (environ un test positif tous les deux contrôles).

c. L'événement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif » :

\[ P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}897^5 \approx 1 - 0{,}581 = 0{,}419. \]

La probabilité est environ 0,419.

2. Avec \( n \) athlètes contrôlés, \( P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}897^n \). On veut :

\[ 1 - 0{,}897^n \geqslant 0{,}75 \iff 0{,}897^n \leqslant 0{,}25 \iff n \ln(0{,}897) \leqslant \ln(0{,}25) \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}897)} \approx 12{,}75, \]

car \( \ln(0{,}897) \lt 0 \). Vérification : \( 1 - 0{,}897^{12} \approx 0{,}729 \lt 0{,}75 \) et \( 1 - 0{,}897^{13} \approx 0{,}757 \geqslant 0{,}75 \). Il faut contrôler au minimum 13 athlètes.

Corrigé de l’exercice 2 : population d’une espèce animale et suite

1. Début 2021, \( n = 1 \) : \( u_1 = 0{,}75 \times 0{,}6 \times (1 - 0{,}15 \times 0{,}6) = 0{,}45 \times 0{,}91 = 0{,}4095 \), soit environ 410 individus. Début 2022, \( n = 2 \) : \( u_2 = 0{,}75 \times 0{,}4095 \times (1 - 0{,}15 \times 0{,}4095) \approx 0{,}2883 \), soit environ 288 individus.

2. On développe : \( f(x) = 0{,}75x - 0{,}1125x^2 \), donc \( f'(x) = 0{,}75 - 0{,}225x \). Pour \( x \in [0\,;\,1] \), \( 0{,}225x \leqslant 0{,}225 \lt 0{,}75 \), donc \( f'(x) \gt 0 \) : \( f \) est strictement croissante sur \( [0\,;\,1] \), de \( f(0) = 0 \) à \( f(1) = 0{,}75 \times 0{,}85 = 0{,}6375 \).

3. \( f(x) = x \iff 0{,}75x - 0{,}1125x^2 - x = 0 \iff x\,(-0{,}25 - 0{,}1125x) = 0 \). Les solutions sont \( x = 0 \) ou \( x = -\dfrac{0{,}25}{0{,}1125} \approx -2{,}22 \), qui n'est pas dans \( [0\,;\,1] \). Donc l'ensemble des solutions dans \( [0\,;\,1] \) est \( \{0\} \).

4. a. Pour tout \( n \), on note \( P(n) \) : \( 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1 \).

Initialisation. \( u_0 = 0{,}6 \) et \( u_1 = 0{,}4095 \), donc \( 0 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 1 \) : \( P(0) \) est vraie.

Hérédité. On suppose \( 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1 \). Comme \( f \) est croissante sur \( [0\,;\,1] \), on conserve l'ordre : \( f(0) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n) \leqslant f(1) \), c'est-à-dire \( 0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 0{,}6375 \), donc \( 0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 \) : \( P(n+1) \) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier \( n \), \( 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1 \).

b. La suite \( (u_n) \) est décroissante (\( u_{n+1} \leqslant u_n \)) et minorée par 0. Elle converge donc (théorème de la convergence monotone).

c. La fonction \( f \) est continue et \( u_{n+1} = f(u_n) \), donc la limite \( \ell \) vérifie \( f(\ell) = \ell \). Comme tous les termes sont dans \( [0\,;\,1] \), on a \( \ell \in [0\,;\,1] \), et d'après la question 3, \( \ell = 0 \).

5. a. Comme \( (u_n) \) tend vers 0, il existe un rang à partir duquel \( u_n \leqslant 0{,}02 \), c'est-à-dire à partir duquel la population est inférieure ou égale à 20 individus. L'espèce sera donc bien tôt ou tard menacée d'extinction : le biologiste a raison.

b. Le programme calcule les termes de la suite tant que \( u \gt 0{,}02 \) et renvoie le nombre \( n \) de calculs effectués, donc le plus petit rang \( n \) pour lequel \( u_n \leqslant 0{,}02 \). Le programme est écrit avec des virgules décimales, alors qu'en Python on écrit 0.6 et 0.02 ; on le lit comme tel. En calculant les termes : \( u_{10} \approx 0{,}0249 \gt 0{,}02 \) et \( u_{11} \approx 0{,}0186 \leqslant 0{,}02 \). Le programme renvoie 11. Interprétation : c'est au début de l'année \( 2020 + 11 = \) 2031 que la population (environ 19 individus) passe sous le seuil de 20 : l'espèce est alors menacée d'extinction.

Corrigé de l’exercice 3 : cube, droites et plan dans l’espace

1. Dans le repère \( \left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right) \), on a A\( (0\,;\,0\,;\,0) \), I\( \left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right) \), K\( \left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \) et H\( (0\,;\,1\,;\,1) \). Donc \( \overrightarrow{\text{AI}}\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right) \) et \( \overrightarrow{\text{KH}}\left(0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \( \overrightarrow{\text{AI}} \) est nulle, pas celle de \( \overrightarrow{\text{KH}} \)). Les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

2. a. I est le milieu de [EF], avec E\( (0\,;\,0\,;\,1) \) et F\( (1\,;\,0\,;\,1) \) : I\( \left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right) \). J est le milieu de [BC], avec B\( (1\,;\,0\,;\,0) \) et C\( (1\,;\,1\,;\,0) \) : J\( \left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0\right) \).

b. \( \overrightarrow{\text{IJ}}\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,-1\right) \), \( \overrightarrow{\text{AE}}(0\,;\,0\,;\,1) \) et \( \overrightarrow{\text{AC}}(1\,;\,1\,;\,0) \). On remarque que \( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AE}} = \left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,-1\right) = \overrightarrow{\text{IJ}} \). Le vecteur \( \overrightarrow{\text{IJ}} \) est donc une combinaison linéaire de \( \overrightarrow{\text{AC}} \) et \( \overrightarrow{\text{AE}} \) : les trois vecteurs sont coplanaires.

3. Un vecteur directeur de \( d_1 \) est \( (1\,;\,-2\,;\,3) \), un vecteur directeur de \( d_2 \) est \( (1\,;\,1\,;\,2) \). Ils ne sont pas colinéaires (leurs deuxièmes coordonnées sont dans un rapport \( -2 \) alors que les premières sont dans un rapport 1). Les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) ne sont pas parallèles.

4. Un vecteur normal à \( \mathcal{P} \) est \( \overrightarrow{n}(1\,;\,3\,;\,-2) \). Le produit scalaire avec le vecteur directeur de \( d_2 \) vaut \( 1 \times 1 + 3 \times 1 + (-2) \times 2 = 0 \) : ils sont orthogonaux, donc \( d_2 \) est parallèle à \( \mathcal{P} \). De plus, le point \( (4\,;\,1\,;\,8) \) de \( d_2 \) vérifie \( 4 + 3 - 16 + 2 = -7 \neq 0 \), il n'est pas dans \( \mathcal{P} \) : la droite est strictement parallèle au plan.

5. Deux conditions suffisent. D'une part L\( (4\,;\,0\,;\,3) \) appartient à \( \mathcal{P} \) : \( 4 + 0 - 6 + 2 = 0 \). D'autre part \( \overrightarrow{\text{ML}}(-1\,;\,-3\,;\,2) = -\overrightarrow{n} \) est colinéaire au vecteur normal : la droite (ML) est orthogonale à \( \mathcal{P} \). Donc L est le projeté orthogonal de M sur \( \mathcal{P} \).

Corrigé de l’exercice A : exponentielle et convexité, cinq affirmations

Affirmation 1 : fausse. On a \( \left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a+2b} = \text{e}^{2a} \times \text{e}^{2b} \), un produit et non une somme. Contre-exemple : avec \( a = b = 0 \), le membre de gauche vaut \( 1 \) et celui de droite \( 1 + 1 = 2 \).

Affirmation 2 : vraie. \( f'(x) = -\text{e}^x + (3-x)\text{e}^x = (2-x)\text{e}^x \). Donc \( f(0) = -2 + 3 = 1 \) et \( f'(0) = 2 \). La tangente en A d'abscisse 0 a pour équation \( y = f'(0)\,(x - 0) + f(0) = 2x + 1 \).

Affirmation 3 : fausse. On factorise : \( \text{e}^{2x} - \text{e}^x + \dfrac{3}{x} = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 1\right) + \dfrac{3}{x} \). Quand \( x \to +\infty \), \( \text{e}^x \to +\infty \) et \( \text{e}^x - 1 \to +\infty \), donc le produit tend vers \( +\infty \), tandis que \( \dfrac{3}{x} \to 0 \). La limite est \( +\infty \), pas 0.

Affirmation 4 : vraie. Soit \( h(x) = 1 - x + \text{e}^{-x} \). On a \( h'(x) = -1 - \text{e}^{-x} \lt 0 \) : \( h \) est strictement décroissante sur \( [0\,;\,2] \). Comme \( h(0) = 2 \gt 0 \) et \( h(2) = -1 + \text{e}^{-2} \approx -0{,}86 \lt 0 \), le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone) donne une unique solution de \( h(x) = 0 \) dans \( [0\,;\,2] \).

Affirmation 5 : vraie. \( g'(x) = 2x - 5 + \text{e}^x \) puis \( g''(x) = 2 + \text{e}^x \gt 0 \) pour tout réel \( x \). La dérivée seconde est positive : \( g \) est convexe sur \( \mathbb{R} \).

Corrigé de l’exercice B : fonction logarithme et point d’inflexion

1. Le point A\( (1\,;\,4) \) est sur la courbe : \( f(1) = 4 \). La tangente en A est horizontale : son coefficient directeur est nul, donc \( f'(1) = 0 \).

2. Avec \( u(x) = a + b\ln x \) et \( v(x) = x \), on a \( u'(x) = \dfrac{b}{x} \) et \( v'(x) = 1 \). Alors

\[ f'(x) = \dfrac{\dfrac{b}{x} \times x - (a + b\ln x) \times 1}{x^2} = \dfrac{b - a - b\ln x}{x^2}. \]

3. D'après la question 1, \( f(1) = \dfrac{a + b \ln 1}{1} = a = 4 \). Puis \( f'(1) = \dfrac{b - a - b \ln 1}{1} = b - a = 0 \), donc \( b = a = 4 \). Ainsi \( a = 4 \) et \( b = 4 \).

4. En 0 : quand \( x \to 0^+ \), \( 4 + 4\ln x \to -\infty \) et \( \dfrac{1}{x} \to +\infty \), donc par produit \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \). En \( +\infty \) : \( f(x) = \dfrac{4}{x} + 4 \times \dfrac{\ln x}{x} \) et \( \dfrac{\ln x}{x} \to 0 \) par croissances comparées, donc \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \).

5. Avec \( a = b = 4 \), \( f'(x) = \dfrac{-4\ln x}{x^2} \), du signe de \( -\ln x \) car \( x^2 \gt 0 \). Pour \( 0 \lt x \lt 1 \), \( \ln x \lt 0 \), donc \( f'(x) \gt 0 \) ; pour \( x \gt 1 \), \( \ln x \gt 0 \), donc \( f'(x) \lt 0 \).

6. On dérive \( f'(x) = -4\,\dfrac{\ln x}{x^2} \) avec \( u = \ln x \), \( u' = \dfrac{1}{x} \), \( v = x^2 \), \( v' = 2x \) :

\[ f''(x) = -4 \times \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x^2 - \ln x \times 2x}{x^4} = -4 \times \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = -4 \times \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} = \dfrac{-4 + 8\ln x}{x^3}. \]

7. Le signe de \( f''(x) \) est celui de \( -4 + 8\ln x \) (car \( x^3 \gt 0 \)). On a \( -4 + 8\ln x \gt 0 \iff \ln x \gt \dfrac{1}{2} \iff x \gt \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}649 \). Donc \( f'' \lt 0 \) sur \( \left]0\,;\,\sqrt{\text{e}}\right[ \) (la fonction est concave) et \( f'' \gt 0 \) sur \( \left]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty\right[ \) (convexe). \( f'' \) s'annule en changeant de signe en un seul point : la courbe admet un unique point d'inflexion, d'abscisse \( \sqrt{\text{e}} \) et d'ordonnée

\[ f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \dfrac{4 + 4 \times \frac{1}{2}}{\sqrt{\text{e}}} = \dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}} \approx 3{,}64. \]

Le point d'inflexion est B\( \left(\sqrt{\text{e}}\,;\,\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\right) \approx (1{,}649\,;\,3{,}639) \).