Corrigé de l’exercice 1 : QCM
1. On dérive \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{-2x}\) avec la formule du produit \((uv)'=u'v+uv'\), où \(u(x)=x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-2x}\), donc \(v'(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}\) :
\[f'(x)=\mathrm{e}^{-2x}-2x\,\mathrm{e}^{-2x}=(1-2x)\mathrm{e}^{-2x}\]
On dérive encore, avec \(u(x)=1-2x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-2x}\) :
\[f''(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}-2(1-2x)\mathrm{e}^{-2x}=(-2-2+4x)\mathrm{e}^{-2x}=4(x-1)\mathrm{e}^{-2x}\]
Réponse b.
2. Choisir 3 spécialités parmi 12 sans tenir compte de l'ordre, c'est compter les combinaisons de 3 éléments parmi 12 :
\[\dbinom{12}{3}=\dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220\]
Réponse c.
3. Le signe de \(f'\) donne le sens de variation de \(f\). Sur la courbe de \(f'\) : elle est sous l'axe des abscisses sur \([0\,;\,2[\), donc \(f'\lt 0\) et \(f\) décroît ; elle est au-dessus sur \(]2\,;\,5[\), donc \(f\) croît ; elle est de nouveau en dessous sur \(]5\,;\,7]\), donc \(f\) décroît. Les changements de variation ont lieu en \(x=2\) et \(x=5\) : décroissante, croissante, décroissante.
Réponse b.
4. Notons \(A\) et \(B\) les évènements « la puce a le défaut A » et « la puce a le défaut B ». On a \(P(A)=0{,}028\) et \(P(B)=0{,}022\). Comme 95,4 % des puces n'ont aucun défaut, \(P(A\cup B)=1-0{,}954=0{,}046\). La formule \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) donne :
\[P(A\cap B)=0{,}028+0{,}022-0{,}046=0{,}004\]
Réponse b.
5. Sur \(]-\infty\,;\,-1]\), la fonction \(f\) est croissante, donc sa dérivée \(f'\) y est positive. Sur \([-1\,;\,+\infty[\), \(f\) est décroissante, donc \(f'\) y est négative : les réponses a, c et d sont fausses.
Réponse b.
Corrigé de l’exercice 2 : transports en commun
Partie A
1. Les données sont \(P(R)=0{,}17\) et \(P_R(J)=0{,}32\). On complète l'arbre avec les probabilités des évènements contraires :
- branche \(R\) : \(0{,}17\), puis \(J\) : \(0{,}32\) et \(\overline{J}\) : \(1-0{,}32=0{,}68\) ;
- branche \(\overline{R}\) : \(1-0{,}17=0{,}83\), puis \(J\) et \(\overline{J}\) : probabilités inconnues pour le moment (on les calcule à la question 4).
2. \(P(R\cap J)=P(R)\times P_R(J)=0{,}17\times 0{,}32=\) 0,0544.
3. D'après la formule des probabilités totales, avec la partition \(\{R\,;\,\overline{R}\}\) :
\[P(J)=P(R\cap J)+P(\overline{R}\cap J)\]
\[P(\overline{R}\cap J)=0{,}11-0{,}0544=0{,}0556\approx 0{,}056\]
La probabilité est bien de 0,056 à \(10^{-3}\) près.
4. On cherche \(P_{\overline{R}}(J)\) :
\[P_{\overline{R}}(J)=\dfrac{P(\overline{R}\cap J)}{P(\overline{R})}=\dfrac{0{,}0556}{0{,}83}\approx 0{,}067\]
Environ 6,7 % des utilisateurs non réguliers ont entre 18 et 24 ans. (Avec la valeur déjà arrondie 0,056, on trouverait 0,0675 : on garde la valeur exacte 0,0556 pour ne pas cumuler les arrondis.)
Partie B
1. Chaque personne interrogée est une épreuve de Bernoulli : succès « elle utilise régulièrement les transports en commun », de probabilité \(p=0{,}17\). Les 50 interrogations sont identiques et indépendantes (tirage assimilé à un tirage avec remise). Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=50\) et \(p=0{,}17\).
2.
\[P(X=5)=\dbinom{50}{5}\times 0{,}17^5\times 0{,}83^{45}\approx 0{,}069\]
Interprétation : sur 50 personnes interrogées, la probabilité que exactement 5 utilisent régulièrement les transports en commun est d'environ 6,9 %.
3. « Moins de 13 » signifie \(X\leqslant 12\). À la calculatrice, \(P(X\leqslant 12)\approx 0{,}929\). Comme \(0{,}929\lt 0{,}95\), l'affirmation du recenseur est fausse.
4. L'espérance d'une loi binomiale est \(E(X)=np=50\times 0{,}17=8{,}5\). En moyenne, 8,5 personnes sur 50 utilisent régulièrement les transports en commun.
Corrigé de l’exercice 3 : télétravail et suites
Partie A
1. \(a_1=0{,}85\times 200+450=170+450=\) 620.
2. Garder 85 % des télétravailleurs du mois précédent revient à multiplier \(a_n\) par 0,85, puis 450 nouveaux collaborateurs s'ajoutent. Donc pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1}=0{,}85a_n+450\).
3.a. Pour tout \(n\), on remplace \(a_{n+1}\) puis on factorise :
\[v_{n+1}=a_{n+1}-3\,000=0{,}85a_n+450-3\,000=0{,}85a_n-2\,550\]
\[v_{n+1}=0{,}85\,(a_n-3\,000)=0{,}85\,v_n\]
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,85, et son premier terme est \(v_0=200-3\,000=-2\,800\).
3.b. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=-2\,800\times 0{,}85^n\).
3.c. Comme \(a_n=v_n+3\,000\), on obtient \(a_n=-2\,800\times 0{,}85^n+3\,000\).
4. On résout \(a_n\gt 2\,500\) :
\[-2\,800\times 0{,}85^n+3\,000\gt 2\,500\iff 0{,}85^n\lt\dfrac{500}{2\,800}=\dfrac{5}{28}\]
On compose par le logarithme népérien, qui est croissant ; comme \(\ln(0{,}85)\lt 0\), l'inégalité change de sens quand on divise :
\[n\ln(0{,}85)\lt\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)\iff n\gt\dfrac{\ln\left(\frac{5}{28}\right)}{\ln(0{,}85)}\approx 10{,}6\]
Vérification : \(a_{10}\approx 2\,448{,}8\) et \(a_{11}\approx 2\,531{,}4\). Le nombre de télétravailleurs dépasse 2 500 au bout de 11 mois (avril 2021).
Partie B
1. La fonction \(f\) est une fonction rationnelle dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) et
\[f'(x)=\dfrac{5(x+2)-(5x+4)\times 1}{(x+2)^2}=\dfrac{6}{(x+2)^2}\]
Cette dérivée est strictement positive pour tout \(x\geqslant 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
2.a. Notons \(P(n)\) la propriété \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4\).
Initialisation. \(u_0=1\) et \(u_1=\dfrac{5\times 1+4}{1+2}=3\). On a bien \(0\leqslant 1\leqslant 3\leqslant 4\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4\). Comme \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), on obtient \(f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(4)\). Or \(f(0)=2\), \(f(u_n)=u_{n+1}\), \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et \(f(4)=\dfrac{24}{6}=4\). Donc \(0\leqslant 2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4\).
2.b. D'après la question précédente, la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leqslant u_{n+1}\)) et majorée par 4. Par le théorème de la convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.
3. Comme \(-1\lt\dfrac{1}{2}\lt 1\), la suite \(\left(3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\) tend vers 0. L'encadrement \(0\leqslant 4-u_n\leqslant 3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et le théorème des gendarmes donnent \(\lim (4-u_n)=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\).
Interprétation : à long terme, le nombre de collaborateurs satisfaits se rapproche de 4 000 sur les 5 000 collaborateurs de l'entreprise.
Corrigé de l’exercice A : géométrie dans l’espace
1. On calcule les coordonnées des vecteurs : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}\). Leur produit scalaire vaut
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times(-2)+0\times 5+2\times 1=0\]
Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
2.a. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, ils dirigent donc le plan (ABC). On calcule :
\[\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times 1+1\times 0+(-1)\times 2=0\]
\[\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-2)+1\times 5+(-1)\times 1=0\]
Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc au plan (ABC).
2.b. Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan (ABC), qui admet donc une équation du type \(2x+y-z+d=0\). Le point A appartient au plan : \(2\times 2+(-1)-0+d=0\), donc \(d=-3\). Une équation du plan (ABC) est \(2x+y-z-3=0\).
2.c. Pour S : \(2\times 0+1-4-3=-6\neq 0\). Le point S n'appartient pas au plan (ABC), donc les quatre points ne sont pas coplanaires.
3.a. La droite \((d)\) est orthogonale au plan (ABC), donc \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur directeur ; elle passe par S. Une représentation paramétrique est :
\[\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=4-t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\]
3.b. Le point H appartient à \((d)\) et au plan (ABC) : on reporte dans l'équation du plan.
\[2(2t)+(1+t)-(4-t)-3=0\iff 6t-6=0\iff t=1\]
Pour \(t=1\) : \(x=2\), \(y=2\), \(z=3\). On retrouve \(\text{H}(2\,;\,2\,;\,3)\).
4. La base est le triangle ABC, rectangle en A, avec \(AB=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}\) et \(AC=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}\). Son aire est
\[\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{150}}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\]
La hauteur issue de S est SH (H est le projeté orthogonal de S sur (ABC)) : \(SH=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\). Alors
\[V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\times\sqrt{6}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5\times 6}{2}=5\]
Le volume du tétraèdre SABC est 5 unités de volume.
5.a. \(\overrightarrow{SA}\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}\), donc \(SA=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=\) \(2\sqrt{6}\).
5.b. On a \(\overrightarrow{SB}\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}=6+4+8=18\). Par ailleurs \(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}=SA\times SB\times\cos\widehat{ASB}\), d'où
\[\cos\widehat{ASB}=\dfrac{18}{2\sqrt{6}\times\sqrt{17}}=\dfrac{9}{\sqrt{102}}\]
La calculatrice donne \(\widehat{ASB}\approx 26{,}98^\circ\), soit 27,0° au dixième de degré près.
Corrigé de l’exercice B : équations différentielles
Partie A
1. La dérivée de \(x\mapsto\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\) est \(-\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\). Donc
\[g'(x)=2\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{-2}{3}\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3}\]
2. On écrit \(g'(x)=\dfrac{2}{3}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\right)\). Alors \(g'(x)\gt 0\iff\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\lt 1\iff-\dfrac{1}{3}x\lt 0\iff x\gt 0\). Donc \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec \(g(0)=2-0-2=0\).
3. Le minimum de \(g\) est \(g(0)=0\), atteint en 0. Donc \(g(x)\geqslant 0\) pour tout réel \(x\) (et \(g(x)=0\) seulement en \(x=0\)).
Partie B
1. L'équation \(3y'+y=0\) équivaut à \(y'=-\dfrac{1}{3}y\). D'après le cours, les solutions sont les fonctions \(x\mapsto C\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\), avec \(C\in\mathbb{R}\).
2. La courbe passe par M\((0\,;\,2)\) : \(C\mathrm{e}^{0}=2\), donc \(C=2\). La solution cherchée est \(x\mapsto 2\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\).
3.a. On a \(f'(x)=-\dfrac{2}{3}\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\), donc \(f'(0)=-\dfrac{2}{3}\) et \(f(0)=2\). La tangente en M a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=-\dfrac{2}{3}x+2\).
3.b. On étudie le signe de la différence entre la courbe et la tangente :
\[f(x)-\left(-\dfrac{2}{3}x+2\right)=2\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x-2=g(x)\]
Comme \(g(x)\geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente \((\Delta_0)\) sur \(\mathbb{R}\), avec un seul point commun, M.
Partie C
1. La tangente en A d'abscisse \(a\) a pour équation
\[y=f'(a)(x-a)+f(a)=-\dfrac{2}{3}\mathrm{e}^{-\frac{a}{3}}(x-a)+2\mathrm{e}^{-\frac{a}{3}}\]
Elle coupe l'axe des abscisses lorsque \(y=0\). On divise par \(\mathrm{e}^{-\frac{a}{3}}\), qui est non nul :
\[-\dfrac{2}{3}(x-a)+2=0\iff x-a=3\iff x=a+3\]
La tangente \((\Delta_a)\) coupe donc l'axe des abscisses au point P\((a+3\,;\,0)\).
2. Pour \(a=-2\), le point d'intersection avec l'axe des abscisses est P\((1\,;\,0)\). On place sur la courbe le point B d'abscisse \(-2\) (son ordonnée est \(2\mathrm{e}^{\frac{2}{3}}\approx 3{,}9\)), on place le point P\((1\,;\,0)\), puis on trace la droite (BP) : c'est la tangente \((\Delta_{-2})\). Son coefficient directeur est bien \(f'(-2)=-\dfrac{2}{3}\mathrm{e}^{\frac{2}{3}}\approx-1{,}3\), ce qui correspond à \(\dfrac{0-3{,}9}{1-(-2)}\).