Bac de maths 2021 France J1 : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : étude de la fonction \(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\)

1. La fonction \(f\) est un quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s'annulant pas sur \(]0\,;\,+\infty[\). On pose \(u(x)=\text{e}^{2x}\) et \(v(x)=x\), donc \(u'(x)=2\text{e}^{2x}\) et \(v'(x)=1\). Alors :

\[f'(x)=\dfrac{2\text{e}^{2x}\times x-\text{e}^{2x}\times 1}{x^2}=\dfrac{\text{e}^{2x}(2x-1)}{x^2}\]

Réponse c.

2. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(\text{e}^{2x}\gt 0\) et \(x^2\gt 0\) : le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2x-1\). Ce facteur est négatif pour \(x\lt \dfrac{1}{2}\) et positif pour \(x\gt \dfrac{1}{2}\). La fonction \(f\) est donc décroissante sur \(\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right]\) puis croissante sur \(\left[\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\) : elle admet un minimum en \(\dfrac{1}{2}\). Réponse c.

3. On écrit \(f(x)=2\times\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\). En posant \(X=2x\), quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) tend vers \(+\infty\), et par croissances comparées \(\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\dfrac{\text{e}^X}{X}=+\infty\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Réponse a.

4. Le signe de \(f''(x)\) est celui de \(2x^2-2x+1\) car \(2\text{e}^{2x}\gt 0\) et \(x^3\gt 0\). Le discriminant de ce trinôme est \(\Delta=(-2)^2-4\times2\times1=-4\lt 0\) : le trinôme n'a pas de racine et, son coefficient dominant étant positif, il est strictement positif pour tout réel. Ainsi \(f''(x)\gt 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) : la fonction est convexe, et la courbe n'a pas de point d'inflexion. Réponse b.

Corrigé de l’exercice 2 : test sur des pièces mécaniques

Partie I

1. On a \(p(D)=0{,}05\), donc \(p(\overline{D})=0{,}95\). Les données donnent \(p_D(T)=0{,}98\) donc \(p_D(\overline{T})=0{,}02\), et \(p_{\overline{D}}(\overline{T})=0{,}97\) donc \(p_{\overline{D}}(T)=0{,}03\). L'arbre pondéré est :

\lt p style="text-align: center;"\gt \lt img src="{{GEN:arbre-pieces.png}}" alt="Arbre pondéré : D avec la probabilité 0,05 puis T avec 0,98 et non T avec 0,02 ; non D avec 0,95 puis T avec 0,03 et non T avec 0,97" width="620" /\gt

2. a. On multiplie les probabilités le long de la branche \(D\) puis \(T\) :

\(p(D\cap T)=p(D)\times p_D(T)=0{,}05\times0{,}98=\mathbf{0{,}049}\)

2. b. De la même façon, \(p\left(\overline{D}\cap T\right)=0{,}95\times0{,}03=0{,}0285\). Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :

\(p(T)=p(D\cap T)+p\left(\overline{D}\cap T\right)=0{,}049+0{,}0285=\mathbf{0{,}0775}\)

3. La valeur prédictive positive est :

\[p_T(D)=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}049}{0{,}0775}\approx 0{,}632\]

Cette valeur est inférieure à \(0{,}95\) : le test n'est pas efficace. Autrement dit, quand le test est positif, la pièce n'est défectueuse que dans environ 63 % des cas.

Partie II

1. On répète 20 fois la même épreuve de façon identique et indépendante (le tirage est assimilé à un tirage avec remise). Chaque épreuve n'a que deux issues : « la pièce est défectueuse » avec la probabilité \(0{,}05\), ou non. La variable \(X\) compte les succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}05\).

2. L'évènement contraire de « au moins une pièce défectueuse » est « aucune pièce défectueuse » :

\(p(X\geqslant1)=1-p(X=0)=1-0{,}95^{20}\approx 0{,}6415\)

Arrondi au centième : 0,64.

3. \(E(X)=n\times p=20\times0{,}05=\mathbf{1}\). Sur un grand nombre d'échantillons de 20 pièces, on trouvera en moyenne une pièce défectueuse par échantillon.

Corrigé de l’exercice 3 : décongélation de gâteaux

I – Premier modèle

En 10 minutes, la température passe de \(-19\) °C à \(1{,}3\) °C, soit une hausse de \(1{,}3-(-19)=20{,}3\) °C, donc \(2{,}03\) °C par minute. En 25 minutes, la hausse serait de \(25\times2{,}03=50{,}75\) °C et la température serait \(-19+50{,}75=\mathbf{31{,}75}\) °C.

Ce résultat dépasse la température de la terrasse (25 °C) : un gâteau ne peut pas devenir plus chaud que l'air qui l'entoure. Le modèle n'est pas pertinent.

II – Second modèle

1. \(T_{n+1}=T_n-0{,}06\left(T_n-25\right)=T_n-0{,}06\,T_n+1{,}5=0{,}94\,T_n+1{,}5\).

2. \(T_1=0{,}94\times(-19)+1{,}5=-16{,}36\), soit \(T_1\approx-16{,}4\).

\(T_2=0{,}94\times(-16{,}36)+1{,}5=-13{,}8784\), soit \(T_2\approx-13{,}9\).

3. Démontrons par récurrence que \(T_n\leqslant25\) pour tout entier naturel \(n\).

Initialisation. \(T_0=-19\leqslant25\) : la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité. Supposons \(T_n\leqslant25\) pour un entier \(n\) fixé. En multipliant par \(0{,}94\gt 0\), on obtient \(0{,}94\,T_n\leqslant23{,}5\), puis en ajoutant \(1{,}5\) : \(0{,}94\,T_n+1{,}5\leqslant25\), c'est-à-dire \(T_{n+1}\leqslant25\). La propriété est vraie au rang \(n+1\).

Conclusion. Par récurrence, \(T_n\leqslant25\) pour tout entier naturel \(n\).

Ce résultat était prévisible : les gâteaux se réchauffent au contact de l'air à 25 °C, ils ne peuvent pas dépasser cette température.

4. D'après l'énoncé, \(T_{n+1}-T_n=-0{,}06\left(T_n-25\right)=0{,}06\left(25-T_n\right)\). Comme \(T_n\leqslant25\), on a \(25-T_n\geqslant0\), donc \(T_{n+1}-T_n\geqslant0\). La suite \((T_n)\) est croissante.

5. La suite \((T_n)\) est croissante et majorée par 25 : d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

6. a. Pour tout entier \(n\) :

\(U_{n+1}=T_{n+1}-25=0{,}94\,T_n+1{,}5-25=0{,}94\,T_n-23{,}5=0{,}94\left(T_n-25\right)=0{,}94\,U_n\)

La suite \((U_n)\) est géométrique de raison \(0{,}94\) et de premier terme \(U_0=T_0-25=-44\).

6. b. Pour tout \(n\), \(U_n=U_0\times0{,}94^n=-44\times0{,}94^n\). Comme \(T_n=U_n+25\), on obtient :

\[T_n=-44\times0{,}94^n+25\]

6. c. Comme \(0\lt 0{,}94\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}94^n=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}T_n=\mathbf{25}\). À long terme, les gâteaux atteignent la température de la terrasse, 25 °C.

7. a. Une demi-heure correspond à \(n=30\) :

\(T_{30}=25-44\times0{,}94^{30}\approx18{,}12\)

Les gâteaux sont donc à environ 18 °C.

7. b. On calcule : \(T_{17}\approx9{,}63\lt 10\) et \(T_{18}\approx10{,}55\gt 10\). Comme la suite est croissante, la température de 10 °C est atteinte entre la 17^e et la 18^e minute : \(17\lt t\lt 18\).

7. c. On part de \(T_0=-19\) et on continue tant que \(T\lt 10\) en calculant le terme suivant avec la relation de récurrence. À la sortie de la boucle, \(n\) est le premier rang pour lequel \(T_n\geqslant10\). Programme complété :

def seuil() :
    n=0
    T=-19
    while T<10 :
        T=0.94*T+1.5
        n=n+1
    return n

Son exécution renvoie 18, ce qui est cohérent avec la question précédente.

Corrigé de l’exercice au choix

Corrigé de l’exercice A : le point d’une droite le plus proche de A

1. Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\overrightarrow{OM}=t\,\overrightarrow{u}\) avec \(t\in\mathbb{R}\). Une représentation paramétrique de \(d\) est donc :

\[\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=t\\z=0\end{array}\right.\quad t\in\mathbb{R}\]

2. a. Avec \(A(1\,;\,3\,;\,2)\) et \(M(t\,;\,t\,;\,0)\), on a \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}t-1\\t-3\\-2\end{pmatrix}\), donc :

\(AM^2=(t-1)^2+(t-3)^2+(-2)^2=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4=2t^2-8t+14\)

2. b. On met le trinôme sous forme canonique :

\(2t^2-8t+14=2\left(t^2-4t+7\right)=2\left[(t-2)^2+3\right]=2(t-2)^2+6\)

Comme \((t-2)^2\geqslant0\), on a \(AM^2\geqslant6\), avec égalité si et seulement si \(t=2\). La distance \(AM\) est donc minimale pour \(t=2\), c'est-à-dire au point \(M_0(2\,;\,2\,;\,0)\), et vaut \(AM_0=\sqrt6\).

3. On a \(\overrightarrow{AM_0}\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Alors :

\(\overrightarrow{AM_0}\cdot\overrightarrow{u}=1\times1+(-1)\times1+(-2)\times0=0\)

Les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites \((AM_0)\) et \(d\) sont orthogonales.

4. On a \(\overrightarrow{A'M_0}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{A'M_0}\cdot\overrightarrow{u}=1-1+0=0\). Le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((AA'M_0)\), à savoir \(\overrightarrow{AM_0}\) et \(\overrightarrow{A'M_0}\). La droite \(d\) est donc orthogonale au plan \((AA'M_0)\), et comme \(M_0\) appartient à \(d\) et à ce plan, \(M_0\) est le projeté orthogonal de O sur ce plan. Le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche de O : \(M_0\) est le point du plan \((AA'M_0)\) le plus proche de O.

5. On prend pour base le triangle \(AA'M_0\). La droite \((AA')\) est verticale, donc orthogonale au plan \(z=0\) qui contient \(A'\) et \(M_0\) : le triangle \(AA'M_0\) est rectangle en \(A'\). On a \(AA'=2\) et \(A'M_0=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\), donc :

\(\mathcal{B}=\dfrac{AA'\times A'M_0}{2}=\dfrac{2\times\sqrt2}{2}=\sqrt2\)

La hauteur relative à cette base est la distance de O au plan, soit \(OM_0=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\) d'après la question 4. Finalement :

\[V=\dfrac13\times\sqrt2\times2\sqrt2=\dfrac{4}{3}\]

Le volume de la pyramide est \(\dfrac{4}{3}\) unité de volume.

Corrigé de l’exercice B : équation différentielle \(y’=y+2x\text{e}^x\)

1. La fonction \(u(x)=x^2\text{e}^x\) a pour dérivée \(u'(x)=2x\,\text{e}^x+x^2\text{e}^x=u(x)+2x\,\text{e}^x\). Elle vérifie donc \(u'=u+2x\text{e}^x\) : \(u\) est bien une solution particulière de \((E)\).

2. a. Si \(f\) est solution de \((E)\), alors \(f'(x)=f(x)+2x\text{e}^x\). Comme \(g=f-u\), on a \(g'=f'-u'\), donc :

\(g'(x)=f(x)+2x\text{e}^x-\left(u(x)+2x\text{e}^x\right)=f(x)-u(x)=g(x)\)

La fonction \(g\) est solution de \(y'=y\).

2. b. Les solutions de \(y'=y\) sont les fonctions \(x\mapsto K\text{e}^x\) avec \(K\in\mathbb{R}\). La propriété et sa réciproque (admise) montrent que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(g=f-u\) est de cette forme. Donc \(f(x)=K\text{e}^x+x^2\text{e}^x\). Les solutions de \((E)\) sont les fonctions :

\[f(x)=\left(x^2+K\right)\text{e}^x,\quad K\in\mathbb{R}\]

3. a. On a \(u'(x)=\text{e}^x\left(x^2+2x\right)=x(x+2)\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x\gt 0\), le signe de \(u'(x)\) est celui de \(x(x+2)\), trinôme de racines \(-2\) et \(0\), positif à l'extérieur des racines :

• \(u'(x)\gt 0\) sur \(]-\infty\,;\,-2[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\) ;
• \(u'(x)\lt 0\) sur \(]-2\,;\,0[\) ;
• \(u'(-2)=u'(0)=0\).

3. b. On en déduit les variations de \(u\), avec \(u(-2)=4\text{e}^{-2}\) et \(u(0)=0\) :

\lt table class="mpb-table"\gt

3. c. On dérive \(u'(x)=\left(x^2+2x\right)\text{e}^x\) :

\(u''(x)=(2x+2)\text{e}^x+\left(x^2+2x\right)\text{e}^x=\left(x^2+4x+2\right)\text{e}^x\)

Le signe de \(u''(x)\) est celui de \(x^2+4x+2\). Son discriminant est \(\Delta=16-8=8\), donc ses racines sont \(\dfrac{-4-2\sqrt2}{2}=-2-\sqrt2\) et \(-2+\sqrt2\). Ce trinôme est négatif entre ses racines. La fonction \(u\) est concave là où \(u''\leqslant0\) : le plus grand intervalle est \(\left[-2-\sqrt2\,;\,-2+\sqrt2\right]\), soit environ \([-3{,}41\,;\,-0{,}59]\).