Bac de maths 2023 Amérique du Nord J2 : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : fonction exponentielle, dérivée, convexité et tangente

Partie A

1. Le sens de variation de \(f\) se lit sur le signe de \(f'\). D'après la courbe, \(f'\) est positive jusqu'à \(x\approx 0{,}4\), négative entre \(0{,}4\) et \(2{,}6\) environ, puis positive ensuite. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\ ;\ 0{,}4]\), décroissante sur \([0{,}4\ ;\ 2{,}6]\) et croissante sur \([2{,}6\ ;\ +\infty[\) (valeurs approchées).

2. \(f\) est convexe là où \(f'\) est croissante. Sur la courbe, \(f'\) croît jusqu'à \(x=-1\), décroît entre \(-1\) et \(2\), puis croît à nouveau. Donc \(f\) semble convexe sur \(]-\infty\ ;\ -1]\) et sur \([2\ ;\ +\infty[\).

Partie B

1. a. Quand \(x\to+\infty\), \(x^2-5x+6\sim x^2\to+\infty\) et \(\text{e}^x\to+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

b. Pour \(x\neq 0\), on écrit \(f(x)=x^2\text{e}^x\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^2}\right)\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2\text{e}^x=0\), et la parenthèse tend vers 1. Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\).

2. La fonction \(f\) est un produit de fonctions dérivables : avec \(u(x)=x^2-5x+6\) et \(v(x)=\text{e}^x\), \(f'=u'v+uv'\). Donc \(f'(x)=(2x-5)\text{e}^x+(x^2-5x+6)\text{e}^x=(x^2-3x+1)\text{e}^x\). Le résultat est bien \(f'(x)=(x^2-3x+1)\text{e}^x\).

3. Comme \(\text{e}^x\gt 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(x^2-3x+1\). Son discriminant est \(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 1=5\gt 0\), et ses racines sont \(x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38\) et \(x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62\). Le coefficient de \(x^2\) est positif, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Ainsi : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\ ;\ x_1]\), décroissante sur \([x_1\ ;\ x_2]\), croissante sur \([x_2\ ;\ +\infty[\), ce qui confirme la lecture graphique.

4. L'équation de la tangente en 0 est \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\). On a \(f(0)=6\text{e}^0=6\) et \(f'(0)=1\times\text{e}^0=1\). La tangente \((\mathcal{T})\) a pour équation \(y=x+6\).

5. a. Comme \(\text{e}^x\gt 0\), \(f''(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^x\) a le signe de \((x+1)(x-2)\), un trinôme de racines \(-1\) et \(2\), positif à l'extérieur des racines. Donc \(f\) est convexe sur \(]-\infty\ ;\ -1]\) et sur \([2\ ;\ +\infty[\), et concave sur \([-1\ ;\ 2]\). On retrouve la lecture de la partie A.

b. Sur \([-1\ ;\ 2]\), \(f\) est concave : sa courbe est donc en dessous de toutes ses tangentes, en particulier de \((\mathcal{T})\), car \(0\in[-1\ ;\ 2]\). Donc pour tout \(x\in[-1\ ;\ 2]\), \(f(x)\leqslant x+6\).

Corrigé de l’exercice 2 : deux clubs de sport et suite arithmético-géométrique

1. Chaque année, 15 % des membres de A (soit \(0{,}15\times 1\,700=255\)) rejoignent B, et 10 % des membres de B (soit \(0{,}10\times 1\,300=130\)) rejoignent A. En 2024 : \(a_1=1\,700-255+130=\) 1 575 et \(b_1=1\,300-130+255=\) 1 425.

2. Aucun sportif ne quitte le groupe : le total reste égal à 3 000. Donc, pour tout \(n\), \(a_n+b_n=3\,000\).

3. On garde 85 % des membres de A et on reçoit 10 % de ceux de B : \(a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}10\,b_n\). Avec \(b_n=3\,000-a_n\), on obtient \(a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}10(3\,000-a_n)=0{,}85\,a_n-0{,}10\,a_n+300\). D'où \(a_{n+1}=0{,}75\,a_n+300\).

4. a. Récurrence sur \(P(n) : 1\,200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1\,700\). Initialisation : \(a_0=1\,700\) et \(a_1=1\,575\), donc \(1\,200\leqslant a_1\leqslant a_0\leqslant 1\,700\). Hérédité : on suppose \(P(n)\) vraie. On multiplie par \(0{,}75\gt 0\) puis on ajoute 300 : \(0{,}75\times 1\,200+300\leqslant 0{,}75\,a_{n+1}+300\leqslant 0{,}75\,a_n+300\leqslant 0{,}75\times 1\,700+300\), soit \(1\,200\leqslant a_{n+2}\leqslant a_{n+1}\leqslant 1\,575\). Comme \(1\,575\leqslant 1\,700\), \(P(n+1)\) est vraie. Conclusion : \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\).

b. D'après la question précédente, \((a_n)\) est décroissante (\(a_{n+1}\leqslant a_n\)) et minorée par 1 200. D'après le théorème de convergence monotone, \((a_n)\) converge.

5. a. Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=a_{n+1}-1\,200=0{,}75\,a_n+300-1\,200=0{,}75\,a_n-900=0{,}75\,(a_n-1\,200)=0{,}75\,v_n\). On a aussi \(v_0=1\,700-1\,200=500\). Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}75\) et de premier terme 500.

b. Pour tout \(n\), \(v_n=500\times 0{,}75^n\).

c. Comme \(a_n=v_n+1\,200\), on obtient \(a_n=500\times 0{,}75^n+1\,200\).

6. a. Comme \(-1\lt 0{,}75\lt 1\), \(0{,}75^n\to 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\,200\).

b. À long terme, le club A tend à se stabiliser autour de 1 200 membres, et donc le club B autour de \(3\,000-1\,200=1\,800\) membres.

7. a. On continue tant que le nombre de membres de A reste supérieur ou égal à 1 280 :

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while A >= 1280 :
        n = n+1
        A = 0.75*A+300
    return n

b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n\lt 1\,280\). On résout : \(500\times 0{,}75^n+1\,200\lt 1\,280\iff 0{,}75^n\lt \dfrac{80}{500}=0{,}16\iff n\ln(0{,}75)\lt \ln(0{,}16)\). Comme \(\ln(0{,}75)\lt 0\), on change le sens : \(n\gt \dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}\approx 6{,}37\). La fonction renvoie 7. Vérification : \(a_6\approx 1\,289\) est encore supérieur à 1 280, et \(a_7\approx 1\,266{,}7\) est inférieur.

Corrigé de l’exercice 3 : tétraèdre, plan et projetés orthogonaux

1. a. \(\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}-1-3\\2-(-2)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{FG}}\begin{pmatrix}3-(-1)\\2-2\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}\).

b. Si \(\overrightarrow{\text{EF}}\) et \(\overrightarrow{\text{FG}}\) étaient colinéaires, le coefficient \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{EF}}=k\overrightarrow{\text{FG}}\) vérifierait \(-4=4k\), donc \(k=-1\), mais alors la deuxième coordonnée serait \(0\) et non \(4\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires : E, F et G ne sont pas alignés.

2. a. La droite (FG) passe par F\((-1\ ;\ 2\ ;\ 1)\) et est dirigée par \(\overrightarrow{\text{FG}}\) : \(\begin{cases}x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).

b. H appartient à (FG) : avec \(t=\dfrac{3}{4}\), on obtient \(x=-1+3=2\), \(y=2\), \(z=1-3=-2\), c'est bien H\((2\ ;\ 2\ ;\ -2)\). De plus, \(\overrightarrow{\text{EH}}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{EH}}\cdot\overrightarrow{\text{FG}}=-4+0+4=0\), donc (EH) est perpendiculaire à (FG). H est donc le projeté orthogonal de E sur (FG).

c. [EH] est la hauteur du triangle EFG issue de E, de base [FG]. On a \(\text{EH}=\sqrt{1+16+1}=3\sqrt{2}\) et \(\text{FG}=\sqrt{16+0+16}=4\sqrt{2}\). L'aire vaut \(\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{24}{2}=\) 12 cm².

3. a. On calcule \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{EF}}=2\times(-4)+1\times 4+2\times 2=0\) et \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{FG}}=2\times 4+0-2\times 4=0\). Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EFG) : il est normal à ce plan.

b. Le plan a une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\). Il contient F : \(-2+2+2+d=0\), donc \(d=-2\). Le plan (EFG) a pour équation \(2x+y+2z-2=0\). Vérification avec E : \(6-2-2-2=0\).

c. La droite \((d)\) passe par D\((3\ ;\ 1\ ;\ 5)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\) : \(\begin{cases}x=3+2t\\y=1+t\\z=5+2t\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).

d. K est le point de \((d)\) situé dans le plan. On remplace dans l'équation du plan : \(2(3+2t)+(1+t)+2(5+2t)-2=0\), soit \(9t+15=0\), donc \(t=-\dfrac{5}{3}\). Alors \(x=3-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{1}{3}\), \(y=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3}\), \(z=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3}\). On obtient K\(\left(-\dfrac{1}{3}\ ;\ -\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{5}{3}\right)\).

4. a. \(\overrightarrow{\text{DK}}\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}\\-\frac{5}{3}\\-\frac{10}{3}\end{pmatrix}\), donc \(\text{DK}^2=\dfrac{100+25+100}{9}=\dfrac{225}{9}=25\). Donc DK = 5 cm.

b. Le volume du tétraèdre est \(\dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\). La base EFG a une aire de 12 cm², et la hauteur issue de D est DK = 5 cm : \(V=\dfrac{12\times 5}{3}=\) 20 cm³.

Corrigé de l’exercice 4 : questionnaire à choix multiple

Question 1 : réponse b. On écrit \(\dfrac{\ln x}{x-1}=\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{x}{x-1}\). Quand \(x\to+\infty\), \(\dfrac{\ln x}{x}\to 0\) (croissances comparées) et \(\dfrac{x}{x-1}\to 1\). Donc \(\dfrac{\ln x}{x-1}\to 0\) et \(f(x)\to 0{,}05\).

Question 2 : réponse c. \(h\) est continue sur \([1\ ;\ 3]\) avec \(h(1)=4\) et \(h(3)=-1\), et \(1\) est compris entre \(-1\) et \(4\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(a\in[1\ ;\ 3]\) tel que \(h(a)=1\). Les autres propositions sont fausses : trois valeurs ne suffisent pas à fixer le sens de variation (a), ni le signe sur tout un intervalle (b), ni le nombre exact de solutions (d).

Question 3 : réponse b. Comme \(u_n\to+\infty\) et \(v_n\to 0\), le quotient \(\dfrac{v_n}{u_n}\) tend vers 0, donc converge. Les autres sont fausses : \(\dfrac{1}{v_n}\) tend vers \(+\infty\) (a), une suite qui tend vers \(+\infty\) n'est pas forcément croissante (c), et \((-u_n)^n\) change de signe selon la parité de \(n\), donc n'a pas pour limite \(-\infty\) (d).

Question 4 : réponse d. Le gain algébrique \(G\) (gain moins la mise de 4 €) vaut \(12-4=8\) avec la probabilité \(\dfrac{1}{6}\), \(3-4=-1\) avec la probabilité \(\dfrac{3}{6}\) (faces 2, 4, 6), et \(-4\) avec la probabilité \(\dfrac{2}{6}\) (faces 3 et 5). Alors \(E(G)=8\times\dfrac{1}{6}-1\times\dfrac{3}{6}-4\times\dfrac{2}{6}=\dfrac{8-3-8}{6}=-\dfrac{1}{2}\). En moyenne, le joueur perd 0,50 €.

Question 5 : réponse c. On a \(P(X=0)=(1-p)^3=\dfrac{1}{125}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^3\), donc \(1-p=\dfrac{1}{5}\) et \(p=\dfrac{4}{5}\). On peut vérifier que \(P(X=1)=3\times\dfrac{4}{5}\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=\dfrac{12}{125}\), ce qui n'est ni \(\dfrac{124}{125}\) ni \(\dfrac{4}{5}\).