Corrigé de l’exercice 1 : fonction logarithme et position relative de courbes
Partie A
1. On remarque que \(g(x)=\ln\left(x^2\right)+x-2=2\ln x+x-2\). En \(0\), \(\ln x\to-\infty\) et \(x-2\to-2\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=-\infty\). En \(+\infty\), \(\ln x\to+\infty\) et \(x\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
2. Pour \(x\gt 0\), \(g'(x)=\dfrac{2}{x}+1\gt 0\). La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\).
3. a. La fonction \(g\) est continue (car dérivable), strictement croissante, et prend toutes les valeurs de \(]-\infty\ ;\ +\infty[\) (ses limites aux bornes). D'après le théorème de la bijection, l'équation \(g(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\ ;\ +\infty[\).
b. À la calculatrice : \(g(1)=-1\lt 0\) et \(g(2)\approx 1{,}39\gt 0\), donc \(1\lt\alpha\lt 2\). En affinant : \(g(1{,}37)\approx-0{,}0004\lt 0\) et \(g(1{,}38)\approx 0{,}024\gt 0\). Donc \(1{,}37\lt\alpha\lt 1{,}38\).
4. Comme \(g\) est croissante et s'annule en \(\alpha\) : \(g(x)\lt 0\) pour \(x\in]0\ ;\ \alpha[\), \(g(\alpha)=0\), et \(g(x)\gt 0\) pour \(x\in]\alpha\ ;\ +\infty[\).
| \(x\) | 0 | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(g(x)\) | \(-\) puis 0 puis \(+\) |
Partie B
1. a. On écrit \(f(x)=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln x\). Quand \(x\to 0^+\), \(\dfrac{x-2}{x}\to-\infty\) (numérateur proche de \(-2\), dénominateur positif proche de 0) et \(\ln x\to-\infty\). Le produit de deux limites égales à \(-\infty\) donne \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=+\infty\).
b. La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet l'axe des ordonnées (la droite d'équation \(x=0\)) comme asymptote verticale.
2. Quand \(x\to+\infty\), \(\dfrac{x-2}{x}=1-\dfrac{2}{x}\to 1\) et \(\ln x\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
3. Avec \(f(x)=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln x\), on dérive le produit :
\[f'(x)=\dfrac{2}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{2\ln x+x-2}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}.\]
On a bien utilisé que \(2\ln x=\ln(x^2)\), donc \(2\ln x+x-2=g(x)\).
4. Comme \(x^2\gt 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]0\ ;\ \alpha]\) et strictement croissante sur \([\alpha\ ;\ +\infty[\). Son minimum est atteint en \(\alpha\) ; comme \(\ln\alpha=\dfrac{2-\alpha}{2}\) (car \(g(\alpha)=0\)), on trouve \(f(\alpha)=-\dfrac{(\alpha-2)^2}{2\alpha}\approx-0{,}14\).
Partie C
On étudie le signe de la différence :
\[f(x)-\ln x=\ln x\left(\dfrac{x-2}{x}-1\right)=\ln x\times\dfrac{-2}{x}=-\dfrac{2\ln x}{x}.\]
Comme \(x\gt 0\), cette différence a le signe de \(-\ln x\) : elle est positive pour \(0\lt x\lt 1\), nulle en \(x=1\), négative pour \(x\gt 1\). Conclusion : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la courbe du logarithme sur \(]0\ ;\ 1[\), au-dessous sur \(]1\ ;\ +\infty[\), et les deux courbes se coupent au point de coordonnées \((1\ ;\ 0)\).
Corrigé de l’exercice 2 : vélo ou transports en commun
1. L'énoncé donne \(P_{T_n}(T_{n+1})=0{,}8\) et \(P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}4\). On en déduit \(P_{T_n}(V_{n+1})=0{,}2\) et \(P_{V_n}(T_{n+1})=0{,}6\). Sur l'arbre : de \(T_1\) vers \(T_2\) on écrit 0,8, vers \(V_2\) on écrit 0,2 ; de \(T_2\) vers \(T_3\) 0,8 et vers \(V_3\) 0,2 ; de \(V_2\) vers \(T_3\) 0,6 et vers \(V_3\) 0,4.
2. \(T_3\) est atteint par deux chemins :
\[p_3=0{,}8\times 0{,}8+0{,}2\times 0{,}6=0{,}64+0{,}12=0{,}76.\]
3. On cherche \(P_{V_3}(T_2)\). On a \(P(V_3)=1-0{,}76=0{,}24\) et \(P(T_2\cap V_3)=0{,}8\times 0{,}2=0{,}16\). Donc
\[P_{V_3}(T_2)=\dfrac{0{,}16}{0{,}24}=\dfrac{2}{3}.\]
La probabilité qu'il ait pris les transports la veille est \(\dfrac{2}{3}\).
4. L'arbre se complète ainsi : \(V_n\) a la probabilité \(1-p_n\) ; de \(T_n\) vers \(T_{n+1}\) on écrit 0,8 et vers \(V_{n+1}\) 0,2 ; de \(V_n\) vers \(T_{n+1}\) 0,6 et vers \(V_{n+1}\) 0,4.
5. D'après les probabilités totales avec la partition \(\{T_n,V_n\}\) :
\[p_{n+1}=p_n\times 0{,}8+(1-p_n)\times 0{,}6=0{,}8p_n+0{,}6-0{,}6p_n=0{,}2p_n+0{,}6.\]
6. Soit \(\mathcal{P}(n)\) : \(p_n=0{,}75+0{,}25\times 0{,}2^{n-1}\).
Initialisation. Pour \(n=1\) : \(0{,}75+0{,}25\times 0{,}2^0=1=p_1\). La propriété est vraie.
Hérédité. On suppose \(\mathcal{P}(n)\) vraie. Alors
\[p_{n+1}=0{,}2\left(0{,}75+0{,}25\times 0{,}2^{n-1}\right)+0{,}6=0{,}15+0{,}25\times 0{,}2^n+0{,}6=0{,}75+0{,}25\times 0{,}2^{n},\]
qui est \(\mathcal{P}(n+1)\).
Conclusion. \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geqslant 1\).
7. Comme \(-1\lt 0{,}2\lt 1\), \(0{,}2^{n-1}\to 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=0{,}75\). Interprétation : sur une longue période, M. Durand utilise les transports en commun environ trois jours sur quatre, quel que soit son choix du premier jour.
Corrigé de l’exercice 3 : QCM
Question 1 : réponse b. On dérive \(F(x)=(x-1)\text{e}^x\) : \(F'(x)=\text{e}^x+(x-1)\text{e}^x=x\text{e}^x=f(x)\). C'est bien une primitive de \(f\). (Pour la réponse c, on obtiendrait \((x+2)\text{e}^x\).)
Question 2 : réponse \(]-\infty\ ;\ -2[\cup]1\ ;\ +\infty[\) (la première des deux propositions notées c). Le logarithme exige \(\dfrac{x-1}{2x+4}\gt 0\). Le numérateur s'annule en 1 et le dénominateur en \(-2\) ; le quotient est positif quand les deux ont le même signe, c'est-à-dire pour \(x\lt-2\) ou \(x\gt 1\).
Question 3 : réponse d. On calcule \(h'(x)=\text{e}^x+(x+1)\text{e}^x=(x+2)\text{e}^x\), puis \(h''(x)=\text{e}^x+(x+2)\text{e}^x=(x+3)\text{e}^x\). Cette dérivée seconde est négative pour \(x\lt-3\) et positive pour \(x\gt-3\) : \(h\) est concave sur \(]-\infty\ ;\ -3]\) et convexe sur \([-3\ ;\ +\infty[\).
Question 4 : réponse b. Si \(u_n\geqslant 3\) pour tout \(n\), en passant à la limite on obtient \(\ell\geqslant 3\). Les autres affirmations sont fausses en général : la suite \(u_n=4+\dfrac{1}{n}\) est minorée par 3, converge vers 4 (donc a n'est pas vraie), est décroissante mais n'est jamais constante (d n'est pas vraie) ; et la suite \(u_n=4+\dfrac{(-1)^n}{n}\) est minorée par 3, converge et n'est pas décroissante (c n'est pas vraie).
Question 5 : réponse d. On calcule : \(w_2=\dfrac{2}{1}=2\), \(w_3=\dfrac{2}{2}=1\), \(w_4=\dfrac{1}{3}\), \(w_5=\dfrac{1}{3\times 4}=\dfrac{1}{12}\). Donc c est fausse. Le rapport \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{1}{n}\) n'est pas constant : la suite n'est pas géométrique (a fausse). On a \(w_n=\dfrac{2}{(n-1)!}\), qui tend vers 0 : b est fausse et d est vraie.
Corrigé de l’exercice 4 : plan, droite orthogonale et distance
1. On calcule \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (\(\dfrac{4}{2}=2\) mais \(\dfrac{1}{5}\neq 2\)). Donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan \(\mathcal{P}\).
2. a. \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{AB}}=13\times 4-16\times 1-9\times 4=52-16-36=0\) et \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}=13\times 2-16\times 5-9\times(-6)=26-80+54=0\). Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est normal à \(\mathcal{P}\).
b. Une équation de \(\mathcal{P}\) est \(13x-16y-9z+d=0\). Avec A : \(-13+48-18+d=0\), donc \(17+d=0\) et \(d=-17\). L'équation est bien \(13x-16y-9z-17=0\).
3. La droite \(\mathcal{D}\) passe par F et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\) (elle est orthogonale à \(\mathcal{P}\)) :
\[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&15+13t\\y&=&-16-16t\\z&=&-8-9t\end{array}\right.\ \text{avec}\ t\in\mathbb{R}.\]
4. On reporte dans l'équation du plan :
\[13(15+13t)-16(-16-16t)-9(-8-9t)-17=506+506t=0\iff t=-1.\]
Pour \(t=-1\) on obtient \((15-13\ ;\ -16+16\ ;\ -8+9)=(2\ ;\ 0\ ;\ 1)\) : E a pour coordonnées \((2\ ;\ 0\ ;\ 1)\).
5. E est le projeté orthogonal de F sur \(\mathcal{P}\), donc la distance cherchée est \(\text{FE}\), avec \(\overrightarrow{\text{FE}}(-13\ ;\ 16\ ;\ 9)\) :
\[\text{FE}=\sqrt{169+256+81}=\sqrt{506}.\]
La distance de F au plan \(\mathcal{P}\) est \(\sqrt{506}\) (environ 22,5).
6. Un point \(M(t)\) de \(\mathcal{D}\) est à la distance \(|t+1|\times\|\overrightarrow{n}\|=|t+1|\sqrt{506}\) du plan (car F correspond à \(t=0\) et E à \(t=-1\)). On veut \(|t+1|\sqrt{506}=\dfrac{\sqrt{506}}{2}\), donc \(|t+1|=\dfrac{1}{2}\), soit \(t=-\dfrac{1}{2}\) ou \(t=-\dfrac{3}{2}\).
Pour \(t=-\dfrac{1}{2}\) : \(\left(15-\dfrac{13}{2}\ ;\ -16+8\ ;\ -8+\dfrac{9}{2}\right)=\left(\dfrac{17}{2}\ ;\ -8\ ;\ -\dfrac{7}{2}\right)\).
Pour \(t=-\dfrac{3}{2}\) : \(\left(15-\dfrac{39}{2}\ ;\ -16+24\ ;\ -8+\dfrac{27}{2}\right)=\left(-\dfrac{9}{2}\ ;\ 8\ ;\ \dfrac{11}{2}\right)\).
Il y a deux points : \(\left(\dfrac{17}{2}\ ;\ -8\ ;\ -\dfrac{7}{2}\right)\) (du même côté du plan que F) et \(\left(-\dfrac{9}{2}\ ;\ 8\ ;\ \dfrac{11}{2}\right)\) (de l'autre côté).