Bac de maths 2023 France J1 : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : QCM, probabilités et loi binomiale

Question 1. On a \(p(G)=0{,}2\) et \(p(G\cap D)=0{,}002\). Donc \(p_G(D)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}2}=0{,}01\). Réponse b.

Question 2. Les évènements \(G\) et \(\overline{G}\) forment une partition, donc \(p(D)=p(G\cap D)+p\left(\overline{G}\cap D\right)\). Ainsi \(p\left(\overline{G}\cap D\right)=0{,}082-0{,}002=0{,}08\). Réponse b.

Question 3. On cherche \(p_D(G)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}082}\approx0{,}024\). Réponse b.

Question 4. \(p(X\gt2)=1-p(X\leqslant2)\). Avec la loi binomiale de paramètres \(50\) et \(0{,}082\), la calculatrice donne \(p(X\leqslant2)\approx0{,}211\), donc \(p(X\gt2)\approx0{,}789\). Réponse b. (Le piège est la réponse d, 0,924, qui est \(p(X\geqslant2)\).)

Question 5. Toutes les machines fonctionnent si \(X=0\), avec \(p(X=0)=(1-0{,}082)^n=0{,}918^n\). On résout \(0{,}918^n\gt0{,}4\). Par croissance de \(\ln\), \(n\ln(0{,}918)\gt\ln(0{,}4)\). Comme \(\ln(0{,}918)\lt0\), on divise en changeant le sens : \(n\lt\dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}\approx10{,}7\). Le plus grand entier est 10 (on vérifie : \(0{,}918^{10}\approx0{,}425\gt0{,}4\) et \(0{,}918^{11}\approx0{,}390\lt0{,}4\)). Réponse c.

Corrigé de l’exercice 2 : étude de f(x) = x² − 8 ln x

1. Quand \(x\to0\) avec \(x\gt0\), \(x^2\to0\) et \(\ln x\to-\infty\), donc \(-8\ln x\to+\infty\). Par somme, \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=+\infty\).

2. Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), et donc \(\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{1}{x}\to0\). Alors \(1-8\dfrac{\ln x}{x^2}\to1\). Comme \(x^2\to+\infty\), par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

3. Pour \(x\gt0\) : \(f'(x)=2x-\dfrac{8}{x}=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2\left(x^2-4\right)}{x}\).

4. Pour \(x\gt0\), le dénominateur \(x\) est positif et \(2\gt0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x+2\gt0\), donc le signe est celui de \(x-2\) : \(f'(x)\lt0\) sur \(]0\,;2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)\gt0\) sur \(]2\,;+\infty[\). La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;2]\) et strictement croissante sur \([2\,;+\infty[\). Son minimum est \(f(2)=4-8\ln2\), valeur exacte, soit environ \(-1{,}55\).

5. Sur \(]0\,;2]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante. Elle passe de \(+\infty\) (limite en 0) à \(f(2)\approx-1{,}55\lt0\) : elle prend donc toutes les valeurs de \(]4-8\ln2\,;+\infty[\), dont 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire des fonctions strictement monotones), l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;2]\).

6. On a \(f(\alpha)=0\) et \(f(\beta)=0\). Avec les variations : sur \(]0\,;\alpha[\), \(f\) est décroissante vers 0, donc \(f\gt0\) ; sur \(]\alpha\,;\beta[\), \(f\lt0\) (entre les deux zéros, autour du minimum négatif) ; sur \(]\beta\,;+\infty[\), \(f\) est croissante après 0, donc \(f\gt0\).

7. On a \(g_k(x)=f(x)+k\) : \(g_k\) a les mêmes variations que \(f\) et son minimum est \(4-8\ln2+k\). La fonction \(g_k\) est positive sur \(]0\,;+\infty[\) si et seulement si ce minimum est positif ou nul : \(k\geqslant8\ln2-4\). La plus petite valeur est \(k=8\ln2-4\) (environ 1,55).

Corrigé de l’exercice 3 : deux modèles pour une FAQ

Partie A

1. \(u_2=0{,}9\times3+1{,}3=\) 4 et \(u_3=0{,}9\times4+1{,}3=\) 4,9. Le modèle prévoit environ 400 questions le 2^e mois et 490 le 3^e mois.

2. Récurrence sur la propriété \(P_n\) : « \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\) ».

Initialisation. Pour \(n=1\) : \(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9=13-10=3=u_1\). \(P_1\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\) pour un entier \(n\geqslant1\). Alors :

\[u_{n+1}=0{,}9u_n+1{,}3=0{,}9\times13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}+1{,}3=11{,}7+1{,}3-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}=13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}\]

donc \(P_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. Pour tout entier \(n\geqslant1\), \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\).

3. Pour \(n\geqslant1\) :

\[u_{n+1}-u_n=\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}=\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\times(1-0{,}9)=\dfrac{10}{9}\times0{,}9^n\gt0\]

La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

4. La boucle while s'arrête dès que \(u\gt p\) : le programme renvoie le plus petit \(n\) tel que \(u_n\gt p\). Pour \(p=8{,}5\), on résout \(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\gt8{,}5\), soit \(0{,}9^n\lt\dfrac{4{,}5\times9}{100}=0{,}405\), donc \(n\ln0{,}9\lt\ln0{,}405\) et, en divisant par \(\ln0{,}9\lt0\), \(n\gt\dfrac{\ln0{,}405}{\ln0{,}9}\approx8{,}58\). Le plus petit entier est 9, et on vérifie \(u_8\approx8{,}22\lt8{,}5\lt u_9\approx8{,}70\). La commande seuil(8.5) renvoie 9 : selon ce modèle, la FAQ dépasse 850 questions au 9^e mois.

Partie B

1. \(v_1=9-6\text{e}^{0}=\) 3 et \(v_2=9-6\text{e}^{-0{,}19}\approx\) 4,04.

2. On résout \(v_n\gt8{,}5\) : \(6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt0{,}5\), soit \(\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt\dfrac{0{,}5}{6}\). En passant au logarithme (fonction croissante) : \(-0{,}19(n-1)\lt\ln\dfrac{1}{12}\), donc \(n-1\gt\dfrac{\ln12}{0{,}19}\approx13{,}08\) et \(n\gt14{,}08\). Le plus petit entier est \(n=15\). (Vérification : \(v_{14}\approx8{,}49\lt8{,}5\) et \(v_{15}\approx8{,}58\gt8{,}5\).)

Partie C

1. Avec le premier modèle, il y a plus de 850 questions à partir du 9^e mois ; avec le second, à partir du 15^e mois. C'est la première modélisation qui conduit à modifier le site le plus tôt.

2. Comme \(0\lt0{,}9\lt1\), \(0{,}9^n\to0\) et \(u_n\to13\) : environ 1 300 questions à long terme. Pour \(v_n\), \(-0{,}19(n-1)\to-\infty\) donc \(\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\to0\) et \(v_n\to9\) : environ 900 questions. La première modélisation donne le plus grand nombre de questions à long terme.

Corrigé de l’exercice 4 : cube, plan (GBD) et tétraèdre

1. Dans le repère \(\left(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right)\), on a A\((0\,;0\,;0)\), B\((1\,;0\,;0)\), D\((0\,;1\,;0)\). Donc E\((0\,;0\,;1)\), C\((1\,;1\,;0)\), G\((1\,;1\,;1)\).

2. La droite (EC) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\text{EC}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) et passe par E : \(x=t\), \(y=t\), \(z=1-t\) avec \(t\in\mathbb{R}\).

3. On a \(\overrightarrow{\text{GB}}\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{BD}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\), non colinéaires. Alors \(\overrightarrow{\text{EC}}\cdot\overrightarrow{\text{GB}}=0-1+1=0\) et \(\overrightarrow{\text{EC}}\cdot\overrightarrow{\text{BD}}=-1+1+0=0\). Le vecteur \(\overrightarrow{\text{EC}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GBD) : la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

4. a. D'après la question précédente, \(\overrightarrow{\text{EC}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) est normal au plan (GBD) : son équation s'écrit \(x+y-z+d=0\). Le point B\((1\,;0\,;0)\) en fait partie : \(1+d=0\), donc \(d=-1\). Une équation de (GBD) est \(x+y-z-1=0\).

b. Le point I est sur (EC) et sur (GBD). On remplace \(x=t\), \(y=t\), \(z=1-t\) dans l'équation du plan : \(t+t-(1-t)-1=0\), soit \(3t=2\) et \(t=\dfrac{2}{3}\). Donc \(\text{I}\left(\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{1}{3}\right)\).

c. La droite (EC) est orthogonale au plan et coupe celui-ci en I : I est le projeté orthogonal de E, et la distance de E au plan est EI :

\[\text{EI}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\]

5. a. Les segments [BD], [DG] et [GB] sont des diagonales de faces du cube, qui sont des carrés de côté 1 : elles mesurent toutes \(\sqrt{2}\). Le triangle BDG a trois côtés égaux : il est équilatéral.

b. J est le milieu de [BD], donc J\(\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\,;0\right)\). Dans un triangle équilatéral, la médiane [GJ] est aussi la hauteur. On calcule \(\text{GJ}^2=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2+(0-1)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{2}\), donc \(\text{GJ}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\). L'aire est :

\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{BD}\times\text{GJ}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

L'aire du triangle BDG est \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

6. On prend BDG comme base du tétraèdre EGBD : la hauteur issue de E est la distance EI de la question 4.c. Donc :

\[V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2\times3}{2\times3}=\dfrac{1}{3}\]

Le volume du tétraèdre EGBD est \(\dfrac{1}{3}\).