Corrigé de l’exercice 1 : un tétraèdre dans un cube
1. a. Dans le repère \(\left(\mathrm{A}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\), les sommets du cube sont A\((0\,;0\,;0)\), B\((1\,;0\,;0)\), C\((1\,;1\,;0)\), D\((0\,;1\,;0)\), E\((0\,;0\,;1)\), F\((1\,;0\,;1)\), G\((1\,;1\,;1)\) et H\((0\,;1\,;1)\). Le point I est le milieu de [AB] : I\((0{,}5\,;0\,;0)\). Le point J est le milieu de [CG] : J\((1\,;1\,;0{,}5)\). Les coordonnées du milieu N de [IJ] sont les moyennes de celles de I et de J : N\((0{,}75\,;0{,}5\,;0{,}25)\).
b. On soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\begin{pmatrix}1-0{,}5\\1-0\\0{,}5-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5\\1\\0{,}5\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{NF}}\begin{pmatrix}1-0{,}75\\0-0{,}5\\1-0{,}25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}25\\-0{,}5\\0{,}75\end{pmatrix}\). C'est bien ce qu'annonce l'énoncé.
c. Calcule le produit scalaire : \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NF}}=0{,}5\times 0{,}25+1\times(-0{,}5)+0{,}5\times 0{,}75=0{,}125-0{,}5+0{,}375=0\). Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{NF}}\) sont orthogonaux.
d. La droite (NF) est perpendiculaire à (IJ) et N appartient à (IJ) : [NF] est la hauteur du triangle FIJ issue de F. Il faut la base IJ : \(\mathrm{IJ}^2=0{,}5^2+1^2+0{,}5^2=1{,}5=\dfrac{3}{2}\), donc \(\mathrm{IJ}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\). L'aire est alors \[\mathcal{A}=\dfrac{\mathrm{IJ}\times\mathrm{NF}}{2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{6}}{2}\times\dfrac{\sqrt{14}}{4}=\dfrac{\sqrt{84}}{16}=\dfrac{2\sqrt{21}}{16}=\dfrac{\sqrt{21}}{8}.\]
2. a. Calcule les produits scalaires de \(\overrightarrow{u}\) avec \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{NF}}\) : \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IJ}}=4\times 0{,}5-1\times 1-2\times 0{,}5=2-1-1=0\) et \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NF}}=4\times 0{,}25+0{,}5-2\times 0{,}75=1+0{,}5-1{,}5=0\). Les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{NF}}\) ne sont pas colinéaires (ils sont orthogonaux et non nuls) et dirigent le plan (FIJ). Le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan : il est normal au plan (FIJ).
b. Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}\) a une équation de la forme \(4x-y-2z+d=0\). Le point F\((1\,;0\,;1)\) appartient au plan : \(4-0-2+d=0\), donc \(d=-2\). Une équation de (FIJ) est \(4x-y-2z-2=0\).
c. La droite \(d\) est dirigée par le vecteur normal \(\overrightarrow{u}\) et passe par H\((0\,;1\,;1)\). Un point M\((x\,;y\,;z)\) est sur \(d\) si et seulement s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{\mathrm{HM}}=t\overrightarrow{u}\). Une représentation paramétrique de \(d\) est donc : \[\left\{\begin{array}{l}x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{array}\right.\quad (t\in\mathbb{R}).\]
d. La distance de H au plan est la distance HK, où K est le point d'intersection de \(d\) et du plan. On remplace dans l'équation du plan : \(4(4t)-(1-t)-2(1-2t)-2=0\), soit \(16t-1+t-2+4t-2=0\), donc \(21t=5\) et \(t=\dfrac{5}{21}\). Alors K\(\left(\dfrac{20}{21}\,;\dfrac{16}{21}\,;\dfrac{11}{21}\right)\) et \(\overrightarrow{\mathrm{HK}}=\dfrac{5}{21}\overrightarrow{u}\), de coordonnées \(\left(\dfrac{20}{21}\,;-\dfrac{5}{21}\,;-\dfrac{10}{21}\right)\). On a \(\mathrm{HK}^2=\dfrac{400+25+100}{441}=\dfrac{525}{441}=\dfrac{25\times 21}{21^2}=\dfrac{25}{21}\), donc \(\mathrm{HK}=\dfrac{5}{\sqrt{21}}=\) \(\dfrac{5\sqrt{21}}{21}\).
e. Prends FIJ comme base : la hauteur relative est HK. Alors \[V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{21}}{8}\times\dfrac{5\sqrt{21}}{21}=\dfrac{5\times 21}{3\times 8\times 21}=\dfrac{5}{24}.\] Le volume du tétraèdre HFIJ est \(\dfrac{5}{24}\) (en unité de volume).
Corrigé de l’exercice 2 : le robot aléatoire
Partie A
1. Les branches se complètent ainsi. De la racine à \(D_1\) : \(\dfrac{1}{3}\) ; vers \(\overline{D_1}\) : \(1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\). Après \(D_1\) : vers \(D_2\) : \(\dfrac{3}{4}\), vers \(\overline{D_2}\) : \(\dfrac{1}{4}\). Après \(\overline{D_1}\) : vers \(\overline{D_2}\) : \(\dfrac{1}{2}\) (le robot repart à gauche), donc vers \(D_2\) : \(\dfrac{1}{2}\).
2. Le produit des probabilités le long d'une branche donne : \(P(D_1\cap D_2)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\) \(\dfrac{1}{4}\).
3. Les évènements \(D_1\) et \(\overline{D_1}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : \(p_2=P(D_1\cap D_2)+P(\overline{D_1}\cap D_2)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12}\).
4. On cherche \(P_{\overline{D_2}}(D_1)\). On a \(P(\overline{D_2})=1-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12}\) et \(P(D_1\cap\overline{D_2})=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\). Donc \[P_{\overline{D_2}}(D_1)=\dfrac{P(D_1\cap\overline{D_2})}{P(\overline{D_2})}=\dfrac{1/12}{5/12}=\dfrac{1}{5}=0{,}2.\] La probabilité cherchée est 0,2.
Partie B
1. On reprend l'arbre à partir du rang \(n\) : \(P(D_n)=p_n\), \(P(\overline{D_n})=1-p_n\), puis \(P_{D_n}(D_{n+1})=\dfrac{3}{4}\) et \(P_{\overline{D_n}}(D_{n+1})=\dfrac{1}{2}\). Par la formule des probabilités totales : \[p_{n+1}=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}(1-p_n)=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}.\]
2. a. Démontrons par récurrence, pour \(n\geqslant 1\), la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(p_n\leqslant p_{n+1}\lt\dfrac{2}{3}\) ».
Initialisation. \(p_1=\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}\), \(p_2=\dfrac{7}{12}\) et \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}\). Comme \(\dfrac{4}{12}\leqslant\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{8}{12}\), \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\geqslant 1\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(p_n\leqslant p_{n+1}\lt\dfrac{2}{3}\). La fonction \(x\mapsto\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\) est croissante, elle conserve donc les inégalités : \(\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{1}{4}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}\lt\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\). Le premier membre vaut \(p_{n+1}\), le deuxième \(p_{n+2}\), et \(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{3}\). Ainsi \(p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\lt\dfrac{2}{3}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc vraie pour tout \(n\geqslant 1\).
b. D'après la question précédente, la suite \((p_n)\) est croissante et majorée par \(\dfrac{2}{3}\). Le théorème de convergence monotone s'applique : la suite \((p_n)\) converge, vers un réel inférieur ou égal à \(\dfrac{2}{3}\).
3. a. Pour \(n\geqslant 1\) : \(u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{4}u_n\). La suite \((u_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\), de premier terme \(u_1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}\).
b. On en déduit \(u_n=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\) et \(p_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\). Comme \(-1\lt\dfrac{1}{4}\lt 1\), \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\) tend vers 0, donc \(u_n\) tend vers 0 et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{2}{3}\). Interprétation : au bout d'un grand nombre de déplacements, la probabilité que le robot aille à droite se rapproche de \(\dfrac{2}{3}\), donc il va à droite environ deux fois sur trois.
Partie C
Soit \(X\) le nombre de déplacements vers la droite sur les dix. Les déplacements sont indépendants et ont la même probabilité \(\dfrac{3}{4}\) : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=\dfrac{3}{4}\). Le robot revient à son point de départ s'il fait autant de pas à droite qu'à gauche, c'est-à-dire exactement 5 à droite. \[P(X=5)=\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{4}\right)^5\left(\dfrac{1}{4}\right)^5=252\times\dfrac{243}{1\,048\,576}\approx 0{,}0584.\] La probabilité est d'environ 0,058 à \(10^{-3}\) près.
Corrigé de l’exercice 3 : une fonction logistique et une équation différentielle
Partie A
1. Calcule \(f(\ln 5)\). Comme \(\mathrm{e}^{-\ln 5}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln 5}}=\dfrac{1}{5}\), on a \(f(\ln 5)=\dfrac{6}{1+5\times\frac{1}{5}}=\dfrac{6}{2}=3\). Donc A\((\ln 5\,;3)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\).
2. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\) tend vers 0, donc \(1+5\mathrm{e}^{-x}\) tend vers 1 et \(f(x)\) tend vers \(\dfrac{6}{1}=6\). La droite d'équation \(y=6\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).
3. a. La fonction \(f\) s'écrit \(\dfrac{6}{v}\) avec \(v(x)=1+5\mathrm{e}^{-x}\), de dérivée \(v'(x)=-5\mathrm{e}^{-x}\). On a \(f'=-\dfrac{6v'}{v^2}\), donc \[f'(x)=-\dfrac{6\times(-5\mathrm{e}^{-x})}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}.\]
b. Pour tout réel \(x\), \(30\mathrm{e}^{-x}\gt 0\) et \(\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2\gt 0\), donc \(f'(x)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). En \(-\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\) tend vers \(+\infty\), donc \(f(x)\) tend vers 0. En \(+\infty\), la limite est 6. On a aussi \(f(0)=\dfrac{6}{1+5}=1\) et \(f(\ln 5)=3\). Voici le tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\ln 5\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) sur tout \(\mathbb{R}\) | |||
| \(f(x)\) | 0 (limite) | \(1\) ↗ | \(3\) ↗ | 6 (limite) ↗ |
4. a. Le dénominateur de \(f''(x)\) et le facteur \(30\mathrm{e}^{-x}\) sont strictement positifs, donc \(f''(x)\) a le signe de \(5\mathrm{e}^{-x}-1\). Or \(5\mathrm{e}^{-x}-1\gt 0\iff\mathrm{e}^{-x}\gt\dfrac{1}{5}\iff -x\gt-\ln 5\iff x\lt\ln 5\). Ainsi \(f''(x)\gt 0\) pour \(x\lt\ln 5\), \(f''(x)=0\) pour \(x=\ln 5\) et \(f''(x)\lt 0\) pour \(x\gt\ln 5\). La fonction \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\ln 5]\) et concave sur \([\ln 5\,;+\infty[\). La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en \(\ln 5\) : la courbe admet un point d'inflexion, le point A\((\ln 5\,;3)\).
b. L'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 0 est \(y=f'(0)x+f(0)\). On a \(f'(0)=\dfrac{30}{(1+5)^2}=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}\) et \(f(0)=1\), donc la tangente est \(y=\dfrac{5}{6}x+1\). Or une fonction convexe sur un intervalle est au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle. Comme \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\ln 5]\), qui contient 0, on a pour tout \(x\) de cet intervalle : \(f(x)\geqslant\dfrac{5}{6}x+1\).
5. a. La fonction \(F_k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (car \(\mathrm{e}^x+5\gt 0\)) et \(F_k'(x)=k\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+5}\). En multipliant numérateur et dénominateur par \(\mathrm{e}^{-x}\), on obtient \(F_k'(x)=\dfrac{k}{1+5\mathrm{e}^{-x}}\). Cette expression est égale à \(f(x)=\dfrac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}\) pour tout \(x\) si et seulement si \(k=6\). Donc \(k=6\).
b. La fonction \(f\) est positive sur \([0\,;\ln 5]\). L'aire du domaine, en unités d'aire, est \[\int_0^{\ln 5}f(x)\,\mathrm{d}x=\Big[6\ln\left(\mathrm{e}^x+5\right)\Big]_0^{\ln 5}=6\ln(5+5)-6\ln(1+5)=6\ln 10-6\ln 6=6\ln\dfrac{10}{6}=6\ln\dfrac{5}{3}.\]
Partie B
1. Calcule \(f(x)-\dfrac{1}{6}[f(x)]^2\), en notant \(D=1+5\mathrm{e}^{-x}\) : \[\dfrac{6}{D}-\dfrac{1}{6}\times\dfrac{36}{D^2}=\dfrac{6}{D}-\dfrac{6}{D^2}=\dfrac{6D-6}{D^2}=\dfrac{6\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)-6}{D^2}=\dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}=f'(x).\] Donc \(f\) est solution de \((E)\).
2. L'équation \(y'=-y+\dfrac{1}{6}\) est de la forme \(y'=ay+b\) avec \(a=-1\) et \(b=\dfrac{1}{6}\). La fonction constante \(y=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{6}\) est une solution particulière, et les solutions de \(y'=-y\) sont les \(K\mathrm{e}^{-x}\). Les solutions sont les fonctions \(x\mapsto\dfrac{1}{6}+K\mathrm{e}^{-x}\), avec \(K\in\mathbb{R}\).
3. a. Si \(h=\dfrac{1}{g}\), alors \(h'=-\dfrac{g'}{g^2}\). Supposons \(h'=-h+\dfrac{1}{6}\). On obtient \(-\dfrac{g'}{g^2}=-\dfrac{1}{g}+\dfrac{1}{6}\). On multiplie chaque membre par \(-g^2\) (non nul) : \(g'=g-\dfrac{1}{6}g^2\). Donc \(g\) est solution de \((E)\).
b. Pour \(m\geqslant 0\), \(1+6m\mathrm{e}^{-x}\geqslant 1\gt 0\), donc \(g_m\) est définie, dérivable et ne s'annule jamais sur \(\mathbb{R}\). Sa fonction inverse est \(h_m(x)=\dfrac{1}{g_m(x)}=\dfrac{1+6m\mathrm{e}^{-x}}{6}=\dfrac{1}{6}+m\mathrm{e}^{-x}\). C'est une solution de \(y'=-y+\dfrac{1}{6}\) (cas \(K=m\) de la question 2). D'après la question 3.a, \(g_m\) est solution de \((E)\), pour tout réel \(m\geqslant 0\). Pour \(m=\dfrac{5}{6}\), on retrouve la fonction \(f\).
Corrigé de l’exercice 4 : cinq affirmations
Affirmation 1 : vraie. Le programme part de \(u=7\) et applique \(u\leftarrow 1{,}05u+3\) tant que \(u\lt 100\), en comptant les passages dans \(n\). On calcule les premières valeurs : \(u_1=10{,}35\), \(u_2\approx 13{,}87\), et ainsi de suite jusqu'à \(u_{17}\approx 93{,}57\) puis \(u_{18}\approx 101{,}24\). Pour \(n=17\), \(u\lt 100\) : la boucle continue. Pour \(n=18\), \(u\approx 101{,}24\geqslant 100\) : la boucle s'arrête et seuil(100) renvoie bien 18.
Affirmation 2 : vraie. \(S_n\) est la somme des \(n+1\) premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{5}\) : \(S_n=\dfrac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{5}}=\dfrac{5}{4}\left(1-\dfrac{1}{5^{n+1}}\right)\). Comme \(-1\lt\dfrac{1}{5}\lt 1\), \(\dfrac{1}{5^{n+1}}\) tend vers 0, donc \(S_n\) converge vers \(\dfrac{5}{4}\).
Affirmation 3 : fausse. Un binôme est une paire non ordonnée d'élèves. Leur nombre est \(\dbinom{30}{2}=\dfrac{30\times 29}{2}=435\), et non 870. Le nombre 870 correspond à des couples ordonnés (par exemple un délégué et un suppléant), où l'ordre compte.
Affirmation 4 : vraie. La fonction \(f\) est dérivable sur \([1\,;+\infty[\) et \(f'(x)=(\ln x)^2+x\times 2\ln x\times\dfrac{1}{x}=\ln x\left(\ln x+2\right)\). Pour \(x\gt 1\), \(\ln x\gt 0\) et \(\ln x+2\gt 0\), donc \(f'(x)\gt 0\) : \(f\) est continue et strictement croissante. De plus \(f(1)=0\lt 1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution sur \([1\,;+\infty[\).
Affirmation 5 : vraie. Intègre par parties avec \(u(x)=x\), \(u'(x)=1\), \(v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\) et \(v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\) : \[\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\Big[-x\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-\mathrm{e}^{-1}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1=-\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}+1=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}=\dfrac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}}.\]