Bac de maths 2025 Amérique du Nord J1 : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : probabilités, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie A

1. Les pourcentages de l'énoncé deviennent des probabilités. On a \(P(A)=0{,}25\) et \(P(B)=0{,}15\). Comme A, B et C se partagent toutes les connexions, \(P(C)=1-0{,}25-0{,}15=0{,}6\). Sur les branches de second niveau, on lit les taux de stabilité, et le complément à 1 donne les instabilités.

2. On cherche \(P(B\cap S)\). On multiplie les probabilités le long de la branche B puis S : \(P(B\cap S)=P(B)\times P_B(S)=0{,}15\times 0{,}8=\mathbf{0{,}12}\).

3. De la même façon, \(P\left(C\cap\overline{S}\right)=P(C)\times P_C\left(\overline{S}\right)=0{,}6\times 0{,}15=\mathbf{0{,}09}\). Dans le contexte : 9 % des connexions passent par le serveur C et sont instables.

4. Les évènements A, B et C forment une partition de l'ensemble des connexions. La formule des probabilités totales donne :

\[P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=0{,}25\times0{,}9+0{,}12+0{,}6\times0{,}85=0{,}225+0{,}12+0{,}51\]

Donc \(P(S)=\mathbf{0{,}855}\).

5. On cherche la probabilité de B sachant S :

\[P_S(B)=\dfrac{P(S\cap B)}{P(S)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}855}=\dfrac{8}{57}\approx 0{,}1403\]

Sachant que la connexion est stable, elle est passée par le serveur B avec une probabilité d'environ 0,140.

Partie B

1. a. On répète 50 fois, de façon indépendante, une expérience à deux issues : « la connexion est instable » (succès) avec la probabilité \(1-0{,}855=0{,}145\). La variable \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=50\) et \(p=0{,}145\).

b. La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne \(P(X\leqslant 8)\approx0{,}7045\). La probabilité d'avoir au plus huit connexions instables est 0,704 à \(10^{-3}\) près.

2. a. « Au moins une connexion instable » est l'évènement contraire de « aucune connexion instable », c'est-à-dire de \(X_n=0\). Or \(P(X_n=0)=\dbinom{n}{0}\times0{,}145^0\times0{,}855^{n}=0{,}855^n\). Donc \(p_n=\mathbf{1-0{,}855^n}\).

b. On résout :

\[1-0{,}855^n\geqslant0{,}99\iff0{,}855^n\leqslant0{,}01\iff n\ln(0{,}855)\leqslant\ln(0{,}01)\iff n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}\]

Le sens de l'inégalité change à la dernière étape car \(\ln(0{,}855)\) est négatif. Comme \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}\approx29{,}4\), le plus petit entier convenable est \(n=30\). Vérification : \(p_{29}\approx0{,}9894\lt 0{,}99\) et \(p_{30}\approx0{,}9909\geqslant0{,}99\).

3. a. Pour une loi binomiale, \(E(X_n)=np=0{,}145\,n\). Par linéarité de l'espérance, \(E(F_n)=\dfrac{1}{n}E(X_n)=\dfrac{0{,}145\,n}{n}=\mathbf{0{,}145}\).

b. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à \(F_n\), d'espérance \(0{,}145\), avec l'écart \(0{,}1\) :

\[P\left(\left|F_n-0{,}145\right|\geqslant0{,}1\right)\leqslant\dfrac{V(F_n)}{0{,}1^2}=\dfrac{0{,}123975}{n\times0{,}01}=\dfrac{12{,}3975}{n}\]

Comme \(12{,}3975\leqslant12{,}5\), on obtient bien \(P\left(\left|F_n-0{,}145\right|\geqslant0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}\).

c. Pour \(n=1\,000\), on observe \(\left|0{,}3-0{,}145\right|=0{,}155\geqslant0{,}1\). Si les serveurs fonctionnent normalement, la probabilité d'un tel écart est au plus \(\dfrac{12{,}5}{1\,000}=0{,}0125\), soit environ 1 %. Un résultat aussi rare est très peu plausible en fonctionnement normal : le responsable a de bonnes raisons de soupçonner un dysfonctionnement.

Corrigé de l’exercice 2 : suite homographique et suite auxiliaire

1. \(u_1=\dfrac{2\times2+1}{2+2}=\dfrac{5}{4}\). Donc \(u_1=\mathbf{1{,}25}\).

2. a. \(a_0=\dfrac{2}{2-1}=\mathbf{2}\) et \(a_1=\dfrac{1{,}25}{1{,}25-1}=\dfrac{1{,}25}{0{,}25}=\mathbf{5}\).

b. Commençons par calculer \(u_{n+1}-1\) : \(u_{n+1}-1=\dfrac{2u_n+1-(u_n+2)}{u_n+2}=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\). Alors

\[a_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\times\dfrac{u_n+2}{u_n-1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n-1}\]

D'autre part, \(3a_n-1=\dfrac{3u_n}{u_n-1}-\dfrac{u_n-1}{u_n-1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n-1}\). Les deux expressions sont égales : pour tout \(n\), \(a_{n+1}=3a_n-1\).

c. Pour \(n\geqslant1\), on note \(P_n\) la propriété « \(a_n\geqslant3n-1\) ».

Initialisation. \(a_1=5\) et \(3\times1-1=2\). Comme \(5\geqslant2\), \(P_1\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\geqslant1\) tel que \(a_n\geqslant3n-1\). On multiplie par 3 puis on retire 1 :

\[a_{n+1}=3a_n-1\geqslant3(3n-1)-1=9n-4\]

Or \(9n-4-\left(3(n+1)-1\right)=6n-6\geqslant0\) car \(n\geqslant1\). Donc \(9n-4\geqslant3(n+1)-1\), et par conséquent \(a_{n+1}\geqslant3(n+1)-1\) : \(P_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. D'après le principe de récurrence, \(a_n\geqslant3n-1\) pour tout entier \(n\geqslant1\).

d. On a \(\lim\limits_{n\to+\infty}(3n-1)=+\infty\). Par comparaison, \(a_n\geqslant3n-1\) entraîne \(\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\mathbf{+\infty}\).

3. a. Partons de \(a_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}\), ce qui équivaut à \(a_n(u_n-1)=u_n\), donc à \(a_nu_n-a_n=u_n\), puis à \(u_n(a_n-1)=a_n\). Il reste à diviser par \(a_n-1\). C'est possible car \(a_n\neq1\) : si l'on avait \(a_n=1\), alors \(u_n=u_n-1\), ce qui est impossible. On obtient \(u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}\).

b. Comme \(a_n\neq0\) (on a \(a_0=2\) et \(a_n\geqslant3n-1\gt 0\) pour \(n\geqslant1\)), on peut écrire \(u_n=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{a_n}}\). Puisque \(a_n\to+\infty\), on a \(\dfrac{1}{a_n}\to0\), donc \(1-\dfrac{1}{a_n}\to1\), et enfin \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\mathbf{1}\).

4. a. La suite \((u_n)\) est décroissante et converge vers 1, donc \(u_n-1\geqslant0\) pour tout \(n\). La fonction part de \(u_0=2\) et calcule les termes un par un tant que l'écart \(u-1\) à la limite est strictement supérieur à \(p\). La valeur renvoyée n est donc le plus petit indice à partir duquel \(u_n-1\leqslant p\), et u est la valeur de ce terme \(u_n\).

b. Avec la relation \(u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}\), les premiers \(a_n\) valent 2, 5, 14, 41, 122, 365, 1 094. Donc \(u_5=\dfrac{365}{364}\approx1{,}00275\), qui dépasse encore \(1{,}001\), et \(u_6=\dfrac{1\,094}{1\,093}\approx1{,}00091\), qui est inférieur à \(1{,}001\). La valeur de \(n\) est 6.

Corrigé de l’exercice 3 : géométrie dans l’espace, quatre affirmations

Affirmation 1 : vraie. La droite \((d)\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-2\\0\\-6\end{pmatrix}\), et l'axe des ordonnées passe par O avec \(\overrightarrow{\jmath}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Cherchons un éventuel point commun : l'axe des ordonnées est l'ensemble des points \((0\,;\,s\,;\,0)\). Il faudrait \(3-2t=0\) et \(2-6t=0\), c'est-à-dire \(t=1{,}5\) et \(t=\dfrac{1}{3}\) en même temps, ce qui est impossible. Les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires.

Affirmation 2 : vraie. Un plan orthogonal à \((d)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{u}\), donc aussi \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\) (colinéaire à \(\overrightarrow{u}\)). Son équation est \(x+3z+d=0\). Le point A\((3\,;\,-3\,;\,-2)\) y appartient : \(3+3\times(-2)+d=0\), donc \(d=3\). Le plan a bien pour équation \(x+3z+3=0\).

Affirmation 3 : fausse. Pour C, on résout \(3-2t=2\), soit \(t=\dfrac{1}{2}\), puis \(z=2-6\times\dfrac{1}{2}=-1\) : C\((2\,;\,-1\,;\,-1)\). On a \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\). Le produit scalaire vaut \(2\times(-1)+(-1)\times2+1\times1=-3\) et \(\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{6}\). Alors

\[\cos\widehat{\mathrm{BAC}}=\dfrac{-3}{\sqrt6\times\sqrt6}=-\dfrac{1}{2}\]

L'angle géométrique mesure donc \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians, et non \(\dfrac{\pi}{6}\). L'affirmation est fausse.

Affirmation 4 : vraie. Le plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\). Pour obtenir la distance de B à \(\mathcal{P}\), on applique la formule de la distance d'un point à un plan :

\[\mathrm{BH}=\dfrac{\left|5+3\times(-1)-7\right|}{\sqrt{1^2+0^2+3^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\]

On retrouve aussi ce résultat par le calcul des coordonnées : la droite passant par B et dirigée par \(\overrightarrow{n}\) coupe \(\mathcal{P}\) en H\(\left(\dfrac{11}{2}\,;\,-4\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\), d'où \(\overrightarrow{\mathrm{BH}}\begin{pmatrix}\frac12\\0\\\frac32\end{pmatrix}\) et \(\mathrm{BH}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\). L'affirmation est vraie.

Corrigé de l’exercice 4 : équation différentielle et étude d’une fonction

Partie A

1. Observe la courbe \(\mathcal{C}_1\) : elle a un minimum en \(x=-2\) et un maximum en \(x=1\), c'est-à-dire que sa tangente y est horizontale. La courbe \(\mathcal{C}_2\) coupe l'axe des abscisses justement en \(-2\) et en \(1\). De plus, \(\mathcal{C}_1\) décroît quand \(\mathcal{C}_2\) est sous l'axe, et croît entre \(-2\) et \(1\), là où \(\mathcal{C}_2\) est au-dessus de l'axe. Une fonction varie comme le signe de sa dérivée : \(\mathcal{C}_1\) représente \(g\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(g'\).

2. La tangente en 0 a pour équation \(y=g'(0)\,x+g(0)\). Par lecture des ordonnées à l'origine, \(g(0)=1\) (point de \(\mathcal{C}_1\)) et \(g'(0)=2\) (point de \(\mathcal{C}_2\)). La tangente est donc \(y=2x+1\).

Partie B

1. La fonction \(f_0\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_0'(x)=(2x+3)\mathrm{e}^{-x}-\left(x^2+3x\right)\mathrm{e}^{-x}=\left(-x^2-x+3\right)\mathrm{e}^{-x}\). Alors

\[f_0(x)+f_0'(x)=\left(x^2+3x-x^2-x+3\right)\mathrm{e}^{-x}=(2x+3)\mathrm{e}^{-x}\]

La fonction \(f_0\) est bien une solution particulière de \((E)\).

2. L'équation \(y+y'=0\) s'écrit \(y'=-y\). Ses solutions sont les fonctions \(x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}\) avec \(C\in\mathbb{R}\).

3. Les solutions de \((E)\) sont la somme d'une solution particulière et des solutions de \((E_0)\) : \(x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}+\left(x^2+3x\right)\mathrm{e}^{-x}\), soit \(x\mapsto\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}\), \(C\in\mathbb{R}\).

4. Il existe un réel \(C\) tel que \(g(x)=\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}\). Comme \(g(0)=1\), on a \(C\times1=1\), donc \(C=1\) et \(g(x)=\left(x^2+3x+1\right)\mathrm{e}^{-x}\).

5. Une courbe a un point d'inflexion là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. Pour \(h(x)=\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}\), on dérive deux fois :

\[h'(x)=\left(-x^2-x+3-C\right)\mathrm{e}^{-x}\qquad h''(x)=\left(x^2-x-4+C\right)\mathrm{e}^{-x}\]

L'exponentielle étant strictement positive, \(h''(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-x-4+C\). Ce trinôme s'annule en changeant de signe exactement deux fois si et seulement si son discriminant est strictement positif : \(\Delta=1-4(C-4)=17-4C\gt 0\), soit \(C\lt \dfrac{17}{4}\). Les solutions cherchées sont les fonctions \(x\mapsto\left(x^2+3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}\) avec \(C\lt \dfrac{17}{4}\).

Partie C

1. On écrit \(f(x)=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}+3\,\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}+\dfrac{2}{\mathrm{e}^x}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}\to0\) et \(\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}\to0\) en \(+\infty\), et \(\dfrac{2}{\mathrm{e}^x}\to0\) car \(\mathrm{e}^x\to+\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\mathbf{0}\).

2. a. \(f'(x)=(2x+3)\mathrm{e}^{-x}-\left(x^2+3x+2\right)\mathrm{e}^{-x}=\left(2x+3-x^2-3x-2\right)\mathrm{e}^{-x}=\left(-x^2-x+1\right)\mathrm{e}^{-x}\).

b. Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-x^2-x+1\). Son discriminant est \(\Delta=1+4=5\gt 0\) et ses racines sont \(x_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1{,}62\) et \(x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\approx0{,}62\). Le coefficient de \(x^2\) est négatif : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

La fonction \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,x_1\right]\) et sur \(\left[x_2\,;\,+\infty\right[\), et croissante sur \(\left[x_1\,;\,x_2\right]\).

3. Pour \(x\geqslant0\), \(x^2+3x+2\geqslant2\gt 0\) et \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\) : le produit \(f(x)\) est strictement positif. La fonction \(f\) est positive sur \([0\,;\,+\infty[\).

4. Comme \(f\) est positive sur \([0\,;\,\alpha]\), l'aire demandée est l'intégrale de \(f\) entre 0 et \(\alpha\) :

\[\mathcal{A}(\alpha)=\int_0^{\alpha}f(x)\,\mathrm{d}x=F(\alpha)-F(0)=\left(-\alpha^2-5\alpha-7\right)\mathrm{e}^{-\alpha}-(-7)\]

Donc \(\mathcal{A}(\alpha)=\mathbf{\left(-\alpha^2-5\alpha-7\right)\mathrm{e}^{-\alpha}+7}\) unités d'aire.