Corrigé de l’exercice 1 : tomates, arbre pondéré et loi binomiale
Partie A
1. L'énoncé donne \(P(A)=0{,}60\), donc \(P(B)=1-0{,}60=0{,}40\). Il donne aussi \(P_A(C)=0{,}95\), donc \(P_A(\overline{C})=1-0{,}95=0{,}05\). Sur l'arbre, tu écris donc : \(0{,}60\) sur la branche vers \(A\), \(0{,}40\) sur la branche vers \(B\), \(0{,}95\) de \(A\) vers \(C\) et \(0{,}05\) de \(A\) vers \(\overline{C}\).
2. a. « Commercialisable et du fournisseur A » est l'intersection \(A\cap C\). On multiplie le long de la branche :
\[P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C)=0{,}60\times 0{,}95=0{,}57.\]
La probabilité cherchée est 0,57.
b. Les évènements \(A\) et \(B\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne :
\[P(C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)=P(A\cap C)+P(B)\times P_B(C).\]
Avec \(P(C)=0{,}91\), on obtient \(0{,}91=0{,}57+0{,}40\times P_B(C)\), donc \(0{,}40\times P_B(C)=0{,}34\) et
\[P_B(C)=\dfrac{0{,}34}{0{,}40}=0{,}85.\]
On retrouve bien \(P_B(C)=0{,}85\).
c. On sait que la tomate est non commercialisable : il faut comparer \(P_{\overline{C}}(A)\) et \(P_{\overline{C}}(B)\). D'abord \(P(\overline{C})=1-0{,}91=0{,}09\). Ensuite :
\[P_{\overline{C}}(A)=\dfrac{P(A\cap\overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{0{,}60\times 0{,}05}{0{,}09}=\dfrac{0{,}03}{0{,}09}=\dfrac{1}{3}.\]
\[P_{\overline{C}}(B)=\dfrac{P(B\cap\overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{0{,}40\times 0{,}15}{0{,}09}=\dfrac{0{,}06}{0{,}09}=\dfrac{2}{3}.\]
Comme \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\), une tomate non commercialisable a deux fois moins de chances de venir de A que de B : le responsable a raison.
Partie B
1. a. On répète 15 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (tomate non commercialisable avec la probabilité \(0{,}09\), ou non). \(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0{,}09\).
b. On applique la formule de la loi binomiale :
\[P(X=2)=\dbinom{15}{2}\times 0{,}09^2\times 0{,}91^{13}\approx 0{,}2496.\]
Arrondie au millième : 0,250.
c. « Au plus deux » signifie \(X\leqslant 2\) : on additionne \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et \(P(X=2)\), ou on utilise la fonction de répartition de la calculatrice. On trouve \(P(X\leqslant 2)\approx 0{,}8531\), soit 0,853.
2. a. Pour une loi binomiale, \(E(X_n)=np=0{,}09n\) et \(V(X_n)=np(1-p)=0{,}09\times 0{,}91\times n=0{,}0819n\). Comme \(F_n=\dfrac{1}{n}X_n\) :
\[E(F_n)=\dfrac{1}{n}E(X_n)=\dfrac{0{,}09n}{n}=0{,}09,\qquad V(F_n)=\dfrac{1}{n^2}V(X_n)=\dfrac{0{,}0819n}{n^2}=\dfrac{0{,}0819}{n}.\]
Donc \(E(F_n)=0{,}09\) et \(V(F_n)=\dfrac{0{,}0819}{n}\).
b. Remarque que \(0{,}04=0{,}09-0{,}05\) et \(0{,}14=0{,}09+0{,}05\). L'encadrement \(0{,}04\lt F_n\lt 0{,}14\) équivaut donc à \(|F_n-0{,}09|\lt 0{,}05\), et par évènement contraire :
\[P(0{,}04\lt F_n\lt 0{,}14)=1-P\left(|F_n-0{,}09|\geqslant 0{,}05\right).\]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à \(F_n\) d'espérance \(0{,}09\) et de variance \(\dfrac{0{,}0819}{n}\) avec \(\delta=0{,}05\), donne :
\[P\left(|F_n-0{,}09|\geqslant 0{,}05\right)\leqslant\dfrac{0{,}0819/n}{0{,}05^2}=\dfrac{0{,}0819}{0{,}0025\,n}=\dfrac{32{,}76}{n}.\]
En retranchant à 1 les deux membres (ce qui renverse l'inégalité), on obtient :
\[P(0{,}04\lt F_n\lt 0{,}14)\geqslant 1-\dfrac{32{,}76}{n}.\]
c. Pour \(n=500\), la minoration vaut \(1-\dfrac{32{,}76}{500}=0{,}93448\). Il y a donc plus de 93 % de chances que la fréquence observée soit comprise entre \(0{,}04\) et \(0{,}14\). Ici la fréquence est \(\dfrac{55}{500}=0{,}11\), qui est bien dans cet intervalle : le résultat est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.
Corrigé de l’exercice 2 : une suite récurrente qui tend vers \(\sqrt{3}\)
Partie A
1. On factorise : \(f(x)=x\iff x\left(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)=0\). Il y a deux cas.
Cas \(x=0\) : c'est une solution.
Cas \(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}=1\) : cela donne \(\sqrt{1+x^2}=2\), donc \(1+x^2=4\) (les deux membres sont positifs), soit \(x^2=3\) et \(x=\sqrt{3}\) ou \(x=-\sqrt{3}\).
L'ensemble des solutions est \(\left\{-\sqrt{3}\ ;\ 0\ ;\ \sqrt{3}\right\}\).
2. a. On pose \(u(x)=2x\) et \(v(x)=\sqrt{1+x^2}\). Alors \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\). Avec \(f=\dfrac{u}{v}\) :
\[f'(x)=\dfrac{2\sqrt{1+x^2}-2x\times\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}.\]
On met le numérateur sur le dénominateur \(\sqrt{1+x^2}\) : il devient \(\dfrac{2(1+x^2)-2x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}\). Donc
\[f'(x)=\dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}.\]
b. Pour tout réel \(x\), \(1+x^2\gt 0\) et \(\sqrt{1+x^2}\gt 0\), donc \(f'(x)\gt 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Partie B
1. Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété \(1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\lt\sqrt{3}\).
Initialisation. \(u_0=1\) et \(u_1=f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\). Or \(1\leqslant 1\leqslant\sqrt{2}\lt\sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. On suppose \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\). Comme \(f\) est croissante, elle conserve l'ordre :
\[f(1)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\lt f\left(\sqrt{3}\right).\]
On a \(f(1)=\sqrt{2}\geqslant 1\), \(f(u_n)=u_{n+1}\), \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et \(f(\sqrt{3})=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\sqrt{3}\). On en tire \(1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\lt\sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
2. D'après la question précédente, \(u_n\leqslant u_{n+1}\) : la suite est croissante ; et \(u_n\lt\sqrt{3}\) : elle est majorée. Par le théorème de la convergence monotone, \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) vérifiant \(1\leqslant\ell\leqslant\sqrt{3}\).
La fonction \(f\) est dérivable donc continue sur \(\mathbb{R}\). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\ell=f(\ell)\) : \(\ell\) est une solution de \(f(x)=x\). D'après la partie A, les solutions sont \(-\sqrt{3}\), \(0\) et \(\sqrt{3}\) ; la seule qui est dans \([1\ ;\ \sqrt{3}]\) est \(\sqrt{3}\). Donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{3}\).
3. a. Premier terme : \(v_0=\dfrac{1^2}{3-1^2}=\dfrac{1}{2}\). Pour la relation entre deux termes consécutifs, on calcule \(u_{n+1}^2=\dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}\), puis
\[v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}}{3-\dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}}=\dfrac{4u_n^2}{3(1+u_n^2)-4u_n^2}=\dfrac{4u_n^2}{3-u_n^2}=4v_n.\]
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 4 et de premier terme \(v_0=0{,}5\).
b. Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\times 4^n=\)\(0{,}5\times 4^n\), en particulier \(v_n\gt 0\). On isole ensuite \(u_n^2\) dans la définition de \(v_n\) :
\[v_n(3-u_n^2)=u_n^2\iff 3v_n=u_n^2(1+v_n)\iff u_n^2=\dfrac{3v_n}{1+v_n}.\]
Comme \(u_n\gt 0\), on peut prendre la racine : \(u_n=\sqrt{\dfrac{3v_n}{1+v_n}}\). En remplaçant \(v_n\) par \(0{,}5\times 4^n\) :
\[u_n=\sqrt{\dfrac{1{,}5\times 4^n}{1+0{,}5\times 4^n}}.\]
c. On divise le numérateur et le dénominateur par \(4^n\) :
\[u_n=\sqrt{\dfrac{1{,}5}{\dfrac{1}{4^n}+0{,}5}}.\]
Comme \(4\gt 1\), \(4^n\to+\infty\), donc \(\dfrac{1}{4^n}\to 0\) et la fraction tend vers \(\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3\). Par continuité de la racine carrée, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{3}\), comme avant.
Partie C
1. Au début, \(u=u_0=1\). À chaque tour de boucle, on ajoute à \(S\) le carré du terme courant, puis on passe au terme suivant avec la formule de \(f\) :
from math import*
def termes(p) :
u = 1
S = 0
L = [ ]
for i in range(p) :
S = S + u**2
u = 2*u/sqrt(1+u**2)
L.append(S)
return L
À l'étape \(i\), \(S\) vaut \(u_0^2+\ldots+u_i^2\), c'est-à-dire \(S_{i+1}\) : la liste contient bien \(S_1,\ S_2,\ \ldots,\ S_p\). L'ordre des deux lignes dans la boucle est important : on ajoute \(u^2\) avant de changer \(u\).
2. Pour tout \(k\), \(1\leqslant u_k\leqslant\sqrt{3}\), donc en élevant au carré \(1\leqslant u_k^2\leqslant 3\). \(S_n\) est une somme de \(n\) termes, tous compris entre 1 et 3, donc
\[n\times 1\leqslant S_n\leqslant n\times 3,\quad\text{soit}\quad n\leqslant S_n\leqslant 3n.\]
3. Comme \(S_n\geqslant n\) et \(n\to+\infty\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty\).
En divisant l'encadrement par \(n^2\gt 0\) : \(\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{S_n}{n^2}\leqslant\dfrac{3}{n}\). Les deux membres extrêmes tendent vers 0, donc, d'après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=0\).
Corrigé de l’exercice 3 : plan, projeté orthogonal et tétraèdre
1. Pour \(t=0\), la représentation paramétrique donne le point \((1\ ;\ 1\ ;\ 1)\) : C appartient à \(\Delta\).
Pour A, on cherche \(t\) avec \(4=1+2t\), \(2=1+t\) et \(2=1+2t\). La première équation donne \(t=\dfrac{3}{2}\), la deuxième \(t=1\) : c'est contradictoire, donc A n'appartient pas à \(\Delta\).
2. a. Le plan \(\mathcal{P}\) est perpendiculaire à \(\Delta\), donc un vecteur directeur de \(\Delta\), à savoir \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\), est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est donc \(2x+y+2z+d=0\). Comme A est dans \(\mathcal{P}\) : \(2\times 4+2+2\times 2+d=0\), soit \(14+d=0\) et \(d=-14\). On a bien \(2x+y+2z-14=0\).
b. Pour B : \(2\times 5+(-2)+2\times 3-14=10-2+6-14=0\), donc B appartient à \(\mathcal{P}\). Pour C : \(2\times 1+1+2\times 1-14=-9\neq 0\), donc C n'appartient pas à \(\mathcal{P}\).
3. a. Les coordonnées de D vérifient l'équation de \(\mathcal{P}\) : \(2\times 3+2+2\times 3-14=0\), donc D est dans \(\mathcal{P}\). De plus \(\overrightarrow{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\overrightarrow{n}\) : la droite (CD) est dirigée par un vecteur normal à \(\mathcal{P}\), donc perpendiculaire à \(\mathcal{P}\). D est dans le plan et (CD) lui est orthogonale : D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\).
b. A, B et D sont dans \(\mathcal{P}\). On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-4\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AD}}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\), qui ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\overrightarrow{\text{AD}}\) est nulle mais pas celle de \(\overrightarrow{\text{AB}}\)). Donc A, B, D ne sont pas alignés et ils déterminent le plan \(\mathcal{P}\). Or C n'est pas dans \(\mathcal{P}\) : A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
c. Le repère est orthonormé, donc
\[\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AD}}=1\times(-1)+(-4)\times 0+1\times 1=0.\]
Le produit scalaire vaut 0.
d. Ce produit scalaire nul signifie que le triangle ABD est rectangle en A. Ses côtés mesurent \(\text{AB}=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) et \(\text{AD}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}\), donc son aire est
\[\dfrac{\text{AB}\times\text{AD}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}=3.\]
Prenons ABD comme base. Comme D est le projeté orthogonal de C sur le plan (ABD), la hauteur relative à cette base est CD, avec \(\text{CD}=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3\). Donc
\[V=\dfrac{1}{3}\times 3\times 3=3.\]
Le volume du tétraèdre ABCD est 3 unités de volume.
4. a. On a \(\overrightarrow{\text{BC}}\begin{pmatrix}-4\\3\\-2\end{pmatrix}\). Notons \(\text{X}\) le point de coordonnées \(\left(\dfrac{73}{29}\ ;\ \dfrac{-4}{29}\ ;\ \dfrac{51}{29}\right)\). Alors \(\overrightarrow{\text{BX}}\begin{pmatrix}\dfrac{73}{29}-5\\\dfrac{-4}{29}+2\\\dfrac{51}{29}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{72}{29}\\\dfrac{54}{29}\\-\dfrac{36}{29}\end{pmatrix}=\dfrac{18}{29}\overrightarrow{\text{BC}}\), donc X est sur la droite (BC). Ensuite \(\overrightarrow{\text{AX}}\begin{pmatrix}-\dfrac{43}{29}\\-\dfrac{62}{29}\\-\dfrac{7}{29}\end{pmatrix}\) et
\[\overrightarrow{\text{AX}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=\dfrac{172-186+14}{29}=0.\]
X est sur (BC) et \(\overrightarrow{\text{AX}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{BC}}\) : X est le projeté orthogonal de A sur (BC), c'est-à-dire H.
b. Dans le triangle ABC, [AH] est la hauteur issue de A et la base est [BC]. On calcule \(\text{BC}^2=16+9+4=29\) et
\[\text{AH}^2=\dfrac{43^2+62^2+7^2}{29^2}=\dfrac{1849+3844+49}{841}=\dfrac{5742}{841}=\dfrac{198}{29}.\]
L'aire vaut alors
\[\dfrac{\text{BC}\times\text{AH}}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{29}\times\sqrt{\dfrac{198}{29}}=\dfrac{\sqrt{198}}{2}=\dfrac{3\sqrt{22}}{2}.\]
c. La distance \(h\) de D au plan (ABC) est la hauteur du tétraèdre relative à la base ABC. En écrivant le volume avec cette base :
\[3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\times h=\dfrac{\sqrt{22}}{2}\,h\quad\Longrightarrow\quad h=\dfrac{6}{\sqrt{22}}=\dfrac{6\sqrt{22}}{22}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}.\]
La distance de D au plan (ABC) est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{11}\) (environ 1,28).
Corrigé de l’exercice 4 : étude de \(x(\ln x)^2\)
1. On écrit \(f(x)=x\times\ln x\times\ln x\). Quand \(x\to+\infty\), \(x\to+\infty\) et \(\ln x\to+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
2. a. Pour \(x\gt 0\), \(g(\sqrt{x})=\sqrt{x}\ln\left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}\times\dfrac{1}{2}\ln x\). Donc
\[4\left(g(\sqrt{x})\right)^2=4\times x\times\dfrac{1}{4}(\ln x)^2=x(\ln x)^2=f(x).\]
b. Quand \(x\to 0\), \(\sqrt{x}\to 0\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{X\to 0}X\ln X=0\), donc par composition \(g(\sqrt{x})\to 0\), puis \(f(x)=4\left(g(\sqrt{x})\right)^2\to 0\). Ainsi \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0\).
3. a. On dérive le produit \(x\times(\ln x)^2\) :
\[f'(x)=1\times(\ln x)^2+x\times\dfrac{2\ln x}{x}=(\ln x)^2+2\ln x=(\ln x)(\ln x+2).\]
b. Le signe de \(f'(x)\) se lit sur deux facteurs : \(\ln x\gt 0\iff x\gt 1\), et \(2+\ln x\gt 0\iff\ln x\gt -2\iff x\gt\text{e}^{-2}\). Le produit est donc positif sur \(]0\ ;\ \text{e}^{-2}[\), négatif sur \(]\text{e}^{-2}\ ;\ 1[\) et positif sur \(]1\ ;\ +\infty[\). Ainsi \(f\) est croissante sur \(]0\ ;\ \text{e}^{-2}]\), décroissante sur \([\text{e}^{-2}\ ;\ 1]\) et croissante sur \([1\ ;\ +\infty[\), avec \(f(0^+)=0\), \(f(1)=0\) et \(f(x)\to+\infty\) en \(+\infty\).
c. Sur \(]0\ ;\ 1]\), le maximum est atteint en \(\text{e}^{-2}\) :
\[f\left(\text{e}^{-2}\right)=\text{e}^{-2}\times(-2)^2=4\text{e}^{-2}\approx 0{,}54.\]
4. a. Sur \(]0\ ;\ 1]\), \(f(x)\leqslant 4\text{e}^{-2}\lt 2\) : l'équation \(f(x)=2\) n'a pas de solution. Sur \([1\ ;\ +\infty[\), \(f\) est continue, strictement croissante, avec \(f(1)=0\lt 2\) et une limite \(+\infty\). D'après le théorème de la bijection, l'équation \(f(x)=2\) a exactement une solution sur cet intervalle. Elle en a donc une seule sur \(]0\ ;\ +\infty[\), notée \(\alpha\).
b. À la calculatrice (tableau de valeurs ou résolution numérique), \(f(2{,}4)\approx 1{,}84\lt 2\) et \(f(2{,}5)\approx 2{,}10\gt 2\). Donc \(2{,}4\lt\alpha\lt 2{,}5\) (en fait \(\alpha\approx 2{,}46\)).
5. a. Sur \([a\ ;\ 1]\), \(f\) est positive. L'intégrale \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\) est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=1\).
b. On intègre par parties avec \(u'(x)=x\), \(u(x)=\dfrac{x^2}{2}\) et \(v(x)=(\ln x)^2\), \(v'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\) (toutes ces fonctions sont de classe \(C^1\) sur \([a\ ;\ 1]\)) :
\[\int_a^1 f(x)\,\text{d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1-\int_a^1\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac{2\ln x}{x}\,\text{d}x.\]
Comme \(\ln 1=0\), le crochet vaut \(0-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2\) et l'intégrale restante se simplifie en \(\displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x\), d'où
\[\int_a^1 f(x)\,\text{d}x=-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x.\]
c. On refait une intégration par parties pour \(\displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x\), avec \(u'(x)=x\), \(u(x)=\dfrac{x^2}{2}\) et \(v(x)=\ln x\), \(v'(x)=\dfrac{1}{x}\) :
\[\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_a^1-\int_a^1\dfrac{x}{2}\,\text{d}x=-\dfrac{a^2}{2}\ln a-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}\right)=-\dfrac{a^2}{2}\ln a-\dfrac{1}{4}+\dfrac{a^2}{4}.\]
On reporte dans le résultat de la question précédente, en changeant les signes de la parenthèse :
\[\int_a^1 f(x)\,\text{d}x=-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2+\dfrac{a^2}{2}\ln a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}.\]
d. On réécrit l'expression pour faire apparaître \(a\ln a\) :
\[\int_a^1 f(x)\,\text{d}x=-\dfrac{1}{2}(a\ln a)^2+\dfrac{a}{2}\times a\ln a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}.\]
Par croissances comparées, \(a\ln a\to 0\) quand \(a\to 0\). Les deux premiers termes tendent donc vers 0, et \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{a^2}{4}\to\dfrac{1}{4}\). Ainsi \(\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1 f(x)\,\text{d}x=\dfrac{1}{4}\).