Corrigé de l’exercice 1 : réciproque de Pythagore, angle et Thalès
1. On compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres. Le plus grand côté de AEF est [AF] :
\[\text{AF}^2=10^2=100\qquad\text{et}\qquad\text{AE}^2+\text{EF}^2=8^2+6^2=64+36=100.\]
Comme \(\text{AF}^2=\text{AE}^2+\text{EF}^2\), la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle AEF est rectangle en E.
2. Dans le triangle AEF rectangle en E, le côté adjacent à l'angle \(\widehat{\text{EAF}}\) est [AE] et l'hypoténuse est [AF]. Donc :
\[\cos\widehat{\text{EAF}}=\dfrac{\text{AE}}{\text{AF}}=\dfrac{8}{10}=0{,}8.\]
Avec la touche « arccos » de la calculatrice, \(\widehat{\text{EAF}}\approx36{,}87^\circ\), soit 37° au degré près.
3. Les points A, E, R sont alignés dans cet ordre, et les points A, F, T aussi. Si (EF) et (RT) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l'égalité \(\dfrac{\text{AE}}{\text{AR}}=\dfrac{\text{AF}}{\text{AT}}\). Calculons chaque rapport :
\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AR}}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\qquad\text{et}\qquad\dfrac{\text{AF}}{\text{AT}}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}.\]
Les produits en croix sont différents : \(8\times14=112\) et \(12\times10=120\). Les rapports ne sont pas égaux, donc les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 : vrai ou faux
1. Calculons les deux membres. Pour le premier, on réduit au même dénominateur :
\[\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{11}{10}.\]
Pour le second, \(\dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}\). Le premier nombre est supérieur à 1, le second est inférieur à 1, donc ils sont différents. L'affirmation 1 est fausse.
2. On calcule l'image de \(-1\) : \(f(-1)=5-3\times(-1)=5+3=8\). Ce n'est pas \(-2\). L'affirmation 2 est fausse.
3. Dans l'expérience n° 1, les nombres premiers entre 1 et 11 sont 2, 3, 5, 7 et 11, soit 5 nombres parmi 11 : la probabilité est \(\dfrac{5}{11}\). Dans l'expérience n° 2, les nombres pairs sont 2, 4 et 6, soit 3 faces sur 6 : la probabilité est \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\). Comparons : \(\dfrac{5}{11}\approx0{,}4545\) et \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\), donc \(\dfrac{5}{11}\lt\dfrac{1}{2}\). Il est donc moins probable, et non plus probable, de choisir un nombre premier dans l'expérience n° 1. L'affirmation 3 est fausse.
4. On reconnaît la forme \(a^2-b^2\) avec \(a=2x+1\) et \(b=2\) :
\[(2x+1)^2-4=(2x+1)^2-2^2=(2x+1-2)(2x+1+2)=(2x-1)(2x+3).\]
On obtient bien \((2x+3)(2x-1)\), pour tout nombre \(x\). L'affirmation 4 est vraie.
Corrigé de l’exercice 3 : diagramme et tableur
1. La barre du pays D s'arrête un peu au-dessus de 130 et un peu en dessous de 140. Un habitant du pays D gaspille environ 138 kg de nourriture en 2010.
2. On lit environ 110 kg pour le pays F et un peu plus de 540 kg pour le pays A. Cinq fois 110 donne 550, ce qui est très proche de la valeur du pays A (autour de 545). On peut donc affirmer que oui, le gaspillage d'un habitant du pays F est environ le cinquième de celui d'un habitant du pays A.
3. a. Il y a 10,9 millions d'habitants, qui gaspillent chacun 345 kg :
\[345\times10{,}9\times1\,000\,000=3\,760\,500\,000\ \text{kg}.\]
Comme 1 tonne = 1 000 kg, cela fait \(3\,760\,500\,000\div1\,000=3\,760\,500\) tonnes, ce qui correspond à la valeur de la cellule D2 : 3 760 500 tonnes.
b. La cellule B2 est en kg par habitant et C2 en millions d'habitants. Le produit B2*C2 donne la quantité en millions de kg. Or 1 million de kg = 1 000 tonnes, il faut donc multiplier par 1 000 pour avoir des tonnes. Vérification avec le pays X : \(345\times10{,}9\times1\,000=3\,760\,500\). La formule saisie en D2 est =B2*C2*1000 (proposition 3).
Corrigé de l’exercice 4 : Scratch et labyrinthe
1. Au début du programme, le lutin va en \((-180\,;\,-120)\) : c'est le point de départ. Pour le ramener au départ quand il touche un mur, on complète l'instruction avec les mêmes valeurs : aller à x : −180 y : −120.
2. Le lutin se déplace de 30 unités à chaque appui sur une flèche, soit un pas d'un point du quadrillage à un voisin. Le labyrinthe est un couloir sans raccourci, et le lutin ne doit jamais se poser sur un trait noir. En partant du point de départ, voici le trajet le plus court :
- 3 pas vers le haut, puis 2 pas vers la droite ;
- 3 pas vers le bas, puis 2 pas vers la droite ;
- 4 pas vers le haut, puis 8 pas vers la droite ;
- 4 pas vers le bas, puis 1 pas vers la droite pour arriver au point de sortie.
Cela fait \(3+2+3+2+4+8+4+1=27\) pas, soit \(27\times30=810\) unités. La distance minimale parcourue est 810 unités.
3. Appuyer sur la flèche haut ajoute 30 à \(y\) : le lutin monte d'un pas, en \((-180\,;\,-90)\), sans toucher de mur. Appuyer ensuite sur la flèche droite ajoute 30 à \(x\) : le lutin arrive en \((-150\,;\,-90)\), sur le grand trait noir vertical situé juste à droite du point de départ. Alors la condition « couleur noire touchée » est vraie : le lutin dit « perdu » pendant 2 secondes, puis retourne au point de départ \((-180\,;\,-120)\).
Corrigé de l’exercice 5 : symétries, rotation et translation
1. La symétrie de centre O envoie chaque sommet sur le sommet opposé : C devient F, D devient A, E devient B, et O reste en O. Le quadrilatère CDEO a donc pour image FABO (proposition 1).
2. La symétrie d'axe (CF) laisse O sur place, et envoie A sur E (A et E sont symétriques par rapport à (CF)). L'image du segment [AO] est le segment [EO].
3. La rotation de centre O qui transforme OAB en OCD envoie A sur C et B sur D. Elle tourne de 120° dans le sens des aiguilles d'une montre, car chaque sommet avance de deux sommets : A vers C, B vers D, donc aussi C vers E. Le triangle BOC a pour image le triangle \(\text{D}\,\text{O}\,\text{E}\) : l'image du triangle BOC est le triangle DOE.
4. Pour aller de l'hexagone 2 à l'hexagone 12, on passe de 2 à son voisin en bas à gauche (6), puis à son voisin situé juste en dessous (12). On applique le même déplacement à l'hexagone 14 : son voisin en bas à gauche est 13, puis le voisin juste en dessous de 13 est 19. L'image de l'hexagone 14 est l'hexagone 19.
Corrigé de l’exercice 6 : médicament et alcool
Partie A
1. Trente minutes correspondent à 0,5 h. Sur la courbe, pour une abscisse de 0,5 h, on lit 10 mg/L : 10 mg/L de principe actif.
2. Le sommet de la courbe est atteint pour une abscisse de 2 h, avec environ 27 mg/L. La quantité est la plus élevée 2 heures après la prise.
Partie B
La formule demande le volume en cL. La boisson 1 a un volume de 33 cL. La boisson 2 a une contenance de 125 mL, soit 12,5 cL. On calcule la masse d'alcool de chaque boisson :
\[m_1=33\times0{,}05\times7{,}9=13{,}035\ \text{g}\qquad m_2=12{,}5\times0{,}12\times7{,}9=11{,}85\ \text{g}.\]
Comme \(13{,}035\gt11{,}85\), oui, la boisson 1 contient une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson 2.
Corrigé de l’exercice 7 : empilement de boulets
1. L'empilement à 2 niveaux est formé d'une base carrée de \(2\times2=4\) boulets, avec 1 boulet posé dessus : \(4+1=\)5 boulets.
2. Chaque niveau est un carré de boulets, et le nombre de boulets de la base est le carré du nombre de niveaux. Pour 3 niveaux, on empile \(3\times3=9\) boulets, puis \(2\times2=4\), puis \(1\times1=1\) :
\[9+4+1=14.\]
L'empilement à 3 niveaux contient bien 14 boulets.
3. On ajoute les carrés successivement : \(1+4+9+16=30\) boulets pour 4 niveaux, puis \(30+25=55\) boulets pour 5 niveaux. L'empilement de 55 boulets comporte 5 niveaux.
4. Volume d'un boulet de rayon 6 cm :
\[V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times6^3=288\pi\ \text{cm}^3\approx904{,}8\ \text{cm}^3.\]
Les 14 boulets ont un volume total de \(14\times288\pi=4\,032\pi\ \text{cm}^3\approx12\,666{,}9\ \text{cm}^3\). On convertit en mètres cubes : \(1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3\), donc le volume est d'environ \(0{,}012\,667\ \text{m}^3\). La masse vaut :
\[0{,}012\,667\times7\,300\approx92{,}5\ \text{kg}.\]
Avec la valeur exacte, \(4\,032\pi\times0{,}0073\approx92{,}46\) kg, soit 92 kg au kilogramme près.
Corrigé de l’exercice 8 : statistiques
1. La plus petite note connue est 6. Si l'une des notes inconnues valait 16, la plus grande note serait au moins 16, et l'étendue serait au moins \(16-6=10\). Or l'étendue de la série est 9. Une note de 16 est donc impossible.
2. Testons les trois informations avec les notes 12,5 et 13,5. La série ordonnée est : 6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15.
- Étendue : \(15-6=9\). C'est cohérent.
- Moyenne : \(\dfrac{6+7{,}5+10+12{,}5+13+13{,}5+14{,}5+15}{8}=\dfrac{92}{8}=11{,}5\). C'est cohérent.
- Admis : 6 élèves sur 8 ont au moins 10, soit \(\dfrac{6}{8}=75\ \%\). C'est cohérent.
- Médiane : avec 8 notes, c'est la moyenne de la 4e et de la 5e, soit \(\dfrac{12{,}5+13}{2}=12{,}75\). Or l'énoncé donne une médiane de 12.
La médiane ne correspond pas. Ce n'est donc pas possible que les deux notes soient 12,5 et 13,5.