Brevet de maths 2020 Amérique du Nord septembre : corrigé

Corrigé de l’exercice 1 : triangle rectangle, Thalès et cosinus

1. Voici une construction possible, en vraie grandeur :

Trace d'abord le segment [BC] de 9,6 cm. Avec ton compas, trace un arc de cercle de centre B et de rayon 4 cm, puis un arc de cercle de centre C et de rayon 10,4 cm. Ils se coupent en A (au-dessus de [BC]). Trace le triangle ABC. Place le point K sur [BC] à 3 cm de C. Trace ensuite la parallèle à (AB) passant par K (avec l'équerre et la règle, ou la règle et l'équerre en la faisant glisser) : elle coupe [AC] en L. Garde tous les traits de construction.

2. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC]. On compare :

\[\text{AC}^2 = 10{,}4^2 = 108{,}16\]

\[\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 4^2 + 9{,}6^2 = 16 + 92{,}16 = 108{,}16\]

On a \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. Les points C, L, A d'une part et C, K, B d'autre part sont alignés, et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :

\[\dfrac{\text{CK}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CL}}{\text{CA}}\]

On remplace par les valeurs : \(\dfrac{3}{9{,}6} = \dfrac{\text{CL}}{10{,}4}\), donc

\[\text{CL} = \dfrac{3 \times 10{,}4}{9{,}6} = 3{,}25\]

Donc CL = 3,25 cm.

4. Dans le triangle ABC rectangle en B, le côté AB est adjacent à l'angle \(\widehat{\text{CAB}}\) et [AC] est l'hypoténuse :

\[\cos\left(\widehat{\text{CAB}}\right) = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{4}{10{,}4}\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{CAB}} \approx 67{,}38^\circ\). L'angle \(\widehat{\text{CAB}}\) mesure environ \(67^\circ\).

Corrigé de l’exercice 2 : QCM justifié

1. Si l'arête \(a\) devient \(3a\), le volume passe de \(a^3\) à \((3a)^3 = 27a^3\). Le volume est multiplié par 27. Bonne réponse : D.

2. Pour \(x = -4\) : \((-4)^2 + 3 \times (-4) + 4 = 16 - 12 + 4 = 8\). Bonne réponse : A.

3. On réduit au même dénominateur : \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\). La valeur 0,583 n'est qu'une approximation de \(\dfrac{7}{12}\) (qui vaut 0,58333...). Bonne réponse : C.

4. En écriture scientifique, on écrit un nombre compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10 : \(1\,500\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^{9}\). Bonne réponse : D.

5. C'est une identité remarquable : \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4\). Bonne réponse : A.

Corrigé de l’exercice 3 : pavage et transformations

1. a. La symétrie centrale de centre O échange les polygones opposés par rapport au centre du carré : l'image du polygone ① est le polygone ③.

1. b. La rotation de centre O qui envoie ① sur ② (en haut à gauche vers en haut à droite) est une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre. Par ce quart de tour, ④ (en bas à gauche) va en haut à gauche : l'image du polygone ④ est le polygone ①.

2. Le polygone ⑤ est exactement au même endroit que le polygone ① mais dans le carré voisin de droite, avec la même orientation. Le pavage est obtenu en décalant le motif de la longueur d'un côté vers la droite : c'est la translation qui transforme A en B (de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\)).

3. a. On cherche un carré dont le côté, en cm, divise à la fois 315 et 270. On a \(315 = 9 \times 35\) et \(270 = 9 \times 30\) : les deux dimensions du tissu sont des multiples de 9. On peut donc recouvrir le tissu avec des carrés de 9 cm de côté, sans découpe.

3. b. Il tient \(315 \div 9 = 35\) carrés dans la longueur et \(270 \div 9 = 30\) carrés dans la largeur, soit \(35 \times 30 = 1\,050\) carrés. Il y aura 1 050 carrés imprimés.

Corrigé de l’exercice 4 : natation et feuille de calcul

1. On range les temps du plus petit au plus grand : 52,93 ; 53,23 ; 53,35 ; 53,61 ; 54,04 ; 54,07 ; 54,52 ; 54,56. La troisième nageuse est celle qui a le troisième meilleur temps : 53,35 s.

2. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \(\dfrac{100}{52{,}93} \approx 1{,}889\). La nageuse a une vitesse moyenne d'environ 1,9 m/s.

3. Moyenne : \(\dfrac{53{,}23 + 54{,}04 + 53{,}61 + 54{,}52 + 53{,}35 + 52{,}93 + 54{,}56 + 54{,}07}{8} = \dfrac{430{,}31}{8} \approx 53{,}79\) s.

Médiane : il y a 8 temps, donc la médiane est la moyenne des 4^e et 5^e valeurs de la liste rangée : \(\dfrac{53{,}61 + 54{,}04}{2} = 53{,}825\) s.

La médiane (53,825 s) est très légèrement supérieure à la moyenne (environ 53,79 s) : les deux valeurs sont proches, à moins de 0,04 s d'écart.

4. La Grande-Bretagne et l'Italie ont obtenu \(13 + 8 = 21\) médailles d'or, alors que la Russie en a obtenu 23. L'affirmation est fausse.

5. La France a remporté 12 médailles, dont 4 d'or. La part de médailles d'or est \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\ \%\). Comme \(33{,}3 \lt 35\), l'affirmation est fausse.

6. Le total est la somme des médailles d'or, d'argent et de bronze, donc on a pu saisir en F2 : =SOMME(C2:E2) (ou =C2+D2+E2).

Corrigé de l’exercice 5 : tirages dans deux urnes et Scratch

Les tirages possibles sont les couples (bleue ; rouge) : 3 choix pour la bleue et 4 pour la rouge, donc \(3 \times 4 = 12\) tirages équiprobables.

1. a. L'évènement « On obtient deux nombres premiers » est possible : par exemple (2 ; 2) ou (3 ; 5). L'évènement « La somme des deux nombres est égale à 12 » est impossible : la somme maximale est \(4 + 5 = 9\).

1. b. Les nombres premiers parmi les boules bleues sont 2 et 3 (4 n'est pas premier) : 2 choix. Parmi les rouges, 2, 3 et 5 : 3 choix. Il y a \(2 \times 3 = 6\) tirages favorables : (2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 5). La probabilité est \(\dfrac{6}{12} = \) \(\dfrac{1}{2}\).

2. Un « double » correspond aux tirages (2 ; 2), (3 ; 3) et (4 ; 4) : il y en a 3 sur 12. La probabilité est \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).

3. a. On simule 1 000 expériences, donc A = 1000. La boule bleue porte un numéro de 2 à 4 : B = 4. La boule rouge porte un numéro de 2 à 5 : C = 5.

3. b. Il faut tirer deux nouvelles boules à chaque répétition, avant de comparer. Le bloc « Tirer deux boules » se place à l'intérieur de la boucle « répéter », avant le « si ».

3. c. Le compteur doit être remis à zéro une seule fois, au début du programme. Le bloc « mettre Nombre de doubles à 0 » se place juste sous « quand le drapeau vert est cliqué », avant la boucle « répéter ».

3. d. La fréquence est le nombre de doubles divisé par le nombre d'expériences (1 000). C'est donc la proposition ②, « dire Nombre de doubles / 1000 ». Cette valeur devrait être proche de \(\dfrac{1}{4}\), c'est-à-dire de 0,25.