Fonction exponentielle et croissances comparées : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Équations et inéquations / 3 pts

a. (1,5 pt) Avec X = e^x > 0 : X² − 4X + 3 = 0, Δ = 16 − 12 = 4, X = 4−22 = 1 ou X = 4+22 = 3 (1 pt). Donc x = 0 ou x = ln 3 (0,5 pt).

b. (1,5 pt) e^1−2x > e⁻³ ⇔ 1 − 2x > −3 (croissance de exp, 0,5 pt) ⇔ −2x > −4 ⇔ x < 2 (inversion du sens, 0,5 pt). S = ]−∞ ; 2[ (0,5 pt).

2 Dérivées et primitives / 3 pts

a. (1 pt) u = x² − 3x, u ′ = 2x − 3 : g ′(x) = (2x − 3)e^x²−3x.

b. (1 pt) h ′(x) = e^2x + (x + 3) × 2e^2x = (2x + 7)e^2x.

c. (1 pt) Une primitive de k est 2e^x² (0,5 pt) ; une primitive de m est −13 e^−3x+1 (0,5 pt).

3 Limites / 3 pts

a. (1 pt) (x² − 3x)e^−x = x² e^−x − 3x e^−x → 0 − 0 = 0 (croissances comparées).

b. (1 pt) (2x + 1)e^x = 2x e^x + e^x → 0 + 0 = 0 en −∞.

c. (1 pt) Forme indéterminée. e^x − x² = e^x(1 − x²e^x). Comme x²e^x → 0, le facteur tend vers 1 et e^x → +∞ : la limite est +∞.

4 Étude de fonction / 8 pts

a. (1 pt) En +∞ : f(x) = 2x e^−x − e^−x → 0 : asymptote horizontale y = 0. En −∞ : 2x − 1 → −∞ et e^−x → +∞ donc f → −∞.

b. (2 pts) f ′(x) = 2e^−x − (2x − 1)e^−x = (3 − 2x)e^−x (1 pt). Signe de 3 − 2x : positif si x < 32. f croît sur ]−∞ ; 32], décroît ensuite ; maximum f(32) = 2e^−3/2 ≈ 0,446 (1 pt).

c. (1 pt) f(0) = −1 et f ′(0) = 3. T : y = 3x − 1.

d. (1,5 pt) f ″(x) = −2e^−x − (3 − 2x)e^−x = (2x − 5)e^−x (0,5 pt). Concave sur ]−∞ ; 52], convexe sur [52 ; +∞[ (0,5 pt). Point d’inflexion d’abscisse 52 : f(52) = 4e^−5/2 ≈ 0,328 (0,5 pt).

e. (0,5 pt) e^−x > 0, donc f(x) = 0 ⇔ 2x − 1 = 0 ⇔ x = 12.

f. (1 pt) Sur ]−∞ ; 32], f est continue, strictement croissante de −∞ à 0,446 : elle prend la valeur 0,4 une seule fois (théorème des valeurs intermédiaires, corollaire de la bijection). Sur [32 ; +∞[, f est continue, strictement décroissante de 0,446 à 0 : 0,4 ∈ ]0 ; 0,446[ est atteinte une seule fois. Au total, 2 solutions.

5 Modélisation : médicament / 3 pts

a. (1 pt) C(t) = C₀ e^−0,25t = 8e^−0,25t.

b. (1 pt) Demi-vie : e^−0,25t = 12 ⇔ t = ln 20,25 = 4 ln 2 ≈ 2,77 h (environ 2 h 46 min).

c. (1 pt) 8e^−0,25t < 1 ⇔ e^−0,25t < 18 ⇔ −0,25t < −ln 8 ⇔ t > 4 ln 8 ≈ 8,32. À partir d’environ 8 h 19 min (remarque : 4 ln 8 = 12 ln 2, soit 3 demi-vies, ce qui est cohérent avec 8 → 1).