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Limites de fonctions : corrigé des exercices de maths Terminale

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Corrigé des exercices de maths Terminale : corrigé des exercices de maths Terminale

Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.

1 Limites de référence ★★★

  1. −∞ (puissance impaire).
  2. +∞.
  3. 0.
  4. +∞ (dénominateur positif proche de 0).
  5. −∞ (dénominateur négatif proche de 0).
  6. 0.

2 Vrai ou faux ? ★★★

  1. Faux. f(x) = −1x tend vers 0 en +∞ mais reste négative sur ]0 ; +∞[.
  2. Faux. Prenons f(x) = x + 2 sin x : on a f(x) ≥ x − 2 donc f tend vers +∞, mais f(π/2) = π/2 + 2 ≈ 3,57 et f(3π/2) = 3π/2 − 2 ≈ 2,71 : f diminue entre ces deux valeurs.
  3. Vrai. limx→0+ 1x² = +∞ et limx→0− 1x² = +∞, donc la droite x = 0 est asymptote verticale.
  4. Faux. x2 − x2 = 0 pour tout x, donc la limite existe et vaut 0. +∞ − ∞ est une forme indéterminée, ce qui n’empêche pas la limite d’exister.

3 Opérations simples ★★★

  1. √x → +∞ et 5 est constant : la limite est +∞.
  2. 1x → 0, donc 3 − 1x → 3.
  3. x3 → −∞ : la limite est −∞.
  4. 1x → +∞ en 0+ : la limite est +∞.
  5. Produit de deux quantités qui tendent vers +∞ : +∞.
  6. x2 → +∞ et 1x → 0 : la limite est +∞.

4 Lecture graphique ★★★

  1. Quand x devient très grand ou très négatif, la courbe se rapproche de la hauteur 2 : limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = 2.
  2. À droite de 2, la courbe monte vers le haut : limx→2+ f(x) = +∞ ; à gauche de 2, elle descend : limx→2− f(x) = −∞.
  3. La droite y = 2 est asymptote horizontale (question a) et la droite x = 2 est asymptote verticale (question b).

5 Asymptotes d’une courbe ★★★

  1. 2x+4 → 0 en ±∞, donc limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = 3 : la droite y = 3 est asymptote horizontale.
  2. En −4+, x + 4 → 0+ donc 2x+4 → +∞ et f(x) → +∞. En −4−, x + 4 → 0− donc f(x) → −∞. La droite x = −4 est asymptote verticale.
  3. f(x) − 3 = 2x+4 est positif si x > −4 et négatif si x < −4 : la courbe est au-dessus de y = 3 sur ]−4 ; +∞[ et au-dessous sur ]−∞ ; −4[.

6 Quotient et signe du dénominateur ★★★

  1. x − 3 → 0+ : +∞.
  2. x − 3 → 0− : −∞.
  3. x + 2 → 0+ et 5 > 0 : +∞.
  4. x2 → 0+ (un carré est positif) et −2 < 0 : −∞.
  5. Si x > 4, 4 − x < 0 : 4 − x → 0− ; avec 3 > 0, la limite est −∞.

7 Coût moyen de fabrication ★★★

  1. C(q) = 2qq + 300q = 2 + 300q.
  2. 300q → 0 donc limq→+∞ C(q) = 2. Le coût moyen se rapproche de 2 euros par objet quand la production devient très grande ; il reste toujours supérieur à 2 car 300q > 0.
  3. 300q → +∞ donc limq→0+ C(q) = +∞ : fabriquer très peu d’objets rend chacun très coûteux (les frais fixes de 300 euros sont partagés entre peu d’objets).
  4. C(q) ≤ 2,5 ⇔ 300q ≤ 0,5 ⇔ q ≥ 3000,5 = 600 (on multiplie par q > 0 puis on divise par 0,5). Il faut produire au moins 600 objets par jour.

8 Polynômes en l’infini ★★★

  1. x3 − 5x2 + 2 = x3(1 − 5x + 2x³). La parenthèse tend vers 1 et x3 → +∞ : la limite est +∞.
  2. −2x4 + x3 = x4(−2 + 1x). En −∞, x4 → +∞ et la parenthèse tend vers −2 : la limite est −∞.
  3. x − x2 = x2(1x − 1) avec x2 → +∞ et la parenthèse → −1 : la limite est −∞.
  4. 4x3 − x = x3(4 − 1x²) avec x3 → −∞ et la parenthèse → 4 : la limite est −∞.

9 Fractions rationnelles en l’infini ★★★

  1. On garde les termes de plus haut degré : 3x²x² = 3. Donc lim f = 3 en +∞ et en −∞.
  2. Termes dominants : 2xx² = 2x → 0. Donc lim g = 0 en ±∞.
  3. Termes dominants : x³2x² = x2. En +∞ : +∞ ; en −∞ : −∞.
  4. Termes dominants : 5x−x = −5. Donc lim k = −5 en ±∞.

10 Formes 0/0 ★★★

  1. Forme 00. Pour x ≠ 3 : x²−9x−3 = (x−3)(x+3)x−3 = x + 3. La limite vaut 6.
  2. Forme 00. x2 − 5x + 6 = (x−2)(x−3), donc pour x ≠ 2 le quotient vaut x − 3. La limite vaut −1.
  3. Forme 00. Pour x ≠ 0 : x²−xx = x − 1. La limite vaut −1.
  4. Ici le numérateur tend vers 3 (pas 0). Le dénominateur est (x−2)2, positif et qui tend vers 0+ des deux côtés. La limite est donc +∞ (ce n’est pas une forme indéterminée).

11 Deux asymptotes verticales ★★★

  1. x2 − x − 2 = (x−2)(x+1) (racines 2 et −1). f est définie sur ℝ \ {−1 ; 2}.
  2. Termes dominants : xx² = 1x → 0. Donc limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = 0.

  3. En 2 : le numérateur tend vers 1 > 0 ; (x+1) → 3 > 0, et (x−2) → 0+ à droite, 0− à gauche. Donc limx→2+ f(x) = +∞ et limx→2− f(x) = −∞.

    En −1 : le numérateur tend vers −2 < 0 ; (x−2) → −3 < 0 et (x+1) → 0+ à droite, 0− à gauche, donc le dénominateur tend vers 0− à droite et 0+ à gauche. Donc limx→−1+ f(x) = +∞ et limx→−1− f(x) = −∞.

  4. Asymptotes verticales : x = −1 et x = 2 ; asymptote horizontale : y = 0 (l’axe des abscisses).-5-4-3-2-1123456-5-4-3-2-112345Ox = −1x = 2

12 Quantité conjuguée ★★★

  1. Forme +∞ − ∞. On multiplie par le conjugué : √(x+3) − √x = (x+3) − x√(x+3) + √x = 3√(x+3) + √x. Le dénominateur tend vers +∞, la limite est 0.
  2. √(x2+1) − x = (x²+1) − x²√(x²+1) + x = 1√(x²+1) + x → 0.
  3. √x − x = √x (1 − √x) avec √x → +∞ et 1 − √x → −∞ : la limite est −∞ (produit de +∞ par −∞).
  4. On multiplie par le conjugué : √(x2+1) + x = 1√(x²+1) − x. Quand x → −∞, −x → +∞ et √(x2+1) → +∞, donc le dénominateur tend vers +∞ : la limite est 0.

13 Composition ★★★

  1. x2 + 1 → +∞ et √X → +∞ quand X → +∞ : la limite est +∞.
  2. 1 + 2x → 1 et X3 → 1 quand X → 1 : la limite est 1.
  3. 1x−2 → +∞ quand x → 2+ et √X → +∞ quand X → +∞ : la limite est +∞.
  4. 1x → 0 et cos X → cos 0 = 1 quand X → 0 : la limite est 1.
  5. x2 + 1 → +∞ donc √(x2+1) → +∞, et 1X → 0 quand X → +∞ : la limite est 0.

14 Encadrements simples ★★★

  1. Comme cos x ≥ −1, on a x + cos x ≥ x − 1. Or x − 1 → +∞, donc la limite est +∞ (minoration).
  2. Comme sin x ≤ 1, on a −2 sin x ≥ −2 et donc 3x − 2 sin x ≥ 3x − 2 → +∞ : la limite est +∞.
  3. Comme sin x ≤ 1, −x2 + 3 sin x ≤ −x2 + 3. Or −x2 + 3 → −∞, donc la limite est −∞ (majoration).
  4. Pour x ≠ 0 : −1x² ≤ cos xx² ≤ 1x². Les deux bornes tendent vers 0 : d’après le théorème des gendarmes, la limite est 0.

15 Position par rapport à l’asymptote ★★★

  1. 2 + 1x+1 = 2(x+1) + 1x+1 = 2x+3x+1.
  2. 1x+1 → 0 en ±∞ donc lim f = 2 en +∞ et en −∞. En −1+, x + 1 → 0+ donc f(x) → +∞ ; en −1−, f(x) → −∞.
  3. Asymptotes : y = 2 (horizontale) et x = −1 (verticale). f(x) − 2 = 1x+1 : positif pour x > −1, négatif pour x < −1. La courbe est au-dessus de y = 2 sur ]−1 ; +∞[ et au-dessous sur ]−∞ ; −1[. Elle ne coupe jamais cette asymptote car 1x+1 ≠ 0.

16 Trouver des paramètres ★★★

  1. Termes dominants : axx = a, donc limx→+∞ f(x) = a. L’asymptote est y = 3 : a = 3.
  2. f(2) = 6+b1 = 6 + b = 7, donc b = 1.
  3. En 1 : le numérateur tend vers 4 > 0 et x − 1 → 0+ à droite, 0− à gauche : limx→1+ f(x) = +∞ et limx→1− f(x) = −∞. La droite x = 1 est asymptote verticale. Enfin f(x) − 3 = 3x+1 − 3(x−1)x−1 = 4x−1.

17 Gendarmes ★★★

  1. Pour x > 0 : −1 ≤ sin x ≤ 1, donc 2x−1x+1 ≤ 2x+sin xx+1 ≤ 2x+1x+1. Les deux bornes ont pour limite 2 (termes dominants), donc la limite est 2.
  2. On a 2 ≤ 3 + cos x ≤ 4, donc 2x²+1 ≤ 3+cos xx²+1 ≤ 4x²+1. Les bornes tendent vers 0 : la limite est 0.
  3. Pour x > 0 : −x ≤ x cos x ≤ x donc −xx²+1 ≤ x cos xx²+1 ≤ xx²+1. Or xx²+1 ≤ xx² = 1x ; ainsi −1x ≤ x cos xx²+1 ≤ 1x. Les deux bornes tendent vers 0 : la limite est 0.

18 Croissances comparées ★★★

  1. Croissance comparée : +∞.
  2. x e−x = xeˣ est l’inverse de eˣx, qui tend vers +∞ : la limite est 0.
  3. Croissance comparée : 0.
  4. Croissance comparée : 0.
  5. Forme +∞ − ∞ : ex − x2 = x2(eˣx² − 1). La parenthèse tend vers +∞ et x2 → +∞ : la limite est +∞.
  6. On pose X = −x → +∞ : x2 ex = X²exp(X) → 0. La limite est 0.

19 Une racine et un quotient ★★★

  1. f(x) = (x²+x) − x²√(x²+x) + x = x√(x²+x) + x (quantité conjuguée).
  2. Pour x > 0, √(x2+x) = x √(1 + 1x). Donc f(x) = x / (x√(1 + 1/x) + x) = 1 / (√(1 + 1/x) + 1). Quand x → +∞, 1x → 0, donc √(1+1x) → 1 et f(x) → 12.
  3. La droite y = 12 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.

20 Vitesse limite d’un train ★★★

  1. 80 − 400t+5 = 80(t+5) − 400t+5 = 80tt+5.
  2. 400t+5 → 0, donc limt→+∞ v(t) = 80. C’est la vitesse limite : le train s’en rapproche sans la dépasser.
  3. 80tt+5 = 72 ⇔ 80t = 72(t+5) ⇔ 8t = 360 ⇔ t = 45. Le train atteint 72 km/h au bout de 45 minutes.
  4. v(t) = 80 ⇔ 400t+5 = 0, ce qui est impossible car 400 ≠ 0. Le train n’atteint jamais 80 km/h : la courbe reste strictement sous son asymptote y = 80.

21 Étude complète des asymptotes ★★★

  1. x2 − 4 = (x−2)(x+2) s’annule en 2 et −2 : f est définie sur ℝ \ {−2 ; 2}.
  2. Termes dominants : 2x²x² = 2. Donc lim f = 2 en +∞ et en −∞.

  3. Numérateur en 2 : 8 − 2 − 1 = 5 > 0. Dénominateur (x−2)(x+2) avec x + 2 → 4 > 0 : il tend vers 0+ à droite de 2 et 0− à gauche. Donc limx→2+ f(x) = +∞ et limx→2− f(x) = −∞.

    Numérateur en −2 : 8 + 2 − 1 = 9 > 0. Dénominateur : x − 2 → −4 < 0 et x + 2 → 0+ à droite, 0− à gauche ; donc il tend vers 0− à droite de −2 et 0+ à gauche. Donc limx→−2+ f(x) = −∞ et limx→−2− f(x) = +∞.

  4. Asymptotes verticales : x = −2 et x = 2 ; asymptote horizontale : y = 2.-8-7-6-5-4-3-2-112345678910-8-7-6-5-4-3-2-112345678910Oy = 2x = −2x = 2
  5. f(x) − 2 = 2x²−x−1 − 2(x²−4)x²−4 = 7−xx²−4. Le numérateur est positif si x < 7 ; le dénominateur est positif si x < −2 ou x > 2.

    Tableau de signes de f(x) − 2 :

    x ]−∞ ; −2[ ]−2 ; 2[ ]2 ; 7[ ]7 ; +∞[
    Signe de 7 − x + + + −
    Signe de x2 − 4 + − + +
    Signe de f(x) − 2 + − + −

    La courbe est au-dessus de y = 2 sur ]−∞ ; −2[ et sur ]2 ; 7[, au-dessous sur ]−2 ; 2[ et sur ]7 ; +∞[, et elle coupe l’asymptote au point d’abscisse 7.

22 Démontrer une limite infinie ★★★

  1. Pour tout x, cos x ≥ −1, donc x2 + cos x ≥ x2 − 1. On divise par x + 1 > 0 : l’inégalité est conservée, f(x) ≥ x²−1x+1.
  2. x2 − 1 = (x−1)(x+1), donc x²−1x+1 = x − 1 pour x > 0. Comme x − 1 → +∞, le théorème de minoration donne limx→+∞ f(x) = +∞.
  3. Pour x > 0, x²+cos xx ≥ x²−1x = x − 1x. Or x → +∞ et 1x → 0, donc x − 1x → +∞ : la limite est +∞ (minoration).
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