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Probabilités conditionnelles et indépendance : corrigé du contrôle de maths Terminale

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Corrigé du contrôle de maths Terminale : corrigé du contrôle de maths Terminale

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.

1 Un magasin de vélos / 5 pts

  1. (1 pt) Arbre : les trois types forment une partition.0,400,080,920,350,050,950,250,120,88VTTSP(VTT∩S) = 0,032S̄ViSP(Vi∩S) = 0,0175S̄ÉSP(É∩S) = 0,03S̄
  2. (1,5 pt) P(S) = 0,4 × 0,08 + 0,35 × 0,05 + 0,25 × 0,12 = 0,032 + 0,0175 + 0,03 = 0,0795.
  3. (1,5 pt) PS(É) = 0,030,0795 = 2053 ≈ 0,377.
  4. (1 pt) Vélo non électrique : 0,75 ; parmi eux ceux revenus : 0,032 + 0,0175 = 0,0495. Donc 0,75 − 0,0495 = 0,7005.

Calculatrice autorisée.

2 Indépendance / 4 pts

  1. (1 pt) P(A) × P(B) = 0,35 × 0,4 = 0,14 = P(A∩B) : indépendants.
  2. (1 pt) P(A) × P(C) = 0,35 × 0,5 = 0,175 ≠ 0,2 = P(A∩C) : non indépendants.
  3. (1,5 pt) P(A∪B) = 0,35 + 0,4 − 0,14 = 0,61 (0,5 pt). A et B étant indépendants, Ā et B le sont aussi (propriété du cours), donc PB(Ā) = P(B) = 0,4, sachant que P(Ā) = 0,65 ≠ 0 (1 pt).
  4. (0,5 pt) PC(A) = 0,20,5 = 0,4.

3 Lancers francs / 4 pts

  1. (1 pt) 0,7⁵ = 0,16807.
  2. (1 pt) 0,3⁵ = 0,00243 ; au moins un : 1 − 0,00243 = 0,99757.
  3. (1 pt) Il y a 5 chemins (l’échec peut être au 1er, …, au 5e lancer), chacun de probabilité 0,7⁴ × 0,3 = 0,07203 : 5 × 0,07203 = 0,36015.
  4. (1 pt) On veut 1 − 0,3n > 0,9999, soit 0,3n < 0,0001. À la calculatrice : 0,3⁷ ≈ 0,000219 (trop grand) et 0,3⁸ ≈ 0,000066. Il faut au minimum 8 lancers.

Calculatrice autorisée.

4 Contrôle antidopage / 4 pts

  1. (1 pt) 0,050,980,020,950,030,97DTP(D∩T) = 0,049T̄P(D∩T̄) = 0,001D̄TP(D̄∩T) = 0,0285T̄P(D̄∩T̄) = 0,9215
  2. (1 pt) (D ; D̄) est une partition : P(T) = 0,05 × 0,98 + 0,95 × 0,03 = 0,049 + 0,0285 = 0,0775.
  3. (1 pt) PT(D) = 0,0490,0775 ≈ 0,632.
  4. (1 pt) P(T̄) = 1 − 0,0775 = 0,9225 et P(D∩T̄) = 0,05 × 0,02 = 0,001. Donc PT̄(D) = 0,0010,9225 ≈ 0,0011.

Calculatrice autorisée.

5 Variables aléatoires indépendantes / 3 pts

  1. (1,5 pt) E(X) = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1 ; V(X) = 0,2 × 1,1² + 0,5 × 0,1² + 0,3 × 0,9² = 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,49. E(Y) = 4 × 0,25 = 1 ; V(Y) = 0,75 × 1² + 0,25 × 3² = 0,75 + 2,25 = 3.
  2. (1 pt) E(S) = E(X) + E(Y) = 3,1 (linéarité). X et Y sont indépendantes, donc V(S) = V(X) + V(Y) = 0,49 + 3 = 3,49.
  3. (0,5 pt) S = 5 seulement pour X = 1 et Y = 4 : par indépendance P(S = 5) = 0,2 × 0,25 = 0,05.
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