1 Produit scalaire et orthogonalité / 4 pts
- (1 pt) ‖u‖ = √(4 + 1 + 4) = 3.
- (1 pt) u·w = 6 − 2 − 4 = 0, donc u et w sont orthogonaux.
- (1 pt) u·v = 2 + 2 − 6 = −2. ‖v‖ = √14. cos θ = −2 / (3√14) ≈ −0,178, donc θ ≈ 100,3°.
- (1 pt) 2t + 1 + 2 = 0, donc t = −3/2.
2 Plan par trois points / 3 pts
- (2 pts) AB(−1 ; 2 ; −1), AC(2 ; −1 ; 1). Un normal (a ; b ; c) vérifie −a + 2b − c = 0 et 2a − b + c = 0 (0,5 pt). En additionnant : a + b = 0 ; avec a = 1 : b = −1, c = 2b − a = −3, soit n(1 ; −1 ; −3) (0,5 pt). Plan : x − y − 3z + d = 0, avec A : 2 − 1 + d = 0, d = −1 (0,5 pt) : x − y − 3z − 1 = 0. Vérification de B et C (0,5 pt) : 1 − 3 + 3 − 1 = 0 ✔ ; 4 − 0 − 3 − 1 = 0 ✔.
- (1 pt) D : 3 − 2 − 0 − 1 = 0 : D appartient au plan.
3 Positions relatives / 3 pts
- (1 pt) Normaux (2 ; 1 ; −1) et (1 ; −1 ; 2) non colinéaires : P et Q sont sécants selon une droite.
- (1,5 pt) On additionne : 3x + z − 3 = 0, donc z = 3 − 3x (0,5 pt). Avec P : y = 4 − 2x + z = 7 − 5x (0,5 pt). Avec x = t : (t ; 7 − 5t ; 3 − 3t) (0,5 pt). Vérification dans Q : t − 7 + 5t + 6 − 6t + 1 = 0 ✔.
- (0,5 pt) z = 0 ⇔ t = 1 : point (1 ; 2 ; 0).
4 Distance et projeté orthogonal / 4 pts
- (1,5 pt) 2×1 − (−2) + 2×4 − 3 = 9 ; √(4 + 1 + 4) = 3. d(A, P) = 9/3 = 3.
- (2 pts) Droite (AH) de direction n(2 ; −1 ; 2) : x = 1 + 2t, y = −2 − t, z = 4 + 2t (0,5 pt). Dans P : 2 + 4t + 2 + t + 8 + 4t − 3 = 9 + 9t = 0, t = −1 (1 pt). H = (−1 ; −1 ; 2) (0,5 pt). Contrôle : −2 + 1 + 4 − 3 = 0 ✔.
- (0,5 pt) H est le milieu de [AA′] : A′ = 2H − A = (−3 ; 1 ; 0).
5 Tétraèdre et volume / 3 pts
- (1 pt) A : 6 − 6 = 0 ; B : 6 − 6 = 0 ; C : 6 − 6 = 0. Les trois points non alignés vérifient l’équation (0,5 pt) et le vecteur (6 ; 3 ; 2) est non nul (0,5 pt) : c’est bien le plan (ABC).
- (0,5 pt) d = |−6| / √(36 + 9 + 4) = 6/7.
- (1,5 pt) Volume (base OAB, hauteur OC) : ⅓ × (½ × 1 × 2) × 3 = 1 (0,5 pt). Avec la base ABC : 1 = ⅓ × aire × 6/7, donc aire = 3 × 7/6 = 7/2 (1 pt).
6 Sphère et plan tangent / 3 pts
- (1,5 pt) d(Ω, P) = |2 + 2 + 6 + 2| / √(1 + 4 + 4) = 12/3 = 4 = rayon : P est tangent à S.
- (1,5 pt) Droite (ΩH) : x = 2 + t, y = −1 − 2t, z = 3 + 2t (0,5 pt). Dans P : 2 + t + 2 + 4t + 6 + 4t + 2 = 12 + 9t = 0, t = −4/3 (0,5 pt). H = (2/3 ; 5/3 ; 1/3) (0,5 pt). Contrôle : 2/3 − 10/3 + 2/3 + 2 = 0 ✔.