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Produit scalaire et plans de l’espace : corrigé des exercices de maths Terminale

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Corrigé des exercices de maths Terminale : corrigé des exercices de maths Terminale

Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.

1 Produits scalaires en coordonnées ★★★

  1. u·v = 2×4 + (−1)×5 + 3×(−1) = 8 − 5 − 3 = 0. Le produit scalaire est nul : u et v sont orthogonaux.
  2. ‖u‖ = √(4 + 1 + 9) = √14 et ‖w‖ = √(1 + 4 + 4) = 3.
  3. u·w = 2×1 + (−1)×(−2) + 3×2 = 2 + 2 + 6 = 10. Alors cos θ = 10 / (3√14) ≈ 0,891, donc θ ≈ 27,0°.

2 Produits scalaires dans un cube ★★★

  1. Le projeté orthogonal de G sur (AB) est B, donc AB·AG = AB·AB = 4² = 16.
  2. Le projeté de G sur (AC) est C, donc AC·AG = AC² = (4√2)² = 32 ; on le confirme en repère (A ; AB/4, AD/4, AE/4) : AC(4 ; 4 ; 0) et AG(4 ; 4 ; 4), donc AC·AG = 16 + 16 + 0 = 32.
  3. AF(4 ; 0 ; 4) et AH(0 ; 4 ; 4), donc AF·AH = 0 + 0 + 16 = 16. Or AF = AH = 4√2 (diagonales de faces), donc cos(FAH) = 16 / (4√2 × 4√2) = 16/32 = ½ et l’angle FAH mesure 60° (le triangle AFH est équilatéral, car FH = 4√2 aussi).

3 Orthogonaux ou non ? ★★★

  1. 3×1 + (−1)×1 + 2×(−1) = 3 − 1 − 2 = 0 : orthogonaux.
  2. 2×1 + 0×5 + (−1)×2 = 2 + 0 − 2 = 0 : orthogonaux.
  3. 1 − 2 + 2 = 1 ≠ 0 : non orthogonaux.
  4. 3t + 2×4 + (−1)×2 = 3t + 6 = 0, donc t = −2.

4 Lire un vecteur normal, tester un point ★★★

a. On lit les coefficients : P1 a pour normal (3 ; −1 ; 2) ; P2 s’écrit x + 0y + 4z − 7 = 0 : normal (1 ; 0 ; 4) ; P3 s’écrit 0x + y + 0z − 2 = 0 : normal (0 ; 1 ; 0).

b. A : 3 − 1 − 2 − 5 = −5 ≠ 0 : A ∉ P1. B : 6 − 1 + 0 − 5 = 0 : B ∈ P1. C : 0 + 3 + 2 − 5 = 0 : C ∈ P1.

5 Équation à partir d’un point et d’un normal ★★★

  1. x + 4y − 2z + d = 0 ; avec A : 2 − 4 − 6 + d = 0 donc d = 8 : x + 4y − 2z + 8 = 0.
  2. 3x − z + d = 0 ; avec B : −3 − 0 + d = 0 donc d = 3 : 3x − z + 3 = 0.
  3. z + d = 0 avec O : d = 0 : z = 0 (c’est le plan (xOy)).

6 Distance d’un point à un plan ★★★

  1. Numérateur : |2 − 4 − 3 + 7| = 2 ; dénominateur : √(4 + 4 + 1) = 3. Distance : 2/3.
  2. Numérateur : |−26| = 26 ; dénominateur : √(9 + 16 + 144) = 13. Distance : 2.
  3. Numérateur : |1 + 1 + 1 − 3| = 0 : la distance est 0, donc C appartient à R.

7 Parallèles, perpendiculaires, sécants ★★★

  1. Normaux (2 ; −4 ; 6) = 2×(1 ; −2 ; 3) : colinéaires, donc plans parallèles. Le point (0 ; 0 ; −1/6) est dans P ; dans Q : −½ − 5 ≠ 0. Plans strictement parallèles.
  2. Normaux (2 ; 1 ; −1) et (1 ; −1 ; 1) : produit scalaire 2 − 1 − 1 = 0, plans perpendiculaires (donc sécants).
  3. Normaux (1 ; 1 ; 1) et (2 ; −1 ; 1) : non colinéaires (les rapports 1/2 et 1/(−1) diffèrent), produit scalaire 2 − 1 + 1 = 2 ≠ 0 : plans sécants non perpendiculaires.

8 La diagonale (EC) et le plan (BDG) ★★★

ABCDEFGHK

  1. E(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 0), donc EC(1 ; 1 ; −1). B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), G(1 ; 1 ; 1) : BD(−1 ; 1 ; 0) et BG(0 ; 1 ; 1). EC·BD = −1 + 1 + 0 = 0 et EC·BG = 0 + 1 − 1 = 0. Les vecteurs BD et BG ne sont pas colinéaires : (EC) est orthogonale à deux droites sécantes de (BDG), donc (EC) ⟂ (BDG).
  2. EC(1 ; 1 ; −1) est normal : x + y − z + d = 0. Avec B : 1 + d = 0, d = −1. Équation : x + y − z − 1 = 0. Contrôle : D : 0 + 1 − 0 − 1 = 0 ✔ ; G : 1 + 1 − 1 − 1 = 0 ✔.
  3. (EC) : x = t, y = t, z = 1 − t. Dans le plan : t + t − (1 − t) − 1 = 3t − 2 = 0, donc t = 2/3 et K(2/3 ; 2/3 ; 1/3).
  4. Par la formule : |0 + 0 − 1 − 1| / √3 = 2/√3 = 2√3/3. Par EK : EK(2/3 ; 2/3 ; −2/3), EK = (2/3)√3 = 2√3/3 ✔. Distance : 2√3/3 ≈ 1,15.

9 Plan par trois points ★★★

  1. AB(2 ; −1 ; 1) et AC(−1 ; −2 ; 2) ne sont pas colinéaires (2/(−1) ≠ (−1)/(−2)). Les points ne sont pas alignés.
  2. On cherche n(a ; b ; c) avec 2a − b + c = 0 et −a − 2b + 2c = 0. De la première : c = b − 2a. Dans la seconde : −a − 2b + 2b − 4a = −5a = 0, donc a = 0 et c = b. Avec b = 1 : n(0 ; 1 ; 1). Plan : y + z + d = 0 ; avec A : 2 + d = 0. Équation : y + z − 2 = 0. Contrôle : B : 1 + 1 − 2 = 0 ✔ ; C : 0 + 2 − 2 = 0 ✔.
  3. D : 1 + 1 − 2 = 0 : D est dans le plan. E : 1 + 2 − 2 = 1 ≠ 0 : E n’y est pas.

10 Intersection de deux plans ★★★

  1. Normaux (2 ; −1 ; 1) et (1 ; 1 ; −2), non colinéaires : les plans sont sécants.
  2. On additionne : 3x − z + 3 = 0, donc z = 3x + 3. Avec P : y = 2x + z − 3 = 2x + 3x + 3 − 3 = 5x. En posant x = t : x = t, y = 5t, z = 3t + 3 (t ∈ ℝ). Vérification dans Q : t + 5t − 6t − 6 + 6 = 0 ✔ ; dans P : 2t − 5t + 3t + 3 − 3 = 0 ✔.
  3. 2×1 + (−1)×1 + 1×(−2) = −1 ≠ 0 : non perpendiculaires.

11 Droite et plan ★★★

  1. u·n = 2×1 + 1×(−2) + 1×2 = 2 ≠ 0 : d n’est pas parallèle à P, elle le coupe en un point.
  2. d : x = 2 + t, y = −2t, z = −1 + 2t. Dans P : 4 + 2t − 2t − 1 + 2t − 7 = 2t − 4 = 0, donc t = 2 et le point est (4 ; −4 ; 3). Contrôle : 8 − 4 + 3 − 7 = 0 ✔.
  3. (1 ; −1 ; −1)·(2 ; 1 ; 1) = 2 − 1 − 1 = 0 : d′ est parallèle à P. O n’est pas dans P (−7 ≠ 0), donc d′ est strictement parallèle, non incluse.

12 Projeté orthogonal sur un plan ★★★

  1. Un vecteur directeur est le normal (1 ; −2 ; 2) : x = 3 + t, y = −1 − 2t, z = 2 + 2t.
  2. Dans P : (3 + t) − 2(−1 − 2t) + 2(2 + 2t) − 4 = 3 + t + 2 + 4t + 4 + 4t − 4 = 5 + 9t = 0, donc t = −5/9. H = (3 − 5/9 ; −1 + 10/9 ; 2 − 10/9) = (22/9 ; 1/9 ; 8/9). Contrôle : 22/9 − 2/9 + 16/9 − 36/9 = 0 ✔.
  3. |3 + 2 + 4 − 4| / √(1 + 4 + 4) = 5/3. Contrôle : AH = |t| × 3 = 5/3 ✔.

13 Distance entre deux plans parallèles ★★★

  1. Même vecteur normal (2 ; −1 ; 2) : plans parallèles. Les constantes −1 et 8 sont différentes, donc les plans ne sont pas confondus.
  2. Le point (0 ; −1 ; 0) vérifie P : 0 + 1 + 0 − 1 = 0. Sa distance à Q est |0 + 1 + 0 + 8| / √(4 + 1 + 4) = 9/3 = 3. C’est la distance entre les deux plans (elle ne dépend pas du point choisi).

14 Plan médiateur ★★★

  1. Milieu I(3 ; −1 ; 1) ; AB(4 ; 2 ; −4), colinéaire à (2 ; 1 ; −2). Plan : 2x + y − 2z + d = 0 ; avec I : 6 − 1 − 2 + d = 0 donc d = −3 : 2x + y − 2z − 3 = 0.
  2. Pour M : 0 + 1 + 2 − 3 = 0, donc M est dans le plan médiateur. Directement : MA² = 1 + 9 + 16 = 26 et MB² = 25 + 1 + 0 = 26, donc MA = MB ✔.

15 Plan tangent à une sphère ★★★

  1. d(Ω, P) = |2 + 6 − 6 + 12| / √(4 + 9 + 36) = 14/7 = 2 = rayon : P est tangent à S.
  2. H est le projeté de Ω sur P : x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = −1 + 6t. Dans P : 2 + 4t + 6 + 9t − 6 + 36t + 12 = 14 + 49t = 0, donc t = −2/7. H = (3/7 ; 8/7 ; −19/7). Contrôle : 6/7 + 24/7 − 114/7 + 84/7 = 0 ✔ ; ΩH = (2/7) × 7 = 2 ✔.

16 Tétraèdre trirectangle ★★★

  1. AB(−3 ; 4 ; 0), AC(−3 ; 0 ; 2). On cherche n avec −3a + 4b = 0 et −3a + 2c = 0 : avec a = 4, b = 3 et c = 6. Plan : 4x + 3y + 6z + d = 0, avec A : 12 + d = 0. 4x + 3y + 6z − 12 = 0. Contrôle : B : 12 − 12 = 0 ✔ ; C : 12 − 12 = 0 ✔.
  2. d(O, (ABC)) = |−12| / √(16 + 9 + 36) = 12/√61 ≈ 1,54.
  3. OAB est rectangle en O, d’aire ½ × 3 × 4 = 6, et la hauteur issue de C est OC = 2 : V = ⅓ × 6 × 2 = 4. Avec la base ABC : V = ⅓ × aire(ABC) × 12/√61 = 4, donc aire(ABC) = 12 × √61 / 12 = √61 ≈ 7,81.
  4. AB ∧ AC = (4×2 − 0×0 ; 0×(−3) − (−3)×2 ; (−3)×0 − 4×(−3)) = (8 ; 6 ; 12), de norme √(64 + 36 + 144) = √244 = 2√61. L’aire est la moitié : √61 ✔. (Le vecteur (8 ; 6 ; 12) est le double du normal (4 ; 3 ; 6) trouvé en a.)

17 Volume du tétraèdre BDEG ★★★

  1. B : 1 − 1 = 0 ✔ ; D : 1 − 1 = 0 ✔ ; E : 1 − 1 = 0 ✔. Les trois points non alignés vérifient l’équation : c’est celle du plan (BDE).
  2. d(G, (BDE)) = |1 + 1 + 1 − 1| / √3 = 2/√3 = 2√3/3.
  3. BD = BE = DE = √2 : triangle équilatéral de côté √2, d’aire (√3/4) × 2 = √3/2.
  4. V = ⅓ × (√3/2) × (2/√3) = 1/3. Autre méthode : le cube (volume 1) privé des quatre coins ABDE, CBDG, FBEG et HDEG. Chacun est un tétraèdre dont la base est un triangle rectangle d’aire ½ et dont la hauteur est 1, donc de volume ⅓ × ½ × 1 = 1/6 : 1 − 4/6 = 1/3 ✔.

18 Famille de plans à paramètre ★★★

  1. Le normal à Pm est (m ; m + 1 ; 2m − 1). Perpendiculaires ⇔ produit scalaire avec (3 ; −1 ; 2) nul : 3m − (m + 1) + 2(2m − 1) = 6m − 3 = 0, donc m = ½. Équation : ½x + (3/2)y + 0z − 2 = 0, soit x + 3y − 4 = 0.
  2. Colinéarité avec (3 ; −1 ; 2) : il faudrait m/3 = (m + 1)/(−1), donc −m = 3m + 3 et m = −3/4. Alors (m + 1) = 1/4 et 2m − 1 = −5/2. Les rapports : m/3 = −1/4 ; (m + 1)/(−1) = −1/4 ; (2m − 1)/2 = −5/4. Le troisième diffère : jamais parallèles.
  3. Comme Pm n’est jamais parallèle à Q, il ne peut pas être confondu avec Q (des plans confondus sont parallèles). De plus l’origine appartient à Q mais pas à Pm (−2 ≠ 0), ce qui donne une seconde preuve directe.

19 Intersection de trois plans ★★★

Normaux (1 ; 1 ; 1), (2 ; −1 ; 1), (1 ; 2 ; −1) : deux à deux non colinéaires. On résout : P + R donne 2x + 3y = 8 ; Q + R donne 3x + y = 5, donc y = 5 − 3x et 2x + 15 − 9x = 8, soit x = 1, puis y = 2 et, avec P, z = 3. Vérification : Q : 2 − 2 + 3 = 3 ✔ ; R : 1 + 4 − 3 = 2 ✔.

Les trois plans se coupent en un unique point M(1 ; 2 ; 3). (Géométriquement : la droite P ∩ Q n’est pas parallèle à R, car sinon le système aurait aucune ou une infinité de solutions.)

20 Vrai ou faux ? Justifie ★★★

  1. Faux. Dans un cube, les plans (ABFE) et (ADHE) sont tous deux perpendiculaires au plan (ABCD), mais ils sont sécants selon (AE).
  2. Faux dans l’espace. Avec les axes d’un repère : (Ox) et (Oy) sont orthogonales à (Oz) mais ne sont pas parallèles.
  3. Faux. Si n est normal, tout vecteur kn avec k ≠ 0 l’est aussi.
  4. Vrai. La deuxième équation s’obtient en multipliant la première par −2 : 2x − y + z = 1 devient −4x + 2y − 2z = −2. Les deux équations décrivent le même ensemble de points.

21 Panneau solaire ★★★

  1. AB(4 ; 0 ; 1), AC(0 ; 3 ; 2). On cherche n : 4a + c = 0 et 3b + 2c = 0. Avec c = −12 : a = 3 et b = 8. Plan : 3x + 8y − 12z + d = 0, avec A : −24 + d = 0. 3x + 8y − 12z + 24 = 0. Contrôle : B : 12 − 36 + 24 = 0 ✔ ; C : 24 − 48 + 24 = 0 ✔.
  2. Numérateur : |3 + 8 − 120 + 24| = 85. Dénominateur : √(9 + 64 + 144) = √217 ≈ 14,73. Distance ≈ 85/14,73 ≈ 5,77 m.
  3. Avec x = 1 et y = 1 : 3 + 8 − 12z + 24 = 0, donc z = 35/12 ≈ 2,92 m. Le drone touche le panneau à l’altitude d’environ 2,92 m, en descendant de 10 − 2,92 ≈ 7,08 m (plus que la distance au plan, car la descente n’est pas perpendiculaire).

22 Hauteur d’une pyramide ★★★

  1. BC(0 ; 4 ; 0), BS(−2 ; 2 ; 3). Un normal (a ; b ; c) vérifie 4b = 0 et −2a + 2b + 3c = 0, donc b = 0 et −2a + 3c = 0 : n(3 ; 0 ; 2). Plan : 3x + 2z + d = 0, avec B : 12 + d = 0. 3x + 2z − 12 = 0. Contrôle : S : 6 + 6 − 12 = 0 ✔ ; C : 12 − 12 = 0 ✔.
  2. d(A, (SBC)) = |−12| / √13 = 12/√13 ≈ 3,33.
  3. Le triangle SBC a pour base BC = 4 et pour hauteur la distance de S à la droite (BC), qui vaut √(2² + 3²) = √13 (BC est dirigée par l’axe des y, le projeté de S sur (BC) est (4 ; 2 ; 0)). Aire = ½ × 4 × √13 = 2√13. Volume de ASBC = ⅓ × 2√13 × 12/√13 = 8. Contrôle : la pyramide SABCD a pour volume ⅓ × 16 × 3 = 16, et le tétraèdre SABC en est exactement la moitié (le triangle ABC est la moitié du carré, même hauteur) : 8 ✔.
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