Corrigé des exercices de maths 4ème : Puissances

1 Calculer des puissances ★★★

1. 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64.
2. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
3. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09.
4. 9¹ = 9.
5. 12⁰ = 1 (convention).
6. 10⁴ = 10 000.

2 Du produit à la puissance ★★★

1) a. 8⁵ (5 facteurs). b. (−2)³ (3 facteurs). c. 0,5⁴ (4 facteurs).

2) a. 7⁴ = 7 × 7 × 7 × 7. b. (−9)³ = (−9) × (−9) × (−9).

3 Signe et valeur ★★★

1. Base négative, exposant impair : négatif. (−4)³ = −64.
2. Base négative, exposant pair : positif. (−4)² = 16.
3. Ici seul le 4 est élevé au carré : −4² = −(4 × 4) = −16, négatif.
4. Exposant impair : négatif. (−1)²⁵ = −1.
5. (−5)² = 25, puis le signe « − » devant : −25, négatif.

4 Exposants négatifs ★★★

1. 2⁻³ = (1) ÷ (2³) = 18.
2. 5⁻² = 125.
3. 3⁻¹ = 13.
4. 4⁻² = 116.
5. (−2)⁻³ = (1) ÷ ((−2)³) = (−1) ÷ 8 = −18.
6. 10⁻² = 1100 = 0,01.

5 Puissances de 10 et écriture décimale ★★★

1) a. 1 000 000 a six zéros : 10⁶. b. 0,001 : le 1 est au troisième rang après la virgule : 10⁻³. c. 0,000 01 = 10⁻⁵. d. 10 = 10¹. e. 1 = 10⁰.

2) a. 100 000. b. 0,000 1. c. 1. d. 0,1.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, pas 2 × 3.
2. Faux : 3² = 9 et 2³ = 8.
3. Faux : (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
4. Faux : 10⁻² = 1100 = 0,01, positif.
5. Vrai : tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1.
6. Vrai : 2⁻¹ = 12 = 0,5.

7 Les bactéries ★★★

Toutes les 20 min, le nombre est multiplié par 2.

1. 1 heure = 3 périodes de 20 minutes : 2³ = 8 bactéries.
2. 3 heures = 9 périodes : 2⁹ bactéries. 2⁹ = 2³ × 2³ × 2³ = 8 × 8 × 8 = 512. Il y a 512 bactéries.

8 Une seule puissance ★★★

1. Règle du produit : 3⁴⁺⁵ = 3⁹.
2. Règle du quotient : 7⁸⁻³ = 7⁵.
3. Puissance de puissance : 2^3×4 = 2¹².
4. 5⁻²⁺⁶ = 5⁴.
5. 4³⁻⁷ = 4⁻⁴.
6. 6^(−1)×3 = 6⁻³.

9 Puissances de 10 ★★★

1. 10⁷⁺⁽⁻³⁾ = 10⁴.
2. 10⁻⁵⁻² = 10⁻⁷.
3. 10^{(−3)×(−2)} = 10⁶.
4. 10^{−6−(−8)} = 10⁻⁶⁺⁸ = 10².
5. 10 = 10¹, donc 10¹⁺⁽⁻⁵⁾ = 10⁻⁴.
6. 10^4+(−4)+9 = 10⁹.

10 Exposants manquants ★★★

1. On cherche x avec x + (−4) = 3, donc x = 7.
2. 5 − x = 8 donne x = −3.
3. 3 × x = −12 donne x = −4.
4. x + 6 = −1 donne x = −7.

11 Expressions numériques ★★★

A = 3 + 2 × 25 = 3 + 50 = 53.

B = (−2)³ × 2 = −8 × 2 = −16.

C = 10 − 16 + 3 × 8 = 10 − 16 + 24 = 18.

D = 12 + 14 = 24 + 14 = 34 (ou 0,75).

12 Écriture décimale ★★★

1. Virgule décalée de 3 rangs à droite : 4 700.
2. Virgule décalée de 2 rangs à gauche : 0,005 3.
3. Décalage de 4 rangs à gauche : 0,008 2.
4. Décalage de 5 rangs à droite : 600.
5. 1 250.
6. 0,34.

13 Notation scientifique ★★★

1. 5,2 × 10⁴.
2. 3,1 × 10⁻⁴.
3. 480 × 10⁵ = 4,8 × 10² × 10⁵ = 4,8 × 10⁷.
4. 0,07 = 7 × 10⁻², donc 7 × 10⁻² × 10⁻³ = 7 × 10⁻⁵.
5. 1,25 × 10⁹.
6. 36,5 = 3,65 × 10, donc 3,65 × 10¹⁻⁶ = 3,65 × 10⁻⁵.

14 Comparaisons ★★★

1. Exposants 5 et 4 : 3,2 × 10⁵ > 9,8 × 10⁴.
2. Exposants −3 et −2 ; −3 < −2 donc 7,1 × 10⁻³ < 2,4 × 10⁻².
3. Même exposant, 4,6 > 4,09, donc le premier est plus grand.
4. 0,52 × 10³ = 5,2 × 10². Exposants 2 et 1 : 5,2 × 10² > 6,1 × 10¹.

15 Calculs en notation scientifique ★★★

A = 3 × 2,5 × 10⁵ × 10⁻² = 7,5 × 10³.

B = 30 × 10⁻⁷ = 3 × 10¹ × 10⁻⁷ = 3 × 10⁻⁶.

C = (8 ÷ 4) × 10⁶⁻⁽⁻²⁾ = 2 × 10⁸.

D = (1,2 ÷ 3) × 10⁻³⁻⁴ = 0,4 × 10⁻⁷ = 4 × 10⁻¹ × 10⁻⁷ = 4 × 10⁻⁸.

16 Le trajet de la lumière ★★★

Durée = distance ÷ vitesse = (1,5 × 10⁸) ÷ (3 × 10⁵) = 0,5 × 10³ = 5 × 10² = 500 secondes.

500 s = 8 × 60 s + 20 s. La lumière du Soleil met environ 8 minutes et 20 secondes pour arriver sur Terre.

17 Un virus très petit ★★★

Nombre = (10⁻²) ÷ (1,2 × 10⁻⁷) = (1 ÷ 1,2) × 10^{−2−(−7)} ≈ 0,83 × 10⁵ ≈ 8,3 × 10⁴.

Il faut environ 83 000 virus, soit 80 000 à la dizaine de milliers près. L’ordre de grandeur est 10⁵.

18 Ranger des nombres ★★★

Mettons tout en notation scientifique : A = 4,5 × 10⁻³ ; B = 4,1 × 10⁻³ ; C = 3,9 × 10⁻² ; D = 5,2 × 10² × 10⁻⁵ = 5,2 × 10⁻³ ; E = 5 × 10⁻² × 10⁻¹ = 5 × 10⁻³.

Exposants : C est le seul à −2, donc le plus grand. Les autres ont −3 : 4,1 < 4,5 < 5 < 5,2.

Ordre croissant : B < A < E < D < C.

19 Démonstrations ★★★

1) 2¹⁰ + 2¹⁰ = 2 × 2¹⁰ = 2¹ × 2¹⁰ = 2¹¹.

2) 3 × 3⁵ = 3¹⁺⁵ = 3⁶.

3) 2⁸ × 5⁸ = (2 × 5)⁸ = 10⁸, donc le quotient vaut (10⁸) ÷ (10⁶) = 10² = 100.

20 Mémoire d’ordinateur ★★★

1. 1 Mo = 2¹⁰ × 2¹⁰ = 2²⁰ octets.
2. 3 × 2²⁰ = 3 × 1 048 576 = 3 145 728 octets.
3. 2⁴ × 2³⁰ = 2³⁴ = 17 179 869 184 octets (à la calculatrice).

21 La chaîne de messages ★★★

1. À l’étape k, il y a 3^k personnes. Étape 6 : 3⁶ = 729 personnes.
2. Total = 3⁰ + 3¹ + … + 3⁶ = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1 093 personnes.