Variables aléatoires et loi binomiale : corrigé des exercices de maths 1ère

Sommaire

1 Trois lancers de pièce ★★★

X prend les valeurs 0, 1, 2, 3.
Il y a 2³ = 8 issues équiprobables ; le nombre d’issues à k Pile est C(3 ; k) = 1, 3, 3, 1.

k 0 1 2 3

P(X = x_i) 18 38 38 18
P(X ≥ 2) = 38 + 18 = 48 = 12.
E(X) = 0 × 18 + 1 × 38 + 2 × 38 + 3 × 18 = 128 = 32 = 1,5.

k	0	1	2	3
P(X = x_i)	18	38	38	18

2 Une probabilité manquante ★★★

La somme des probabilités vaut 1 : 0,1 + a + 0,3 + 0,2 = 1, donc a = 1 − 0,6 = 0,4.

E(X) = (−2) × 0,1 + 0 × 0,4 + 1 × 0,3 + 4 × 0,2 = −0,2 + 0 + 0,3 + 0,8 = 0,9.

3 La roue de la fortune ★★★

G vaut 10 − 2 = 8 (probabilité 18), 3 − 2 = 1 (probabilité 28 = 14) ou −2 (probabilité 58).

g −2 1 8

P(G = g) 58 14 18
E(G) = (−2) × 58 + 1 × 28 + 8 × 18 = (−10 + 2 + 8) ÷ 8 = 0. L’espérance est nulle : le jeu est équitable.

g	−2	1	8
P(G = g)	58	14	18

4 Bernoulli ou pas ? ★★★

Oui : deux issues (6 ou pas 6), p = 16.
Non : il y a six issues (les six faces), pas deux.
Oui : le succès est « la carte est un roi » ; il y a 4 rois sur 32 cartes, donc p = 432 = 18.
Non : l’âge peut prendre plus de deux valeurs ; ce n’est pas une épreuve à deux issues (on pourrait en faire une en définissant un succès, par exemple « avoir 16 ans »).

5 Coefficients binomiaux ★★★

C(6 ; 0) = 1 ; C(7 ; 6) = C(7 ; 1) = 7 ; C(5 ; 2) = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10 ; C(8 ; 3) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 56 ; C(10 ; 8) = C(10 ; 2) = (10 × 9) ÷ 2 = 45.

Pascal : C(6 ; 2) + C(6 ; 3) = 15 + 20 = 35 = C(7 ; 3) = 35. ✔

6 Vrai ou faux : loi binomiale ? ★★★

Oui : 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, succès « Face » de probabilité 0,5. X suit B(10 ; 0,5).
Non : sans remise, la composition de l’urne change à chaque tirage ; les épreuves ne sont pas indépendantes.
Oui : avec remise, les tirages sont identiques et indépendants, p = 510 = 0,5. X suit B(3 ; 0,5).
Non : le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance.

7 Quatre tirs à l’arc ★★★

X suit B(4 ; 14). P(X = k) = C(4 ; k) × (14)^k × (34)^{4 − k} = C(4 ; k) × 3^{4 − k} ÷ 256.

k	0	1	2	3	4
P(X = k)	81256	2764	27128	364	1256

P(X = 0) = 81256 et P(X = 2) = 54256 = 27128.

8 Variance et écart-type ★★★

E(X) = 1 × 0,4 + 2 × 0,3 + 5 × 0,2 + 10 × 0,1 = 0,4 + 0,6 + 1 + 1 = 3.

Définition : V(X) = 0,4 × (1 − 3)² + 0,3 × (2 − 3)² + 0,2 × (5 − 3)² + 0,1 × (10 − 3)² = 1,6 + 0,3 + 0,8 + 4,9 = 7,6.

König-Huygens : E(X²) = 0,4 × 1 + 0,3 × 4 + 0,2 × 25 + 0,1 × 100 = 16,6, donc V(X) = 16,6 − 3² = 7,6. ✔

σ(X) = √7,6 ≈ 2,76.

9 Transformation affine ★★★

E(Y) = 3 E(X) − 2 = 3 × 3 − 2 = 7.

V(Y) = 3² × V(X) = 9 × 7,6 = 68,4.

σ(Y) = √68,4 = 3 σ(X) ≈ 8,27.

Remarque : retrancher 2 n’a aucun effet sur la variance.

10 Loi complète de B(6 ; 0,4) ★★★

P(X = k) = C(6 ; k) × 0,4^k × 0,6^{6 − k}.

k 0 1 2 3 4 5 6

P(X = k) 0,047 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0,004
Somme des valeurs arrondies : 1,000 ; la somme exacte vaut 1.
Avec la définition : E(X) = Σ k P(X = k) = 2,40 ; avec la formule, E(X) = 6 × 0,4 = 2,4. Les deux concordent.
V(X) = 6 × 0,4 × 0,6 = 1,44.

k	0	1	2	3	4	5	6
P(X = k)	0,047	0,187	0,311	0,276	0,138	0,037	0,004

11 Boules rouges avec remise ★★★

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli (succès « rouge », p = 310 = 0,3), les 5 tirages avec remise sont identiques et indépendants : X suit B(5 ; 0,3).
P(X = 2) = C(5 ; 2) × 0,3² × 0,7³ = 10 × 0,09 × 0,343 = 0,309.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7⁵ = 1 − 0,16807 = 0,83193.
P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 5 × 0,3⁴ × 0,7 + 0,3⁵ = 0,02835 + 0,00243 = 0,03078.

12 Les fléchettes ★★★

X suit B(8 ; 0,6).
P(X = 5) = C(8 ; 5) × 0,6⁵ × 0,4³ = 56 × 0,07776 × 0,064 ≈ 0,279.
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0,0007 + 0,0079 + 0,0413 ≈ 0,050.
P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) ≈ 0,0896 + 0,0168 ≈ 0,106.

13 Un questionnaire au hasard ★★★

Chaque réponse est une épreuve de Bernoulli de succès « bonne réponse », p = 0,25 ; les réponses au hasard sont indépendantes. X suit B(10 ; 0,25).
P(X = 3) = C(10 ; 3) × 0,25³ × 0,75⁷ = 120 × 0,015625 × 0,13348 ≈ 0,250.
P(X ≥ 1) = 1 − 0,75¹⁰ ≈ 1 − 0,0563 ≈ 0,944.
E(X) = 10 × 0,25 = 2,5 bonnes réponses.

14 Arbre et fractions exactes ★★★

P(SÉS) = 13 × 23 × 13 = 227.
C(3 ; 2) = 3 listes (SSÉ, SÉS, ÉSS), chacune de probabilité 227 : P(X = 2) = 3 × 227 = 627 = 29.
k 0 1 2 3

P(X = k) 827 49 29 127

Somme : (8 + 12 + 6 + 1) ÷ 27 = 27 ÷ 27 = 1. ✔

k	0	1	2	3
P(X = k)	827	49	29	127

15 Un jeu de pile ou face truqué ★★★

X suit B(5 ; 0,4).
G = 3X − 5.
E(X) = 5 × 0,4 = 2 et V(X) = 5 × 0,4 × 0,6 = 1,2. Donc E(G) = 3 × 2 − 5 = 1 € et V(G) = 3² × 1,2 = 10,8. L’espérance est positive : en moyenne, le joueur gagne 1 € par partie ; le jeu lui est favorable.

16 Combien de répétitions ? ★★★

Soit X le nombre de succès : X suit B(n ; 0,2) et P(X ≥ 1) = 1 − 0,8ⁿ. On cherche n tel que 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,99, soit 0,8ⁿ ≤ 0,01.

À la calculatrice : 0,8²⁰ ≈ 0,01153 > 0,01, tandis que 0,8²¹ ≈ 0,00922 ≤ 0,01. Comme 0,8ⁿ décroît quand n augmente, le plus petit entier est n = 21.

17 Contrôle qualité ★★★

X suit B(50 ; 0,04). E(X) = 50 × 0,04 = 2 ; V(X) = 50 × 0,04 × 0,96 = 1,92 ; σ(X) = √1,92 ≈ 1,39.
P(X = 0) = 0,96⁵⁰ ≈ 0,130. P(X = 1) ≈ 0,271, P(X = 2) ≈ 0,276, donc P(X ≤ 2) ≈ 0,677.
P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) ≈ 0,323. Une alerte survient environ 32 % du temps : elle n’est pas rare.

18 Lire et compléter un programme ★★★

loi(4, 0.5, 2) calcule P(X = 2) pour X ~ B(4 ; 0,5) : C(4 ; 2) × 0,5² × 0,5² = 6 × 0,0625 = 0,375.
esperance(n, p) calcule Σ k × P(X = k), c’est-à-dire E(X). On attend n p = 4 × 0,5 = 2 (Python peut afficher 2.0).
Par l’événement contraire :
```
def au_moins_un(n, p):
    return 1 - loi(n, p, 0)
```
Par exemple, au_moins_un(4, 0.5) vaut 1 − 0,5⁴ = 0,9375.

19 Une preuve de la relation de Pascal ★★★

C(6 ; 2) + C(6 ; 3) = 15 + 20 = 35 et C(7 ; 3) = 35. ✔
C(n ; k) = n! ÷ (k! (n − k)!) et C(n ; k + 1) = n! ÷ ((k + 1)! (n − k − 1)!). On les met sur le même dénominateur (k + 1)! (n − k)!, en utilisant (k + 1)! = (k + 1) × k! et (n − k)! = (n − k) × (n − k − 1)! : la première fraction est multipliée en haut et en bas par (k + 1), la seconde par (n − k). La somme vaut n! × [(k + 1) + (n − k)] ÷ ((k + 1)! (n − k)!) = n! × (n + 1) ÷ ((k + 1)! (n − k)!) = (n + 1)! ÷ ((k + 1)! (n − k)!). Or (n + 1) − (k + 1) = n − k : c’est exactement C(n + 1 ; k + 1). ∎

20 La surréservation ★★★

X suit B(52 ; 0,92).
E(X) = 52 × 0,92 = 47,84 ; V(X) = 52 × 0,92 × 0,08 = 3,8272 ; σ(X) ≈ 1,96.
P(X ≥ 51) = P(X = 51) + P(X = 52) = 52 × 0,92⁵¹ × 0,08 + 0,92⁵² ≈ 0,0592 + 0,0131 ≈ 0,072. Il y a donc environ 7 % de risque de devoir refuser au moins un passager.

21 Retrouver n et p ★★★

On a n p = 12 et n p (1 − p) = 7,2. En remplaçant n p par 12 dans la seconde égalité : 12 (1 − p) = 7,2, donc 1 − p = 0,6 et p = 0,4. Alors n = 12 ÷ 0,4 = 30.

Vérification : 30 × 0,4 = 12 et 30 × 0,4 × 0,6 = 7,2. ✔ X suit B(30 ; 0,4).

22 Une pièce est-elle truquée ? ★★★

À la calculatrice (binomFRép) : P(X ≤ 5) ≈ 0,0207 ≤ 0,025 et P(X ≤ 6) ≈ 0,0577 > 0,025. Donc a = 6.
P(X ≤ 13) ≈ 0,9423 < 0,975 et P(X ≤ 14) ≈ 0,9793 ≥ 0,975. Donc b = 14.
L’intervalle est [6 ; 14]. Comme 16 > 14, le résultat sort de l’intervalle : il a moins de 5 % de chances de se produire avec une pièce équilibrée. On peut raisonnablement soupçonner la pièce d’être truquée (sans en être certain).