Corrigé des exercices de maths 2de : Variations et extremums

1 Lire les variations sur une courbe ★★★

1. La courbe monte de l’abscisse −2 à l’abscisse 1, puis descend jusqu’à 4. Donc q est croissante sur [−2 ; 1] et décroissante sur [1 ; 4].
2. On lit q(−2) = −6, q(1) = 3 et q(4) = −6 :

   x	−2		1		4
   q(x)	−6	↗	3	↘	−6

3. Le plus grand nombre de la seconde ligne est 3 : le maximum de q est 3, atteint en x = 1 (point S).
4. −1 et 0 sont dans [−2 ; 1] où q est croissante, et −1 < 0 donc q(−1) < q(0) (on lit q(−1) = −1 et q(0) = 2). Ensuite 2 et 3 sont dans [1 ; 4] où q est décroissante, et 2 < 3 donc q(2) > q(3) (on lit 2 et −1).

2 Exploiter un tableau de variations ★★★

1. f est décroissante sur [−5 ; −1] et sur [3 ; 6] ; elle est croissante sur [−1 ; 3].
2. Le plus grand nombre de la seconde ligne est 4 : maximum 4, atteint en x = 3. Le plus petit est −3 : minimum −3, atteint en x = −1.
3. −4 < −2 dans [−5 ; −1] où f est décroissante : f(−4) > f(−2). Puis 0 < 2 dans [−1 ; 3] où f est croissante : f(0) < f(2).
4. Non. −3 est dans l’intervalle où f décroît de 2 à −3 : f(−3) est un nombre compris entre −3 et 2. 5 est dans l’intervalle où f décroît de 4 à 0 : f(5) est compris entre 0 et 4. Ces deux plages de valeurs se chevauchent (entre 0 et 2) : le tableau ne permet pas de conclure.

3 Comparer des images sans calculer ★★★

1. −4,2 < −3,9 ≤ 0 et le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0], donc (−4,2)² > (−3,9)².
2. 2,4 < 2,5 et le cube est croissant sur ℝ, donc 2,4³ < 2,5³.
3. −1,7 < −1,6 et le cube est croissant sur ℝ (aussi pour les négatifs), donc (−1,7)³ < (−1,6)³.
4. (−0,4)² = 0,4². Or 0 ≤ 0,3 < 0,4 et le carré est croissant sur [0 ; +∞[, donc 0,3² < 0,4², c’est-à-dire 0,3² < (−0,4)².

4 Fonctions affines ★★★

Une fonction affine x ↦ mx + p est croissante si m > 0, décroissante si m < 0, constante si m = 0. Ici, f a pour coefficient −3 < 0 : décroissante. g a pour coefficient 0,5 > 0 : croissante. h est constante (m = 0).

1. Comme 1,5² = 2,25 > 2 = (√2)², on a √2 < 1,5. f est décroissante, donc f(√2) > f(1,5).
2. −13 ≈ −0,333… < −0,3 et g est croissante, donc g(−13) < g(−0,3).

5 Vrai ou faux ? (fonctions de référence) ★★★

1. Faux. (−2)² = 4 > 1² = 1 alors que −2 < 1. Le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0] et croissant sur [0 ; +∞[.
2. Vrai. Le cube conserve l’ordre sur tout ℝ.
3. Faux. La racine carrée n’est même pas définie sur ℝ (pas de racine d’un nombre négatif) ; elle est croissante sur [0 ; +∞[.
4. Faux sur ℝ* tout entier : −1 < 1 et pourtant 1/(−1) = −1 < 1 = 1/1, l’ordre est conservé. Elle est décroissante séparément sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
5. Vrai. C’est une fonction affine de coefficient −1 < 0.
6. Vrai. x² ≥ 0 pour tout x et 0² = 0, donc 0 est atteint : c’est le minimum.

6 Lire des extremums dans un tableau ★★★

1. Maximum : 6, atteint en x = 2.
2. Minimum : −2, atteint en x = 6.
3. g(x) ≤ 6 pour tout x de [0 ; 10], donc g(x) = 7 n’a aucune solution.
4. Sur [0 ; 2], g va de 1 à 6 : 0 n’est pas entre 1 et 6, aucune solution. Sur [2 ; 6], g décroît de 6 à −2 : 0 est entre −2 et 6, une solution. Sur [6 ; 10], g croît de −2 à 3 : une solution. Au total 2 solutions.

7 Inverse et racine carrée ★★★

1. 7 < 11 et la racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ : √7 < √11.
2. 0 < 2,5 < 2,9 et l’inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ : 12,5 > 12,9 (0,4 > 0,344…).
3. −0,5 < −0,3 < 0 et l’inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ : 1−0,5 > 1−0,3, soit −2 > −3,33…
4. Les deux nombres −2 et 3 ne sont pas dans le même intervalle de monotonie. On compare avec 0 : 1−2 = −0,5 < 0 et 13 > 0, donc 1−2 < 13.

8 Courbe, minimum et nombre de solutions ★★★

1. r(−1) = 1 + 4 + 1 = 6 ; r(2) = 4 − 8 + 1 = −3 ; r(5) = 25 − 20 + 1 = 6 :

   x	−1		2		5
   r(x)	6	↘	−3	↗	6

2. Minimum : −3, atteint en x = 2. On peut le justifier : r(x) = (x − 2)² − 3 ≥ −3.
3. • k = −3 : une solution (x = 2). • k = 0 : 0 est entre −3 et 6 sur [−1 ; 2] et sur [2 ; 5] : 2 solutions. • k = −4 : en dessous du minimum, 0 solution. • k = 6 : on atteint 6 aux deux bornes : 2 solutions. • k = 7 : au-dessus du maximum, 0 solution.
4. r(x) = 6 ⇔ x² − 4x − 5 = 0 ⇔ (x − 5)(x + 1) = 0 (car (x − 5)(x + 1) = x² − 4x − 5). Solutions : x = 5 ou x = −1. ✓

9 Encadrer des images ★★★

1. f est décroissante sur [−4 ; 1] : pour −4 ≤ x ≤ 1, f(1) ≤ f(x) ≤ f(−4), soit −2 ≤ f(x) ≤ 6.

2. [−3 ; 0] est inclus dans [−4 ; 1], donc f y est décroissante : f(0) ≤ f(x) ≤ f(−3), soit −1 ≤ f(x) ≤ 3.

3. g est croissante sur [2 ; 8], donc sur [4 ; 6] : g(4) ≤ g(x) ≤ g(6), soit 0 ≤ g(x) ≤ 3. Comme 1 est compris entre g(4) = 0 et g(6) = 3, l’équation g(x) = 1 a exactement une solution dans [4 ; 6].

10 Une parabole décalée ★★★

1. (x − 2)² ≥ 0, donc f(x) = (x − 2)² + 1 ≥ 1. Et f(2) = 0 + 1 = 1 : le minimum de f est 1, atteint en x = 2.
2. Pour 2 ≤ a < b : 0 ≤ a − 2 < b − 2, le carré est croissant sur [0 ; +∞[, donc (a − 2)² < (b − 2)² et f(a) < f(b) : f est croissante sur [2 ; +∞[. Pour a < b ≤ 2 : a − 2 < b − 2 ≤ 0, le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0], donc (a − 2)² > (b − 2)² : f est décroissante sur ]−∞ ; 2].
3. f(−1) = (−3)² + 1 = 10 et f(4) = 2² + 1 = 5, donc f(−1) > f(4). On ne peut pas conclure avec les variations seules : −1 est dans l’intervalle où f décroît, 4 dans celui où f croît. Il faut calculer (ou comparer les distances à 2 : |−1 − 2| = 3 > |4 − 2| = 2).

11 Trouver un maximum avec une écriture 5 − (…)² ★★★

1. (x + 1)² ≥ 0 donc 5 − (x + 1)² ≤ 5. Égalité si et seulement si (x + 1)² = 0, soit x = −1.
2. Le maximum de g est 5, atteint en x = −1.
3. g(−4) = 5 − 9 = −4 ; g(−1) = 5 ; g(2) = 5 − 9 = −4. La fonction croît jusqu’à −1 puis décroît :

   x	−4		−1		2
   g(x)	−4	↗	5	↘	−4

4. Non : g(x) ≤ 5 < 6 pour tout x, donc g(x) = 6 n’a aucune solution.

12 Démontrer qu’une fonction affine est décroissante ★★★

1. f(a) − f(b) = (−2a + 7) − (−2b + 7) = −2a + 7 + 2b − 7 = 2b − 2a = 2(b − a).
2. Comme a < b, on a b − a > 0 donc 2(b − a) > 0, c’est-à-dire f(a) > f(b). Ainsi, dès que a < b, f(a) > f(b) : f est strictement décroissante sur ℝ.

13 Démontrer les variations de x² + 6x − 1 ★★★

1. (x + 3)² − 10 = x² + 6x + 9 − 10 = x² + 6x − 1 = g(x). ✓
2. (x + 3)² ≥ 0 donc g(x) ≥ −10, avec égalité pour x = −3. Le minimum est −10, atteint en x = −3.
3. g(a) − g(b) = a² − b² + 6a − 6b = (a − b)(a + b) + 6(a − b) = (a − b)(a + b + 6). ✓
4. • Si −3 ≤ a < b : a − b < 0 et a + b > −6 donc a + b + 6 > 0. Le produit est négatif : g(a) < g(b), g est croissante sur [−3 ; +∞[. • Si a < b ≤ −3 : a − b < 0 et a + b < −6 donc a + b + 6 < 0. Le produit de deux négatifs est positif : g(a) > g(b), g est décroissante sur ]−∞ ; −3].

14 Rectangle de périmètre donné ★★★

1. Le demi-périmètre est 20 m : l’autre côté mesure 20 − x et x ∈ [0 ; 20]. L’aire est A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x.
2. 100 − (x − 10)² = 100 − (x² − 20x + 100) = −x² + 20x = A(x). ✓
3. A(0) = 0, A(10) = 100, A(20) = 0 ; A est croissante sur [0 ; 10] et décroissante sur [10 ; 20] (car (x − 10)² décroît puis croît, et on le soustrait) :

   x	0		10		20
   A(x)	0	↗	100	↘	0

4. Le maximum est 100 m², atteint pour x = 10 : les côtés valent 10 m et 20 − 10 = 10 m, l’enclos doit être un carré de côté 10 m.

15 Recette d’un commerçant ★★★

1. 72 − 2(p − 6)² = 72 − 2(p² − 12p + 36) = 72 − 2p² + 24p − 72 = −2p² + 24p. ✓
2. R(1) = −2 + 24 = 22 ; R(6) = 72 ; R(10) = −200 + 240 = 40 :

   x	1		6		10
   R(p)	22	↗	72	↘	40

3. Maximum 72 centaines d’euros, soit 7 200 €, pour un prix de 6 €.
4. Les valeurs du tableau sont 22, 72, 40 : le minimum est 22, soit 2 200 €, atteint au prix p = 1 € (une borne de l’intervalle).
5. R(p) ≥ 64 ⇔ 72 − 2(p − 6)² ≥ 64 ⇔ (p − 6)² ≤ 4 ⇔ −2 ≤ p − 6 ≤ 2 ⇔ 4 ≤ p ≤ 8. La recette dépasse 6 400 € pour un prix compris entre 4 € et 8 €.

16 Étude complète sur une courbe ★★★

1. x	−4		−2		2		4
   p(x)	−2	↗	2	↘	−2	↗	2

2. Maximum 2, atteint en x = −2 et en x = 4. Minimum −2, atteint en x = −4 et en x = 2.
3. −3 < −2,5 dans [−4 ; −2] où p est croissante : p(−3) < p(−2,5). 0 < 1 dans [−2 ; 2] où p est décroissante : p(0) > p(1).
4. • p(x) = 0 : 0 est strictement entre −2 et 2 sur chacune des trois bandes : 3 solutions. • p(x) = 2 : sur [−4 ; −2] la valeur 2 est atteinte au bord (x = −2) ; sur [−2 ; 2] elle est atteinte au bord (x = −2) ; sur [2 ; 4] elle est atteinte au bord (x = 4) : les solutions sont x = −2 et x = 4, soit 2 solutions. • p(x) = 2,5 : au-dessus du maximum, 0 solution.
5. p(−3) = (−27 + 36) ÷ 8 = 9 ÷ 8 = 1,125 et p(−2,5) = (−15,625 + 30) ÷ 8 = 14,375 ÷ 8 ≈ 1,797 : 1,125 < 1,797 ✓. p(0) = 0 et p(1) = (1 − 12) ÷ 8 = −1,375 : 0 > −1,375 ✓.

17 Opérations sur les fonctions de référence ★★★

1. L’inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ ; retrancher 2 ne change pas le sens : f est décroissante sur ]0 ; +∞[. Comme 0,5 < 4, f(0,5) > f(4) : en effet f(0,5) = 2 − 2 = 0 et f(4) = 0,25 − 2 = −1,75.

2. La racine carrée est croissante ; multiplier par −3 < 0 inverse le sens ; ajouter 1 ne change rien. g est décroissante sur [0 ; +∞[ et son maximum est g(0) = 1. Comme 2 < 5, g(2) > g(5) (g(2) ≈ −3,24 et g(5) ≈ −5,71). Sur [0 ; 9] : g(0) = 1 et g(9) = −9 + 1 = −8 :

3. Le cube est croissant sur ℝ ; 2 > 0 conserve le sens ; ajouter 4 ne change rien. h est croissante sur ℝ.

18 Le ballon ★★★

1. 21 − 5(t − 2)² = 21 − 5(t² − 4t + 4) = 21 − 5t² + 20t − 20 = −5t² + 20t + 1. ✓
2. (t − 2)² ≥ 0 donc h(t) ≤ 21, avec égalité pour t = 2. La hauteur maximale est 21 m, atteinte à t = 2 s.
3. h(0) = 1 ; h(2) = 21 ; h(4) = −80 + 80 + 1 = 1 :

   x	0		2		4
   h(t)	1	↗	21	↘	1

4. h(t) ≥ 16 ⇔ 21 − 5(t − 2)² ≥ 16 ⇔ (t − 2)² ≤ 1 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3. Le ballon est à au moins 16 m de hauteur de t = 1 s à t = 3 s, soit pendant 2 secondes.

19 Vrai ou faux ? (variations et extremums) ★★★

1. Faux. Avec f(x) = x² : f(−1) = 1 < f(2) = 4, mais f décroît sur [−1 ; 0].
2. Vrai. Pour x ≤ 3, f(x) ≤ f(3) par croissance ; pour x ≥ 3, f(x) ≤ f(3) par décroissance. Donc f(x) ≤ f(3) sur [0 ; 7].
3. Faux. Le minimum de x² sur [−1 ; 1] est 0, atteint en 0 (milieu de l’intervalle).
4. Faux. f(x) = −x est décroissante sur ℝ et n’a pas de maximum : ses valeurs sont aussi grandes qu’on veut quand x devient très négatif.
5. Faux. x ↦ x et x ↦ x² sur [0 ; 1] ont le même tableau de variations (0 ↗ 1), mais ne sont pas égales : en x = 0,5, l’une vaut 0,5 et l’autre 0,25.

20 Image d’un intervalle ★★★

1. (x − 1)² − 1 = x² − 2x + 1 − 1 = x² − 2x. ✓
2. f(−1) = 1 + 2 = 3 ; f(1) = −1 ; f(3) = 9 − 6 = 3. Le carré (x − 1)² décroît puis croît, avec un changement en x = 1 :

   x	−1		1		3
   f(x)	3	↘	−1	↗	3

3. Le minimum est −1 (en 1) et le maximum est 3 (atteint en −1 et en 3). Donc −1 ≤ f(x) ≤ 3 pour tout x de [−1 ; 3].
4. x² − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2. Les deux appartiennent à [−1 ; 3] : S = {0 ; 2}. (Cohérent avec le tableau : 0 est entre 3 et −1, puis entre −1 et 3.)

21 La fonction x + 1/x ★★★

1. f(x) − 2 = x + 1x − 2 = x² + 1 − 2xx = (x−1)²x. Pour x > 0, (x − 1)² ≥ 0 et x > 0, donc f(x) − 2 ≥ 0, soit f(x) ≥ 2. De plus f(1) = 1 + 1 = 2 : le minimum de f est 2, atteint en x = 1.
2. f(a) − f(b) = (a − b) + 1a − 1b = (a − b) + b − aab = (a − b) − a − bab = (a − b)(1 − 1ab) = (a−b)(ab−1)ab.
3. On a ab > 0 et a − b < 0. • Si 0 < a < b ≤ 1 : ab < 1 donc ab − 1 < 0 ; le numérateur est un produit de deux négatifs, positif : f(a) > f(b), f est décroissante sur ]0 ; 1]. • Si 1 ≤ a < b : ab > 1 donc ab − 1 > 0 ; le numérateur est négatif : f(a) < f(b), f est croissante sur [1 ; +∞[.
4. Le tableau : f décroît sur ]0 ; 1], atteint 2 en 1, puis croît :

   x	0	1	+∞
   f(x)	↘ (valeurs > 2)	2 (minimum)	↗ (valeurs > 2)

   f(2) = 2 + 0,5 = 2,5 et f(12) = 0,5 + 2 = 2,5 : f(2) = f(12), ce qui n’était pas devinable avec le tableau seul puisque 2 et 12 sont de part et d’autre de 1.

22 Déterminer une fonction affine ★★★

1. a = f(5) − f(2)5 − 2 = −2 − 73 = −93 = −3. Puis f(2) = 7 donne −6 + b = 7, d’où b = 13. Donc f(x) = −3x + 13. Vérification : f(5) = −15 + 13 = −2 ✓.
2. a = −3 < 0 : f est décroissante sur ℝ.
3. −3x + 13 ≥ 0 ⇔ x ≤ 133 (on divise par −3, l’inégalité change de sens). Solutions : ]−∞ ; 133]. C’est cohérent avec la décroissance : f(x) = 0 en 133 ≈ 4,33, et f est positive avant.

23 Ranger sans calculatrice ★★★

On écarte les signes : (−2,3)² = 2,3² ; (−1,2)² = 1,2² ; (−0,3)² = 0,3². Les nombres 0,3 ; 1,2 ; 1,5 ; 2,3 sont tous dans [0 ; +∞[ où le carré est croissant, donc 0,3² < 1,2² < 1,5² < 2,3². Ainsi : D < C < B < A. Vérification : D = 0,09 ; C = 1,44 ; B = 2,25 ; A = 5,29.