Généralités sur les fonctions et fonctions de référence : exercices de maths 2de

1 Calculer des images ★★★

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x − 5.

1. Calcule f(2), f(−1), f(0) et f(13).
2. Quel est l’antécédent de 7 par f ?
3. Quel est l’antécédent de 0 par f ?

2 Des carrés plus un ★★★

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = x² + 1.

1. Calcule g(3), g(−3), g(0) et g(12).
2. Donne deux antécédents de 10.
3. Le nombre 0 a-t-il un antécédent ? Justifie.
4. Quels sont les antécédents de 5 ?

3 Lire sur une courbe ★★★

La courbe ci-dessous représente une fonction h définie sur [−2 ; 2].

1. Donne les images de 0, 1, −1 et 2.
2. Donne les antécédents de 1.
3. Donne les antécédents de 0 (valeurs approchées au dixième près pour les non entiers).
4. Combien d’antécédents a le nombre 0,5 ? Et le nombre 3 ?

4 Ensembles de définition ★★★

Détermine l’ensemble de définition de chaque fonction.

1. f(x) = 1x−2
2. g(x) = √(x + 3)
3. h(x) = 5x − 1
4. k(x) = 1x²+1
5. m(x) = √(6 − 2x)
6. n(x) = 72x+8

5 Le rectangle de périmètre 20 cm ★★★

Un rectangle a un périmètre de 20 cm. On note x sa largeur en cm. On définit la fonction A qui, à x, associe l’aire du rectangle en cm².

1. Montre que sa longueur vaut 10 − x, puis que A(x) = x(10 − x).
2. Quel est l’ensemble de définition de A dans ce problème ?
3. Calcule A(3) et A(5). Que représente A(5) ?
4. Montre que 4 et 6 sont des antécédents de 24.

6 Le point est-il sur la courbe ? ★★★

Soit f(x) = x² − 3x + 1 et C_f sa courbe. Les points suivants appartiennent-ils à C_f ? Justifie.

A(2 ; −1)   B(−1 ; 4)   C(0 ; 1)   D(3 ; 2)   E(4 ; 5)

7 Retrouver une fonction affine ★★★

1. La fonction affine f vérifie f(0) = 2 et f(1) = 5. Détermine f(x).
2. La droite d passe par A(1 ; 4) et B(3 ; −2). Détermine l’expression de la fonction affine g dont d est la courbe.
3. La fonction linéaire k vérifie k(4) = 10. Détermine k(x).

8 Tableau de valeurs et courbe ★★★

Soit f(x) = x² − 2 définie sur [−3 ; 3].

1. Dresse un tableau de valeurs pour x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
2. Trace la courbe de f dans un repère (1 cm par unité).
3. Quel axe de symétrie semble avoir la courbe ? Quels sont les antécédents de 2 ?

9 Équations et inéquations graphiques ★★★

On a tracé la courbe C_u de la fonction u définie sur [−3 ; 3] par u(x) = −x² + 4, et la droite d d’équation y = −x + 2.

Résous graphiquement :

1. u(x) = 0
2. u(x) ≥ 3
3. u(x) < 0
4. u(x) = −x + 2
5. u(x) ≤ −x + 2

10 La fonction inverse ★★★

Résous dans ℝ* chacune des conditions suivantes en t’appuyant sur la courbe de la fonction inverse (hyperbole) et sur le sens de variation.

1. 1x = 0,25
2. 1x = −2
3. 1x ≥ 12
4. 1x < −1

11 La racine carrée ★★★

1. Résous √x = 5.
2. Quel est l’ensemble de définition de f(x) = √(2x − 1) ?
3. Résous √(2x − 1) = 3.
4. Résous √x > 2 sur [0 ; +∞[.
5. Résous √x ≤ 3 sur [0 ; +∞[.

12 Paire, impaire ou ni l’une ni l’autre ? ★★★

Étudie la parité de chaque fonction (ensemble de définition indiqué).

1. f(x) = x⁴ − 3x² sur ℝ
2. g(x) = 2x³ + x sur ℝ
3. h(x) = x² + x sur ℝ
4. k(x) = 4x sur ℝ*
5. m(x) = √x sur [0 ; +∞[
6. p(x) = 5 sur ℝ

13 Compléter par symétrie ★★★

Une fonction f est définie sur [−3 ; 3] et on connaît ses valeurs sur [0 ; 3] :

1. On suppose f paire. Donne f(−1), f(−2), f(−3).
2. Peut-on supposer que f est impaire ? Justifie.
3. Une fonction g, impaire sur [−3 ; 3], vérifie g(1) = 2, g(2) = −3, g(3) = 1. Donne g(0), g(−1), g(−2), g(−3).

14 Comparer sans calculatrice ★★★

Compare les nombres suivants en justifiant avec le sens de variation d’une fonction de référence.

1. (−3)² et (−2)²
2. 1,5³ et 1,2³
3. 1−4 et 1−2
4. √7 et √5
5. (−0,3)² et (−0,5)²

15 Variations et signe de fonctions affines ★★★

Soient f(x) = −2x + 6 et g(x) = 0,5x − 1.

1. Donne le sens de variation de f et de g.
2. Résous f(x) = 0 puis dresse le tableau de signes de f.
3. Résous g(x) = 0 puis dresse le tableau de signes de g.
4. Résous f(x) > g(x).

16 Vrai ou faux ? ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

1. Un nombre de l’ensemble de définition a toujours au plus une image.
2. Tout nombre réel a au moins un antécédent par la fonction carré.
3. La fonction inverse est décroissante sur ℝ*.
4. Pour tout réel x, √(x²) = x.
5. La courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine.

17 Deux tarifs de location ★★★

Une agence propose deux tarifs pour louer une trottinette électrique, selon la distance d parcourue en km. Tarif A : 15 € d’abonnement puis 0,40 € par km. Tarif B : 0,65 € par km, sans abonnement. On note f(d) le prix avec le tarif A et g(d) le prix avec le tarif B.

1. Exprime f(d) et g(d). Quelle est la nature de ces fonctions ?
2. Calcule f(40) et g(40). Quel tarif est le plus avantageux pour 40 km ?
3. Résous f(d) = g(d). Interprète.
4. À partir de quelle distance le tarif A est-il avantageux ?

18 Parabole et droite ★★★

Soient f(x) = x² et g(x) = x + 6, définies sur ℝ.

1. Trace dans un même repère les courbes de f et de g pour x entre −3 et 3,5.
2. Conjecture les solutions de f(x) = g(x), puis démontre-les par le calcul (vérifie que les valeurs trouvées conviennent).
3. Résous graphiquement f(x) < g(x), puis f(x) ≥ g(x).

19 Racine carrée et droite y = x ★★★

On compare la fonction racine carrée f(x) = √x et la fonction g(x) = x, définies sur [0 ; +∞[.

1. Trace leurs courbes pour x entre 0 et 4 et conjecture les solutions de √x = x.
2. Démontre que √x = x ⇔ x = x² pour x ≥ 0 et résous.
3. Résous graphiquement √x > x, puis √x < x. Vérifie avec x = 0,25 et x = 4.

20 Inverse contre identité ★★★

Soient f(x) = 1x sur ℝ* et g(x) = x sur ℝ*.

1. Montre que f(x) = g(x) ⇔ x² = 1. Résous.
2. Résous graphiquement f(x) > g(x) à l’aide d’un graphique.
3. Teste ta réponse avec x = −2, x = −0,5, x = 0,5 et x = 3.

21 Démontrer une parité ★★★

Étudie la parité de chacune des fonctions suivantes en rédigeant avec soin (ensemble de définition, calcul de f(−x), conclusion).

1. f(x) = x³x²+1
2. g(x) = x²−1x²+4
3. h(x) = x + 1x
4. k(x) = x² + 1x

22 L’enclos le plus grand ★★★

Pour son poulailler, Inès dispose de 40 m de grillage. Elle veut un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur remplace un des grands côtés, et le grillage entoure les trois autres côtés. On note x la longueur (en m) de chacun des deux petits côtés, perpendiculaires au mur.

1. Exprime la longueur du côté parallèle au mur en fonction de x. Quel est l’ensemble de définition de l’aire A(x) ?
2. Montre que A(x) = x(40 − 2x).
3. Calcule A(5), A(10), A(15), A(0) et A(20).
4. Résous A(x) = 150. Que remarques-tu sur les solutions ?
5. À l’aide d’un tableau de valeurs et d’une courbe, conjecture la valeur de x qui rend l’aire maximale.

23 Ranger x, x² et x³ ★★★

Pour x ≥ 0, on veut comparer les nombres x, x² et x³.

1. Calcule ces trois nombres pour x = 0,5 puis pour x = 2. Que remarques-tu sur leur ordre ?
2. Démontre que x³ = x² ⇔ x = 0 ou x = 1, et que x² = x ⇔ x = 0 ou x = 1.
3. Déduis-en, à l’aide des courbes, comment sont rangés x, x² et x³ selon que 0 < x < 1 ou x > 1.