Dans ce chapitre, tu apprends le langage de la géométrie : points, droites, segments, cercles et angles. Tu verras comment mesurer une distance ou un angle, puis comment reconnaître et construire les triangles particuliers avec la règle, le compas, l’équerre et le rapporteur.
1. Points, droites, demi-droites et segments
Les trois objets de base
Une droite est « toute droite » : elle ne s’arrête jamais, ni d’un côté ni de l’autre. Une demi-droite a un point de départ, appelé origine, mais elle continue sans fin d’un seul côté. Un segment est un morceau de droite compris entre deux points, ses extrémités : il a une longueur que l’on peut mesurer.
Une droite est « toute droite » : elle ne s’arrête jamais, ni d’un côté ni de l’autre. Une demi-droite a un point de départ, appelé origine, mais elle continue sans fin d’un seul côté. Un segment est un morceau de droite compris entre deux points, ses extrémités : il a une longueur que l’on peut mesurer.
La droite et la demi-droite se prolongent sans fin ; seul le segment a une longueur que l’on peut mesurer.
| Objet | Notation | Se lit |
|---|---|---|
| Droite passant par A et B | (AB) | « droite AB » |
| Demi-droite d’origine A passant par B | [AB) | « demi-droite d’origine A passant par B » |
| Segment d’extrémités A et B | [AB] | « segment AB » |
| Longueur du segment [AB] | AB | « AB » (un nombre, avec une unité) |
Piège classique
La demi-droite [AB) et la demi-droite [BA) ne sont pas les mêmes : elles n’ont pas la même origine et partent chacune dans un sens différent. En revanche, la droite (AB) et la droite (BA) sont identiques, et AB = BA.
La demi-droite [AB) et la demi-droite [BA) ne sont pas les mêmes : elles n’ont pas la même origine et partent chacune dans un sens différent. En revanche, la droite (AB) et la droite (BA) sont identiques, et AB = BA.
Points alignés
Des points sont alignés s’ils sont tous situés sur une même droite. Pour le vérifier, on pose la règle sur deux des points et on regarde si le troisième touche le bord de la règle.
Des points sont alignés s’ils sont tous situés sur une même droite. Pour le vérifier, on pose la règle sur deux des points et on regarde si le troisième touche le bord de la règle.
Exemple
Sur une carte, trois arbres A, B et C sont plantés au bord d’une même allée rectiligne : A, B et C sont alignés. Un quatrième arbre D est planté dans l’herbe, à côté de l’allée : A, B et D ne sont pas alignés.
Sur une carte, trois arbres A, B et C sont plantés au bord d’une même allée rectiligne : A, B et C sont alignés. Un quatrième arbre D est planté dans l’herbe, à côté de l’allée : A, B et D ne sont pas alignés.
2. Le milieu d’un segment
Milieu
Le milieu d’un segment [AB] est le point I du segment qui est à la même distance des deux extrémités : I appartient à [AB] et IA = IB. Il partage le segment en deux morceaux de même longueur.
Le milieu d’un segment [AB] est le point I du segment qui est à la même distance des deux extrémités : I appartient à [AB] et IA = IB. Il partage le segment en deux morceaux de même longueur.
Les petits traits identiques indiquent que AI et IB ont la même longueur : c’est le codage de l’égalité des longueurs.
Trouver le milieu avec la règle graduée
1) Mesure la longueur du segment, par exemple 9 cm. 2) Divise-la par 2 : 9 ÷ 2 = 4,5 cm. 3) Place la règle sur le segment et marque un point à 4,5 cm de l’une des extrémités.
1) Mesure la longueur du segment, par exemple 9 cm. 2) Divise-la par 2 : 9 ÷ 2 = 4,5 cm. 3) Place la règle sur le segment et marque un point à 4,5 cm de l’une des extrémités.
Exemple
Si M est le milieu de [PQ] et que PM = 3,6 cm, alors MQ = 3,6 cm aussi, et la longueur totale vaut PQ = 2 × 3,6 = 7,2 cm.
Si M est le milieu de [PQ] et que PM = 3,6 cm, alors MQ = 3,6 cm aussi, et la longueur totale vaut PQ = 2 × 3,6 = 7,2 cm.
3. La distance entre deux points
Distance
La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB], notée AB. C’est le plus court chemin pour aller de A à B.
La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB], notée AB. C’est le plus court chemin pour aller de A à B.
Inégalité triangulaire
Pour trois points A, B et C quelconques, aller de A à B en passant par C n’est jamais plus court que d’aller directement de A à B : AB ≤ AC + CB. De plus, AB = AC + CB seulement si C est sur le segment [AB].
Pour trois points A, B et C quelconques, aller de A à B en passant par C n’est jamais plus court que d’aller directement de A à B : AB ≤ AC + CB. De plus, AB = AC + CB seulement si C est sur le segment [AB].
Exemple
Tu marches 300 m de ta maison A jusqu’à la boulangerie C, puis 200 m jusqu’à l’école B. Le trajet fait 500 m. Si la distance directe AB est de 420 m, C n’est pas sur le segment [AB] (car 420 ≠ 500) : tu as fait un détour de 80 m.
Tu marches 300 m de ta maison A jusqu’à la boulangerie C, puis 200 m jusqu’à l’école B. Le trajet fait 500 m. Si la distance directe AB est de 420 m, C n’est pas sur le segment [AB] (car 420 ≠ 500) : tu as fait un détour de 80 m.
Astuce
Pour savoir si un point C est sur le segment [AB], mesure AC, CB et AB : si AC + CB est exactement égal à AB, alors C est bien sur le segment ; sinon, non.
Pour savoir si un point C est sur le segment [AB], mesure AC, CB et AB : si AC + CB est exactement égal à AB, alors C est bien sur le segment ; sinon, non.
4. Le cercle et le disque
Cercle et disque
Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les points situés à la distance r du point O. Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à une distance de O inférieure ou égale à r : c’est le cercle avec son intérieur.
Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les points situés à la distance r du point O. Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à une distance de O inférieure ou égale à r : c’est le cercle avec son intérieur.
Vocabulaire du cercle
Un rayon est un segment qui joint le centre à un point du cercle. Une corde est un segment qui joint deux points du cercle. Un diamètre est une corde qui passe par le centre. Un arc de cercle est une portion du cercle entre deux points. Le diamètre est le double du rayon : d = 2 × r.
Un rayon est un segment qui joint le centre à un point du cercle. Une corde est un segment qui joint deux points du cercle. Un diamètre est une corde qui passe par le centre. Un arc de cercle est une portion du cercle entre deux points. Le diamètre est le double du rayon : d = 2 × r.
Tracer un cercle de centre O et de rayon 3,5 cm
1) Place le point O. 2) Écarte les branches du compas de 3,5 cm en mesurant avec la règle graduée (la pointe sur le 0, la mine sur 3,5). 3) Pose la pointe sèche sur O. 4) Fais tourner le compas en tenant la tête, sans changer l’écartement, jusqu’à fermer le tour.
1) Place le point O. 2) Écarte les branches du compas de 3,5 cm en mesurant avec la règle graduée (la pointe sur le 0, la mine sur 3,5). 3) Pose la pointe sèche sur O. 4) Fais tourner le compas en tenant la tête, sans changer l’écartement, jusqu’à fermer le tour.
Exemple
Un cercle de 9 cm de diamètre a un rayon de 9 ÷ 2 = 4,5 cm. Un point situé à 4 cm du centre est à l’intérieur du disque ; un point à 5 cm est à l’extérieur.
Un cercle de 9 cm de diamètre a un rayon de 9 ÷ 2 = 4,5 cm. Un point situé à 4 cm du centre est à l’intérieur du disque ; un point à 5 cm est à l’extérieur.
5. Les angles : vocabulaire et notation
Angle
Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune s’appelle le sommet de l’angle, et les deux demi-droites en sont les côtés. On mesure un angle en degrés, avec le symbole °.
Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune s’appelle le sommet de l’angle, et les deux demi-droites en sont les côtés. On mesure un angle en degrés, avec le symbole °.
On note cet angle ∠ABC : la lettre du sommet est toujours écrite au milieu.
Les quatre types d’angles
Un angle aigu mesure entre 0° et 90°. Un angle droit mesure exactement 90° (on le repère avec un petit carré). Un angle obtus mesure entre 90° et 180°. Un angle plat mesure exactement 180° : ses deux côtés sont alignés.
Un angle aigu mesure entre 0° et 90°. Un angle droit mesure exactement 90° (on le repère avec un petit carré). Un angle obtus mesure entre 90° et 180°. Un angle plat mesure exactement 180° : ses deux côtés sont alignés.
Ne te fie pas à la longueur des côtés
La mesure d’un angle ne dépend pas de la longueur des demi-droites dessinées. Un angle dont les côtés sont très longs n’est pas plus grand pour autant : c’est l’écartement qui compte.
La mesure d’un angle ne dépend pas de la longueur des demi-droites dessinées. Un angle dont les côtés sont très longs n’est pas plus grand pour autant : c’est l’écartement qui compte.
Angles adjacents
Si un angle est coupé en deux par une demi-droite, la mesure de l’angle entier est la somme des mesures des deux angles obtenus. Ainsi, si ∠AOC = 70° et ∠COB = 40°, alors ∠AOB = 70° + 40° = 110° (quand C est à l’intérieur de l’angle AOB). Dans un angle plat, les deux angles qui se complètent font 180°.
Si un angle est coupé en deux par une demi-droite, la mesure de l’angle entier est la somme des mesures des deux angles obtenus. Ainsi, si ∠AOC = 70° et ∠COB = 40°, alors ∠AOB = 70° + 40° = 110° (quand C est à l’intérieur de l’angle AOB). Dans un angle plat, les deux angles qui se complètent font 180°.
6. Mesurer et construire un angle au rapporteur
Le rapporteur
Le rapporteur est un demi-disque gradué de 0° à 180°. Il possède deux graduations qui vont en sens inverse, l’une à partir de la droite, l’autre à partir de la gauche : il faut choisir celle qui commence par 0 sur un côté de l’angle.
Le rapporteur est un demi-disque gradué de 0° à 180°. Il possède deux graduations qui vont en sens inverse, l’une à partir de la droite, l’autre à partir de la gauche : il faut choisir celle qui commence par 0 sur un côté de l’angle.
Le centre du rapporteur est sur le sommet O, le côté [OA) passe par la graduation 0, et le côté [OB) coupe la graduation 65 : ∠AOB = 65°.
Mesurer un angle
1) Place le centre du rapporteur (la petite croix) exactement sur le sommet. 2) Aligne le bord du rapporteur avec l’un des côtés, de façon que ce côté passe par la graduation 0. 3) Lis la graduation que touche l’autre côté, en suivant la bonne série de nombres, celle qui commence à 0. 4) Vérifie que ta mesure est cohérente : un angle aigu doit mesurer moins de 90°.
1) Place le centre du rapporteur (la petite croix) exactement sur le sommet. 2) Aligne le bord du rapporteur avec l’un des côtés, de façon que ce côté passe par la graduation 0. 3) Lis la graduation que touche l’autre côté, en suivant la bonne série de nombres, celle qui commence à 0. 4) Vérifie que ta mesure est cohérente : un angle aigu doit mesurer moins de 90°.
Construire un angle ∠xOy de 50°
1) Trace une demi-droite [Ox) avec la règle. 2) Pose le centre du rapporteur sur O et la graduation 0 sur [Ox). 3) Repère un petit point à la graduation 50, du bon côté. 4) Retire le rapporteur, puis trace la demi-droite [Oy) qui part de O et passe par ce point. 5) Code l’angle avec un arc et écris 50°.
1) Trace une demi-droite [Ox) avec la règle. 2) Pose le centre du rapporteur sur O et la graduation 0 sur [Ox). 3) Repère un petit point à la graduation 50, du bon côté. 4) Retire le rapporteur, puis trace la demi-droite [Oy) qui part de O et passe par ce point. 5) Code l’angle avec un arc et écris 50°.
Astuce de Mathbot
Avant de lire la graduation, demande-toi : « mon angle est-il aigu ou obtus ? ». Si tu lis 130° alors que l’angle semble petit, tu as pris la mauvaise série de nombres : la vraie mesure est 180° − 130° = 50°.
Avant de lire la graduation, demande-toi : « mon angle est-il aigu ou obtus ? ». Si tu lis 130° alors que l’angle semble petit, tu as pris la mauvaise série de nombres : la vraie mesure est 180° − 130° = 50°.
7. Les triangles particuliers
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal, et le troisième côté est la base.
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal, et le troisième côté est la base.
ABC est isocèle en A : AB = AC. La droite en pointillés est un axe de symétrie du triangle, et les deux angles de la base sont égaux.
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. C’est un cas particulier de triangle isocèle. Ses trois angles sont égaux et mesurent chacun 60°.
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. C’est un cas particulier de triangle isocèle. Ses trois angles sont égaux et mesurent chacun 60°.
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. On dit qu’il est rectangle au sommet de cet angle droit.
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. On dit qu’il est rectangle au sommet de cet angle droit.
Exemple
Un triangle de côtés 6 cm, 6 cm et 4 cm est isocèle, mais pas équilatéral. Un triangle de côtés 5 cm, 5 cm et 5 cm est équilatéral, donc aussi isocèle. Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 6 cm est quelconque.
Un triangle de côtés 6 cm, 6 cm et 4 cm est isocèle, mais pas équilatéral. Un triangle de côtés 5 cm, 5 cm et 5 cm est équilatéral, donc aussi isocèle. Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 6 cm est quelconque.
Périmètre d’un triangle
Le périmètre est la longueur du tour de la figure : on additionne les longueurs des trois côtés. Pour un triangle équilatéral de côté c, le périmètre est 3 × c.
Le périmètre est la longueur du tour de la figure : on additionne les longueurs des trois côtés. Pour un triangle équilatéral de côté c, le périmètre est 3 × c.
Peut-on toujours construire un triangle ?
Non ! Il faut que le plus grand côté soit plus petit que la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Avec des côtés de 2 cm, 3 cm et 7 cm, c’est impossible : 2 + 3 = 5, et 5 est inférieur à 7, donc les deux petits côtés ne se rejoignent jamais.
Non ! Il faut que le plus grand côté soit plus petit que la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Avec des côtés de 2 cm, 3 cm et 7 cm, c’est impossible : 2 + 3 = 5, et 5 est inférieur à 7, donc les deux petits côtés ne se rejoignent jamais.
8. Construire un triangle
Triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm
1) Trace à la règle un segment [AB] de 6 cm. 2) Avec le compas, trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, au-dessus du segment. 3) Trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm, qui coupe le premier. 4) Appelle C le point d’intersection des deux arcs. 5) Trace les segments [AC] et [BC]. Garde les traits de construction.
1) Trace à la règle un segment [AB] de 6 cm. 2) Avec le compas, trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, au-dessus du segment. 3) Trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm, qui coupe le premier. 4) Appelle C le point d’intersection des deux arcs. 5) Trace les segments [AC] et [BC]. Garde les traits de construction.
Le point C est à la fois à 4 cm de A et à 5 cm de B : il se trouve à l’intersection des deux arcs.
Construire un triangle rectangle à l’équerre
Pour un triangle ABC rectangle en A avec AB = 5 cm et AC = 3 cm : 1) trace [AB] de 5 cm ; 2) place l’angle droit de l’équerre sur le point A, un côté de l’équerre le long de [AB] ; 3) trace une demi-droite le long de l’autre côté de l’équerre ; 4) place C sur cette demi-droite à 3 cm de A ; 5) trace [BC].
Pour un triangle ABC rectangle en A avec AB = 5 cm et AC = 3 cm : 1) trace [AB] de 5 cm ; 2) place l’angle droit de l’équerre sur le point A, un côté de l’équerre le long de [AB] ; 3) trace une demi-droite le long de l’autre côté de l’équerre ; 4) place C sur cette demi-droite à 3 cm de A ; 5) trace [BC].
Construire un triangle équilatéral de côté 4 cm
Trace [AB] de 4 cm. Avec le même écartement de compas (4 cm), trace un arc de centre A et un arc de centre B. Leur intersection est le point C, qui est à 4 cm de A et à 4 cm de B. Trace [AC] et [BC].
Trace [AB] de 4 cm. Avec le même écartement de compas (4 cm), trace un arc de centre A et un arc de centre B. Leur intersection est le point C, qui est à 4 cm de A et à 4 cm de B. Trace [AC] et [BC].
Construire un triangle isocèle de sommet A, AB = AC = 5 cm et BC = 6 cm
Trace d’abord la base [BC] de 6 cm. Avec le compas écarté de 5 cm, trace un arc de centre B, puis un arc de centre C. Leur intersection est le sommet A. Trace [AB] et [AC] : les deux côtés égaux mesurent bien 5 cm.
Trace d’abord la base [BC] de 6 cm. Avec le compas écarté de 5 cm, trace un arc de centre B, puis un arc de centre C. Leur intersection est le sommet A. Trace [AB] et [AC] : les deux côtés égaux mesurent bien 5 cm.
À retenir
- Une droite (AB) n’a pas de fin, une demi-droite [AB) a une origine, un segment [AB] a deux extrémités et une longueur AB.
- Le milieu I de [AB] vérifie IA = IB ; la distance AB est le plus court chemin de A à B, et AB ≤ AC + CB.
- Un cercle est l’ensemble des points à la même distance (le rayon) de son centre ; le diamètre est le double du rayon.
- Un angle se mesure en degrés avec un rapporteur : aigu (moins de 90°), droit (90°), obtus (entre 90° et 180°), plat (180°).
- Triangle isocèle : deux côtés égaux ; équilatéral : trois côtés égaux et trois angles de 60° ; rectangle : un angle droit.
- Pour construire un triangle on utilise le compas pour reporter les longueurs : le sommet est à l’intersection de deux arcs.