En 3ème, tu as déjà rencontré les translations. En 2de, on leur donne un outil puissant : le vecteur. Un vecteur décrit un déplacement : dans quelle direction, dans quel sens et de combien. Avec lui, on démontre des parallélismes, des alignements et des parallélogrammes sans jamais mesurer, juste en calculant. Ce chapitre se déroule en deux temps : d’abord la géométrie « pure », ensuite le calcul avec des coordonnées.
1. Translation et vecteur
Une translation « fait glisser » toute la figure sans la tourner ni la déformer. Elle est entièrement définie par un départ A et une arrivée B : elle envoie A sur B. À chaque point M elle associe le point M′ tel que [AM′] et [BM] ont le même milieu, c’est-à-dire tel que ABM′M soit un parallélogramme (éventuellement aplati).
Le vecteur AB⃗ est l’objet qui décrit le déplacement de A vers B. Il est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite (AB) ;
- son sens : de A vers B ;
- sa norme, notée ‖AB⃗‖, qui est la longueur AB.
A est l’origine et B l’extrémité. Le vecteur nul 0⃗ correspond à un déplacement qui ne bouge rien : AA⃗ = 0⃗.
Sur la figure, la translation envoie A sur A′, B sur B′ et C sur C′. Les trois flèches en pointillés sont « les mêmes » : même direction, même sens, même longueur. On dit que ce sont des représentants du même vecteur, que l’on peut noter AA′⃗, BB′⃗ ou encore u⃗.
AB⃗ et BA⃗ n’ont pas le même sens : ce sont des vecteurs opposés. On écrit BA⃗ = −AB⃗. En revanche ils ont la même norme : AB = BA.
Une translation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme, l’alignement et les aires. L’image d’une droite est une droite parallèle, l’image d’un segment est un segment de même longueur, l’image d’un triangle est un triangle superposable.
2. Égalité de vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Un vecteur a donc une infinité de représentants : on peut le tracer à partir de n’importe quel point.
Pour quatre points A, B, C, D :
AB⃗ = CD⃗ ⇔ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)
⇔ les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
Dans AB⃗ = CD⃗, le parallélogramme s’écrit ABDC et non ABCD : on lit les sommets A, B, puis D (extrémité du second vecteur), puis C. Pour retrouver le bon ordre, dessine la figure : les deux flèches égales sont deux côtés opposés parallèles et de même sens. Dans le parallélogramme ABCD, c’est AB⃗ = DC⃗ qui est vrai.
ABCD est un parallélogramme. Alors AB⃗ = DC⃗ et AD⃗ = BC⃗. Mais AB⃗ ≠ CD⃗ : ce sont des vecteurs opposés, CD⃗ = −AB⃗. Les diagonales AC⃗ et BD⃗ n’ont ni la même direction ni la même norme : elles ne sont pas égales.
Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si AI⃗ = IB⃗, ce qui équivaut à AB⃗ = 2AI⃗ ou à AI⃗ = 12AB⃗.
3. Somme de vecteurs et relation de Chasles
Appliquer la translation de vecteur u⃗ puis celle de vecteur v⃗ revient à appliquer une seule translation : celle de vecteur u⃗ + v⃗. Pour la construire, on place v⃗ à la suite de u⃗.
Pour tous points A, B et C : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
L’extrémité du premier vecteur doit être l’origine du second ; on « saute » alors le point intermédiaire.
Si ABCD est un parallélogramme, alors AB⃗ + AD⃗ = AC⃗. Plus généralement, deux vecteurs de même origine A donnent leur somme par la diagonale du parallélogramme qu’ils construisent.
- u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗ (commutativité) ; (u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗) ;
- u⃗ + 0⃗ = u⃗ ; AB⃗ + BA⃗ = AA⃗ = 0⃗ ;
- la différence u⃗ − v⃗ est la somme de u⃗ et de l’opposé de v⃗ : AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗ = CB⃗.
- Remplace chaque soustraction par l’ajout de l’opposé : −CB⃗ devient BC⃗.
- Réordonne si besoin les vecteurs (la somme est commutative) pour les enchaîner : l’extrémité de l’un est l’origine du suivant.
- Applique Chasles pas à pas, puis conclus avec le vecteur « du premier départ au dernier arrivé ».
Simplifier E = AB⃗ − CB⃗ + CD⃗.
E = AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ (car −CB⃗ = BC⃗) = AC⃗ + CD⃗ = AD⃗.
4. Multiplication d’un vecteur par un réel
Soit u⃗ un vecteur non nul et k un réel non nul. Le vecteur ku⃗ a :
- la même direction que u⃗ ;
- le même sens que u⃗ si k > 0, le sens contraire si k < 0 ;
- pour norme ‖ku⃗‖ = |k| × ‖u⃗‖.
Si k = 0 ou si u⃗ = 0⃗, alors ku⃗ = 0⃗.
Pour tous réels k et k′ et tous vecteurs u⃗ et v⃗ :
- k(u⃗ + v⃗) = ku⃗ + kv⃗ ;
- (k + k′)u⃗ = ku⃗ + k′u⃗ ;
- k(k′u⃗) = (kk′)u⃗ ;
- (−1)u⃗ = −u⃗.
On calcule donc avec les vecteurs presque comme avec des nombres : on développe et on réduit.
Réduire 3(u⃗ − 2v⃗) − 2(2u⃗ − v⃗).
= 3u⃗ − 6v⃗ − 4u⃗ + 2v⃗ = −u⃗ − 4v⃗.
Écrire AI⃗ = 12AB⃗ ou AB⃗ = 3AK⃗ traduit en une seule égalité une information de longueur, de direction et de sens : c’est ce qui rend les vecteurs si efficaces.
5. Repère et coordonnées
Un repère (O ; I, J) du plan est formé d’une origine O et de deux points I et J non alignés avec O. On pose i⃗ = OI⃗ et j⃗ = OJ⃗ : le couple (i⃗, j⃗) est la base du repère. Le repère est orthonormé si OIJ est un triangle rectangle isocèle en O avec OI = OJ = 1 (axes perpendiculaires et même unité).
Tout vecteur u⃗ s’écrit de façon unique u⃗ = xi⃗ + yj⃗. Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de u⃗ : on note u⃗(x ; y). Le point M(x ; y) a pour coordonnées celles du vecteur OM⃗.
Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB), u⃗(x ; y), v⃗(x′ ; y′) et k un réel.
- AB⃗(xB − xA ; yB − yA) : « arrivée moins départ » ;
- u⃗ = v⃗ ⇔ x = x′ et y = y′ ;
- u⃗ + v⃗(x + x′ ; y + y′) ;
- ku⃗(kx ; ky) ;
- le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2) ;
- dans un repère orthonormé : ‖u⃗‖ = √(x² + y²), donc AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
A(1 ; 1) et B(5 ; 4). Alors AB⃗(5 − 1 ; 4 − 1) = (4 ; 3). Le repère est orthonormé, donc AB = √(4² + 3²) = √25 = 5. Le milieu de [AB] est (3 ; 2,5).
1) Ne confonds pas « arrivée − départ » avec « départ − arrivée » : BA⃗ a les coordonnées opposées de celles de AB⃗. 2) La formule de la norme n’est valable que dans un repère orthonormé. 3) Les coordonnées d’un milieu s’ajoutent avant de diviser par 2 ; celles d’un vecteur se soustraient.
6. Colinéarité
Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’il existe un réel k tel que v⃗ = ku⃗. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Les vecteurs u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − x′y = 0.
Le nombre xy′ − x′y s’appelle le déterminant de u⃗ et v⃗.
Si v⃗ = ku⃗, alors x′ = kx et y′ = ky, donc xy′ − x′y = x(ky) − (kx)y = 0. Réciproquement, supposons xy′ − x′y = 0 avec, par exemple, x ≠ 0. Posons k = x′/x. Alors x′ = kx et, comme xy′ = x′y, on a y′ = x′y/x = ky : on a bien v⃗ = ku⃗. Le cas y ≠ 0 se traite de même.
u⃗(6 ; −4) et v⃗(−9 ; 6) : 6 × 6 − (−9) × (−4) = 36 − 36 = 0, donc colinéaires (on a v⃗ = −1,5u⃗).
u⃗(6 ; −4) et w⃗(3 ; 1) : 6 × 1 − 3 × (−4) = 6 + 12 = 18 ≠ 0, donc non colinéaires.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ AB⃗ et CD⃗ sont colinéaires.
- Les points A, B et C sont alignés ⇔ AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires.
- Calcule les coordonnées de deux vecteurs : AB⃗ et AC⃗ (alignement) ou AB⃗ et CD⃗ (parallélisme).
- Calcule le déterminant xy′ − x′y.
- S’il vaut 0 : conclus (« les vecteurs sont colinéaires donc… »). Sinon, la conclusion est contraire.
7. Parallélogrammes et milieux avec les coordonnées
Pour quatre points A, B, C, D :
- ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ⇔ AB⃗ = DC⃗ ;
- ⇔ les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu ;
- ⇔ AD⃗ = BC⃗.
On cherche D(x ; y) tel que ABCD soit un parallélogramme, avec A, B, C connus.
- Traduis : AB⃗ = DC⃗.
- Calcule les coordonnées de AB⃗ (nombres) et de DC⃗ (en fonction de x et y : xC − x ; yC − y).
- Écris l’égalité des deux coordonnées, résous deux petites équations.
- Vérifie en calculant le milieu de [AC] et celui de [BD].
A(−2 ; 1), B(3 ; 2), C(5 ; 6). AB⃗(5 ; 1). Soit D(x ; y) : DC⃗(5 − x ; 6 − y). Alors 5 − x = 5 et 6 − y = 1, donc x = 0 et y = 5 : D(0 ; 5).
Contrôle : le milieu de [AC] est (1,5 ; 3,5) et celui de [BD] est (1,5 ; 3,5). ✔
Pour ABCD, la formule directe est D = A + C − B, soit xD = xA + xC − xB et yD = yA + yC − yB. Elle vient de l’égalité des milieux. Utilise-la pour vérifier ton résultat.
8. Démontrer avec des vecteurs : le raisonnement
Dans une figure sans coordonnées, on choisit deux vecteurs « de base », par exemple u⃗ = AB⃗ et v⃗ = AC⃗ dans un triangle ABC, et on exprime tous les autres vecteurs à partir d’eux grâce à Chasles et à la multiplication par un réel.
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [BC]. Montrons que AI⃗ = 12(AB⃗ + AC⃗).
AI⃗ = AB⃗ + BI⃗ (Chasles) = AB⃗ + 12BC⃗ (I milieu de [BC]) = AB⃗ + 12(BA⃗ + AC⃗) (Chasles) = AB⃗ − 12AB⃗ + 12AC⃗ = 12AB⃗ + 12AC⃗. ∎
- Exprime les deux vecteurs concernés en fonction des mêmes vecteurs de base.
- Si l’un s’écrit comme k fois l’autre, ils sont colinéaires.
- Conclus sur le parallélisme (droites) ou l’alignement (points qui partagent un point commun).
Bip ! Avant de te lancer dans un calcul de coordonnées, demande-toi : « est-ce que Chasles suffit ? » Souvent, une ligne de calcul vectoriel remplace dix lignes de racines carrées.
À retenir
- Un vecteur AB⃗ a une direction, un sens et une norme AB ; BA⃗ = −AB⃗.
- AB⃗ = CD⃗ ⇔ ABDC est un parallélogramme ⇔ [AD] et [BC] ont le même milieu.
- Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ ; règle du parallélogramme : AB⃗ + AD⃗ = AC⃗ si ABCD est un parallélogramme.
- ku⃗ : même direction, norme |k| × ‖u⃗‖, même sens si k > 0, sens contraire si k < 0.
- Coordonnées : AB⃗(xB − xA ; yB − yA) ; u⃗ + v⃗(x + x′ ; y + y′) ; ku⃗(kx ; ky).
- Milieu : moyenne des coordonnées ; norme (repère orthonormé) : √(x² + y²).
- Colinéarité : xy′ − x′y = 0 ; (AB) // (CD) ⇔ AB⃗ et CD⃗ colinéaires ; A, B, C alignés ⇔ AB⃗ et AC⃗ colinéaires.
- ABCD parallélogramme ⇔ AB⃗ = DC⃗ ⇔ mêmes milieux pour [AC] et [BD] ; D = A + C − B.