Une fonction, c’est une machine à transformer les nombres : tu lui donnes un nombre, elle t’en renvoie un autre, toujours le même pour le même nombre de départ. Les fonctions servent à décrire une aire qui change quand on déplace un point, un prix qui dépend d’une durée, une température qui évolue au cours de la journée. En 2de, tu apprends à les manipuler avec précision : leur ensemble de définition, leurs images et leurs antécédents, leur courbe, la résolution graphique d’équations et d’inéquations, puis les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) et la parité.
Un intervalle est noté avec des crochets : [2 ; 5] contient 2 et 5 ; ]2 ; 5[ ne les contient pas ; ]−∞ ; 3] va de « très négatif » jusqu’à 3 inclus. Les crochets sont toujours tournés vers l’intérieur de l’intervalle quand le nombre est inclus, vers l’extérieur sinon. ℝ désigne l’ensemble de tous les nombres réels et ℝ* l’ensemble des réels privés de 0. Le symbole ∪ signifie « réunion » : ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ est l’ensemble des réels différents de 0.
1. Qu’est-ce qu’une fonction ?
Soit D une partie de ℝ. Une fonction f définie sur D associe à chaque nombre x de D un seul nombre réel, noté f(x). On écrit f : x ↦ f(x). Le nombre x est la variable ; le nombre f(x) est l’image de x par f.
Une fonction peut être donnée de trois façons : par une formule (f(x) = 3x² − 1), par un tableau de valeurs, ou par une courbe. Voici un tableau de valeurs de la fonction f définie par f(x) = 2x² − 1 :
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 7 | 1 | −1 | 1 | 7 |
Ici, 7 est l’image de 2 et aussi l’image de −2 : deux nombres différents peuvent avoir la même image. En revanche, un nombre x ne peut jamais avoir deux images différentes : c’est ce qui fait de f une fonction.
Un carré de côté x cm a pour aire A(x) = x² (en cm²). Pour un côté de 3 cm, l’aire est A(3) = 9 cm². La fonction A associe à la longueur du côté l’aire du carré. Elle n’a de sens que pour x ≥ 0 : une longueur n’est pas négative.
L’écriture f(x) ne signifie pas « f multiplié par x » ! Elle se lit « f de x » et désigne le résultat obtenu quand on applique la fonction f au nombre x. Calculer f(4), c’est remplacer x par 4 dans la formule, en gardant les parenthèses pour les nombres négatifs : si f(x) = x² + x, alors f(−3) = (−3)² + (−3) = 9 − 3 = 6.
2. Ensemble de définition
L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble Df des nombres réels x pour lesquels f(x) existe. C’est « la liste des nombres que la machine accepte ».
Quand la fonction est donnée par une formule, il faut surveiller deux interdits :
- on ne divise jamais par 0 : le dénominateur doit être différent de 0 ;
- on ne prend pas la racine carrée d’un nombre négatif : ce qui est sous le radical doit être positif ou nul.
- Repère les divisions et les racines carrées dans la formule.
- Écris la condition : « dénominateur ≠ 0 » ou « expression sous la racine ≥ 0 ».
- Résous cette condition.
- Conclus avec une phrase et un intervalle ou « ℝ privé de … ».
• f(x) = 3x−4 : le dénominateur s’annule pour x = 4. Donc Df = ℝ \ {4} = ]−∞ ; 4[ ∪ ]4 ; +∞[.
• g(x) = √(2x + 6) : il faut 2x + 6 ≥ 0, c’est-à-dire 2x ≥ −6, donc x ≥ −3. Donc Dg = [−3 ; +∞[.
• h(x) = 5x² − x + 7 : aucune division, aucune racine. Donc Dh = ℝ.
Dans un problème concret, l’ensemble de définition est parfois plus petit que ce que la formule autorise. Si x est la largeur d’un rectangle de périmètre 20 cm, son aire x(10 − x) est calculable pour tout réel x, mais la situation impose 0 ≤ x ≤ 10 : on travaille sur [0 ; 10].
3. Image et antécédent
Si y = f(x), on dit que y est l’image de x par f et que x est un antécédent de y par f. Un nombre de D a une seule image, mais un nombre y peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
- Image de a : on calcule f(a) en remplaçant x par a.
- Antécédents de k : on résout l’équation f(x) = k ; chaque solution appartenant à Df est un antécédent.
Soit f(x) = −x² + 2x + 3 sur [−2 ; 4].
Image de 2 : f(2) = −4 + 4 + 3 = 3. Image de −1 : f(−1) = −1 − 2 + 3 = 0.
Antécédents de 3 : on résout −x² + 2x + 3 = 3, soit −x² + 2x = 0, soit x(−x + 2) = 0. Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul : x = 0 ou x = 2. Le nombre 3 a donc deux antécédents : 0 et 2.
4. Courbe représentative
Dans un repère, la courbe représentative Cf d’une fonction f est l’ensemble des points M(x ; f(x)) où x décrit Df. On dit que Cf a pour équation y = f(x).
Un point M(a ; b) appartient à Cf si et seulement si a ∈ Df et b = f(a).
- Image de a : on part de a sur l’axe horizontal, on monte (ou on descend) jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée du point trouvé.
- Antécédents de k : on trace la droite horizontale d’ordonnée k ; les abscisses de ses points communs avec la courbe sont les antécédents de k.
Sur la figure, la droite y = 3 coupe la courbe en A(2 ; 3) et B(0 ; 3) : les antécédents de 3 sont bien 0 et 2, comme on l’a trouvé par le calcul.
Pour la même fonction f : le point P(4 ; −5) appartient à Cf car f(4) = −16 + 8 + 3 = −5. Le point Q(3 ; 2) n’y appartient pas car f(3) = −9 + 6 + 3 = 0 et 0 ≠ 2.
- Dresse un tableau de valeurs avec quelques valeurs de x bien choisies dans Df.
- Place les points (x ; f(x)) dans un repère bien gradué.
- Relie-les par une courbe régulière, sans angle ni coup de crayon brusque (sauf si la fonction le justifie).
Plus tu places de points, plus ta courbe est fiable !
5. Résoudre graphiquement équations et inéquations
- Résoudre f(x) = k : abscisses des points communs de Cf et de la droite horizontale y = k.
- Résoudre f(x) < k (ou ≤) : abscisses des points de Cf situés strictement en dessous (ou en dessous ou sur) de la droite y = k.
- Résoudre f(x) = g(x) : abscisses des points communs de Cf et de Cg.
- Résoudre f(x) > g(x) (ou ≥) : abscisses des points où Cf est strictement au-dessus (ou au-dessus ou sur) de Cg.
Avec f(x) = −x² + 2x + 3 sur [−2 ; 4] et g(x) = x + 1 :
- f(x) = 3 : on lit S = {0 ; 2}.
- f(x) ≥ 0 : la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses entre −1 et 3 ; S = [−1 ; 3].
- f(x) = g(x) : les courbes se coupent en E(−1 ; 0) et F(2 ; 3) ; S = {−1 ; 2}.
- f(x) > g(x) : Cf est au-dessus de Cg entre les deux points d’intersection (segment orange) ; S = ]−1 ; 2[.
1) Une lecture graphique donne des valeurs approchées, sauf si on les confirme par le calcul (ici on peut vérifier : f(−1) = 0 = g(−1)). 2) Les solutions d’une inéquation sont des abscisses (valeurs de x), pas des ordonnées. 3) Avec une inégalité stricte, les crochets sont tournés vers l’extérieur ; avec une inégalité large, vers l’intérieur. 4) Pense à rédiger : « par lecture graphique, l’ensemble des solutions est … ».
6. Fonctions affines, linéaires et constantes
Une fonction affine est une fonction définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a et b sont deux réels. Le nombre a est le coefficient directeur (ou pente), le nombre b est l’ordonnée à l’origine. Si b = 0, f(x) = ax est linéaire ; si a = 0, f(x) = b est constante.
La courbe d’une fonction affine est une droite qui passe par le point (0 ; b). Pour deux points distincts A(xA ; yA) et B(xB ; yB) de cette droite : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA). Si a > 0, f est strictement croissante ; si a < 0, elle est strictement décroissante ; si a = 0, elle est constante.
Démonstration (variations). Soient x1 < x2 deux réels. Alors f(x2) − f(x1) = (ax2 + b) − (ax1 + b) = a(x2 − x1). Comme x2 − x1 > 0, cette différence a le signe de a. Si a > 0, f(x2) > f(x1) : f est croissante ; si a < 0, f(x2) < f(x1) : f est décroissante.
- Calcule a = (différence des ordonnées) ÷ (différence des abscisses).
- Remplace x et y par les coordonnées d’un des points dans y = ax + b et résous pour trouver b.
- Vérifie avec l’autre point.
Exemple : A(1 ; 5) et B(4 ; 11). a = (11 − 5) ÷ (4 − 1) = 2. Puis 5 = 2 × 1 + b donc b = 3. La fonction est f(x) = 2x + 3. Vérification : f(4) = 11 ✓.
Pour f(x) = 2x + 3 : f(x) = 0 ⇔ x = −1,5. Comme a = 2 > 0, f est croissante : négative avant −1,5, positive après.
| x | −∞ | −1,5 | +∞ |
|---|---|---|---|
| 2x + 3 | signe − | 0 | signe + |
Si a < 0, c’est l’inverse : positive avant le zéro, négative après.
7. Les fonctions de référence
Quatre fonctions reviennent tout le temps, il faut connaître leur courbe et leurs propriétés comme ta poche.
| Fonction | Ensemble de définition | Variations | À savoir |
|---|---|---|---|
| Carré : x ↦ x² | ℝ | décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ | Minimum 0 en x = 0 ; toujours ≥ 0 ; courbe = parabole |
| Cube : x ↦ x³ | ℝ | croissante sur ℝ | Passe par (0 ; 0) ; garde le signe de x |
| Inverse : x ↦ 1x | ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ | décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ | Jamais égale à 0 ; courbe = hyperbole |
| Racine carrée : x ↦ √x | [0 ; +∞[ | croissante sur [0 ; +∞[ | Toujours ≥ 0 ; (√x)² = x pour x ≥ 0 |
Les quatre courbes :
- Fonction carré : deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés ; deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire.
- Fonction cube et racine carrée : elles conservent l’ordre (croissantes).
- Fonction inverse : sur ]0 ; +∞[ ou sur ]−∞ ; 0[, elle renverse l’ordre.
Démonstration (l’inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[). Soient 0 < x1 < x2. Alors 1/x₁ − 1/x₂ = (x₂ − x₁) ÷ (x₁x₂) > 0, car le numérateur et le dénominateur sont positifs. Donc 1/x₁ > 1/x₂ : l’ordre est renversé.
On a −2 < 3, et pourtant 1−2 = −0,5 < 13 ≈ 0,33 : l’ordre n’est pas renversé ! Il faut rester d’un même côté de 0. La fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[, mais pas sur leur réunion.
Un dernier tableau pour les positions relatives des courbes de x, x², x³ et √x sur [0 ; +∞[ : la courbe de √x est au-dessus de celle de x quand 0 < x < 1, en dessous quand x > 1 ; la courbe de x² est en dessous de celle de x quand 0 < x < 1, au-dessus quand x > 1. Elles se croisent en x = 0 et en x = 1.
8. Parité d’une fonction
Soit f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0 (si x ∈ D alors −x ∈ D, comme [−5 ; 5] ou ℝ).
- f est paire si, pour tout x de D, f(−x) = f(x).
- f est impaire si, pour tout x de D, f(−x) = −f(x).
- f est paire ⇔ Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- f est impaire ⇔ Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Pourquoi ? Les points M(x ; f(x)) et M′(−x ; f(−x)) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées quand f(−x) = f(x), et par rapport à l’origine quand f(−x) = −f(x).
- Vérifie que D est symétrique par rapport à 0. Sinon, la fonction n’est ni paire ni impaire.
- Calcule f(−x) en remplaçant x par (−x) avec les parenthèses.
- Compare avec f(x) (paire ?) puis avec −f(x) (impaire ?).
- Pour montrer qu’une fonction n’est ni paire ni impaire, donne un contre-exemple : un seul x pour lequel les deux égalités sont fausses.
• f(x) = x⁴ − 5x² sur ℝ : f(−x) = (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x² = f(x). Donc f est paire.
• g(x) = x³ − 2x sur ℝ : g(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −g(x). Donc g est impaire.
• h(x) = x² + x sur ℝ : h(1) = 2 et h(−1) = 0. On a h(−1) ≠ h(1) et h(−1) ≠ −h(1) = −2. Donc h n’est ni paire ni impaire.
Parité des fonctions de référence : le carré est pair ; le cube et l’inverse sont impairs ; la racine carrée n’est ni paire ni impaire, car [0 ; +∞[ n’est pas symétrique par rapport à 0 (−4 n’y est pas, alors que 4 y est). Une fonction impaire définie en 0 vérifie toujours f(0) = 0.
« Pour tester une parité, imagine un miroir : vertical sur l’axe des ordonnées pour une fonction paire, et un demi-tour autour de l’origine pour une fonction impaire. Si la courbe retombe sur elle-même, c’est gagné ! »
À retenir
- Une fonction associe à chaque x de son ensemble de définition Df un seul nombre f(x), l’image de x. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
- Df : pas de division par 0, pas de racine carrée d’un nombre négatif.
- Calculer une image : remplacer x. Trouver les antécédents de k : résoudre f(x) = k.
- M(a ; b) ∈ Cf ⇔ a ∈ Df et b = f(a).
- Résoudre graphiquement : f(x) = k ↔ droite horizontale ; f(x) = g(x) ↔ points communs ; f(x) > g(x) ↔ Cf au-dessus de Cg. Les solutions sont des abscisses.
- f(x) = ax + b : courbe = droite ; croissante si a > 0, décroissante si a < 0 ; a = (yB − yA) ÷ (xB − xA).
- Carré : décroissante puis croissante, minimum 0. Cube : croissante sur ℝ. Inverse : décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (pas sur ℝ*). Racine : définie sur [0 ; +∞[, croissante.
- Paire : f(−x) = f(x), courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Impaire : f(−x) = −f(x), courbe symétrique par rapport à l’origine. Il faut d’abord un ensemble de définition symétrique.