Corrigé du contrôle de maths 2de : Géométrie plane et espace

1 Projeté orthogonal et hauteur / 4 pts

1. (1 pt) BC² = 841 et AB² + AC² = 400 + 441 = 841. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
2. (1 pt) Aire = 12 × 20 × 21 = 210 cm².
3. (1 pt) Aire = 12 × BC × AH donc AH = 42029 ≈ 14,48 cm.
4. (1 pt) ABH est rectangle en H : BH² = AB² − AH² = 400 − (420/29)² donc BH = 40029 ≈ 13,79 cm (on retrouve BH = AB²/BC).

2 Médiatrice / 3 pts

1. (2 pts) Soit I le milieu de [PQ] : IP = 8 cm et MI = 6 cm (I est le projeté de M sur (PQ)). MIP est rectangle en I : MP² = 36 + 64 = 100 donc MP = 10 cm. Comme M est sur la médiatrice, MQ = MP = 10 cm : le cercle de centre M et de rayon 10 cm passe par P et Q.
2. (1 pt) NI² = NP² − IP² = 289 − 64 = 225, donc NI = 15 cm.

3 Trigonométrie / 3 pts

(1 pt) Les angles aigus sont complémentaires : ∠B = 90° − 34° = 56°.

(1 pt) BC est le côté opposé à A et [AB] l’hypoténuse : BC = 12 × sin 34° ≈ 6,7 cm.

(1 pt) AC est adjacent à A : AC = 12 × cos 34° ≈ 9,9 cm.

4 Cylindre et cône / 4 pts

1. (2 pts) Cylindre : π × 4² × 9 = 144π cm³. Cône : 13 × π × 16 × 9 = 48π cm³.
2. (1 pt) 48144 = 13.
3. (1 pt) 144π − 48π = 96π ≈ 301,6 cm³.

5 Pyramide coupée / 3 pts

1. (1,5 pt) k = 820 = 0,4. L’aire de la section est 250 × k² = 250 × 0,16 = 40 cm².
2. (1,5 pt) Grande : 13 × 250 × 20 = 50003 ≈ 1 667 cm³. Petite : k³ × 50003 = 0,064 × 50003 = 3203 ≈ 107 cm³ (on retrouve 13 × 40 × 8 = 3203).

6 Cube et plan (ACGE) / 3 pts

1. (1 pt) ABC est rectangle en B : AC² = 100 + 100 = 200 donc AC = 10√2 ≈ 14,1 cm.
2. (2 pts) (AE) et (CG) sont parallèles et de même longueur 10 : ACGE est un parallélogramme ; (CG) est orthogonale au plan (ABC), donc à (AC) : il a un angle droit, c’est un rectangle de côtés 10√2 et 10. Aire = 10√2 × 10 = 100√2 ≈ 141,4 cm².