1 Lecture graphique / 4 pts
La courbe C ci-dessous représente une fonction f. Les points A(0 ; 1) et B (d’abscisse 1) sont sur C. La tangente en A passe par le point (2 ; −1) et la tangente en B est horizontale.
- Lis f(0) et f ′(0). (1 pt)
- Que vaut f ′(1) ? Justifie. (1 pt)
- Détermine l’équation réduite de la tangente en A. (1 pt)
- Sachant que f(x) = x³3 − x + 1, retrouve f ′(0) et f ′(1) par le calcul. (1 pt)
2 Définition du nombre dérivé / 4 pts
Soit f(x) = 3x² − x.
- Calcule f(2). (0,5 pt)
- Pour h ≠ 0, montre que le taux de variation de f entre 2 et 2 + h vaut 11 + 3h. (2 pts)
- En déduire f ′(2). (0,5 pt)
- Donne l’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2. (1 pt)
3 Calculs de dérivées / 4 pts
Détermine la dérivée de chaque fonction (précise l’intervalle quand c’est nécessaire).
- f(x) = 4x³ − 5x² + 2x − 7 sur ℝ, puis g(x) = 3√x + 1x sur ]0 ; +∞[. (1 pt)
- h(x) = (3x − 1)(x² + 2) sur ℝ. (1 pt)
- k(x) = 2x + 3x − 1 sur ]1 ; +∞[. (1 pt)
- m(x) = (5x − 2)³ sur ℝ. (1 pt)
4 Étude d’une fonction et de ses tangentes / 5 pts
Soit f(x) = x + 4x définie sur ]0 ; +∞[.
- Montre que f ′(x) = x² − 4x². (1 pt)
- Détermine l’équation réduite de la tangente T1 au point d’abscisse 1. (1,5 pt)
- En quel point de la courbe la tangente est-elle horizontale ? Donne son équation. (1 pt)
- Montre que, pour tout x > 0, f(x) − 4 = (x − 2)²x. Que peut-on en déduire pour la position de la courbe par rapport à cette tangente horizontale ? (1,5 pt)
5 Vitesse d’une balle / 3 pts
Une balle est lancée vers le haut. Sa hauteur (en mètres) à l’instant t (en secondes) est h(t) = −5t² + 20t + 1,5, pour 0 ≤ t ≤ 4.
- Calcule la vitesse instantanée h ′(t), puis la vitesse à t = 1. (1 pt)
- À quel instant la vitesse est-elle nulle ? Quelle est alors la hauteur de la balle ? (1 pt)
- Que signifie h ′(3) = −10 ? (1 pt)
