Dérivation : nombre dérivé et tangente : corrigé du contrôle de maths 1ère

1 Lecture graphique / 4 pts

1. f(0) = 1 (ordonnée de A). La tangente en A passe par (0 ; 1) et (2 ; −1), donc f ′(0) = −1 − 12 − 0 = −1. (1 pt)
2. La tangente en B est horizontale, son coefficient directeur est 0 : f ′(1) = 0. (1 pt)
3. y = −1(x − 0) + 1 = −x + 1. (1 pt)
4. f ′(x) = x² − 1, donc f ′(0) = −1 et f ′(1) = 0 : conforme à la lecture. (1 pt)

2 Définition du nombre dérivé / 4 pts

1. f(2) = 12 − 2 = 10. (0,5 pt)
2. f(2 + h) = 3(4 + 4h + h²) − 2 − h = 10 + 11h + 3h² (1 pt). Taux : f(2 + h) − f(2)h = 11h + 3h²h = 11 + 3h (1 pt).
3. Quand h tend vers 0, 11 + 3h tend vers 11 : f ′(2) = 11. (0,5 pt)
4. y = 11(x − 2) + 10 = 11x − 12. (1 pt)

3 Calculs de dérivées / 4 pts

1. f ′(x) = 12x² − 10x + 2 (0,5 pt). g ′(x) = 32√x − 1x² (0,5 pt).
2. u = 3x − 1, u ′ = 3 ; v = x² + 2, v ′ = 2x. h ′(x) = 3(x² + 2) + (3x − 1) × 2x = 3x² + 6 + 6x² − 2x = 9x² − 2x + 6 (1 pt).
3. u ′ = 2, v ′ = 1 : k ′(x) = 2(x − 1) − (2x + 3)(x − 1)² = −5(x − 1)² (1 pt).
4. Composée affine, a = 5 : m ′(x) = 5 × 3(5x − 2)² = 15(5x − 2)² (1 pt).

4 Étude d’une fonction et de ses tangentes / 5 pts

1. f ′(x) = 1 + 4 × (−1x²) = 1 − 4x² = x² − 4x². (1 pt)
2. f(1) = 1 + 4 = 5 ; f ′(1) = 1 − 4 = −3. T₁ : y = −3(x − 1) + 5 = −3x + 8. (1,5 pt)
3. f ′(x) = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 (car x > 0). f(2) = 2 + 2 = 4. Point (2 ; 4), tangente y = 4. (1 pt)
4. f(x) − 4 = x² + 4 − 4xx = (x − 2)²x (0,5 pt). Pour x > 0, ce quotient est positif ou nul (carré divisé par un nombre positif) : la courbe est au-dessus de sa tangente horizontale, qu’elle touche seulement en x = 2. (1 pt)

5 Vitesse d’une balle / 3 pts

1. h ′(t) = −10t + 20. h ′(1) = 10 m/s. (1 pt)
2. −10t + 20 = 0 ⇔ t = 2 s. h(2) = −20 + 40 + 1,5 = 21,5 m (hauteur maximale). (1 pt)
3. À t = 3 s la balle descend à la vitesse de 10 m/s (la vitesse est négative donc la hauteur diminue). (1 pt)

Calculatrice non nécessaire pour ce contrôle.