Produit scalaire : corrigé des exercices de maths 1ère

1 Produit scalaire en coordonnées ★★★

On applique u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′.

1. 3 × 4 + (−2) × 5 = 12 − 10 = 2.
2. (−1) × 2 + 6 × 3 = −2 + 18 = 16.
3. 0 × 5 + 7 × (−1) = −7.
4. 2 × (−3) + (−4) × 1,5 = −6 − 6 = −12.

2 Avec la norme et l’angle ★★★

On utilise u⃗ · v⃗ = 5 × 4 × cos θ = 20 cos θ.

1. 20 × 12 = 10.
2. cos 90° = 0 donc 0 : les vecteurs sont orthogonaux.
3. cos 120° = −12 donc −10.
4. cos 0° = 1 donc 20 (vecteurs colinéaires de même sens).
5. cos 180° = −1 donc −20 (sens contraires).
6. 20 × √22 = 10√2 ≈ 14,14.

3 Dans un carré ★★★

1. Le projeté orthogonal de C sur (AB) est B, et AB⃗ est de même sens que AB⃗. Donc AB⃗ · AC⃗ = AB × AB = 36.
2. (AB) ⊥ (AD), donc le produit scalaire vaut 0.
3. CD⃗ = − AB⃗, donc AB⃗ · CD⃗ = −AB² = −36.
4. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, donc AC⃗ · BD⃗ = 0. (Contrôle avec A(0 ; 0), B(6 ; 0), D(0 ; 6), C(6 ; 6) : AC⃗(6 ; 6) et BD⃗(−6 ; 6), 6 × (−6) + 6 × 6 = 0 ✔.)

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Le produit est aussi nul si les vecteurs sont orthogonaux : (1 ; 0) · (0 ; 1) = 0.
2. Vrai : c’est la symétrie du produit scalaire.
3. Vrai : u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖‖v⃗‖ cos θ, avec des normes strictement positives ; donc cos θ > 0 et θ est aigu.
4. Faux en général : seulement si les vecteurs sont colinéaires de même sens. Contre-exemple : (1 ; 0) et (0 ; 1) donnent √2 et non 2.
5. Vrai : angle nul, cos 0° = 1.

5 Orthogonaux ou non ? ★★★

On calcule le produit scalaire : il doit valoir 0.

1. 2 × 6 + (−3) × 4 = 12 − 12 = 0 : oui.
2. 5 × (−1) + 1 × 5 = 0 : oui.
3. 4 × 3 + 3 × 4 = 24 ≠ 0 : non.
4. 0 × 5 + 3 × 0 = 0 : oui (un vecteur vertical et un vecteur horizontal).

6 Trouver un paramètre ★★★

1. u⃗ · v⃗ = 4m − 6. On résout 4m − 6 = 0, d’où m = 64 = 32.
2. u⃗ · v⃗ = m² − 4 = 0, donc m = 2 ou m = −2. Les deux valeurs conviennent : m = −2 ou m = 2.

7 Règles de calcul ★★★

1. ‖u⃗‖² + 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖² = 9 − 8 + 25 = 26.
2. 9 − 2 × (−4) + 25 = 9 + 8 + 25 = 42.
3. On développe : 2u⃗ · u⃗ − 2u⃗ · v⃗ + v⃗ · u⃗ − v⃗ · v⃗ = 2 × 9 − 2 × (−4) + (−4) − 25 = 18 + 8 − 4 − 25 = −3.

8 Angle d’un triangle ★★★

BA⃗(−4 ; −1) et BC⃗(−2 ; 3).

BA⃗ · BC⃗ = (−4)(−2) + (−1)(3) = 8 − 3 = 5.

‖BA⃗‖ = √17 et ‖BC⃗‖ = √13, donc cos ABC = 5√221 ≈ 0,34.

L’angle ABC mesure donc environ 70,3°.

9 Un triangle rectangle ? ★★★

1. AB⃗(4 ; 2) et AC⃗(−1 ; 2) : AB⃗ · AC⃗ = −4 + 4 = 0. Donc (AB) ⊥ (AC) : ABC est rectangle en A.
2. AB = √(16 + 4) = √20 = 2√5 et AC = √(1 + 4) = √5. Aire = 12 × 2√5 × √5 = 5 unités d’aire.
3. Le centre est le milieu de l’hypoténuse [BC] : (−12 ; 62) soit (−0,5 ; 3). BC = 5 (même ordonnée, abscisses 2 et −3), donc le rayon est 2,5. Contrôle : BC² = 25 = AB² + AC² = 20 + 5 ✔.

10 Al-Kashi : une longueur ★★★

On applique BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos Â.

1. BC² = 49 + 25 − 2 × 7 × 5 × 12 = 74 − 35 = 39. BC = √39 ≈ 6,24.
2. cos 120° = −12, donc BC² = 16 + 36 + 2 × 4 × 6 × 12 = 52 + 24 = 76. BC = √76 = 2√19 ≈ 8,72.

11 Al-Kashi : les angles ★★★

Notons a = 5, b = 6, c = 7 (a opposé à Â, etc.).

cos  = (b² + c² − a²) / (2bc) = (36 + 49 − 25) / 84 = 57, donc  ≈ 44,4°.

cos B̂ = (a² + c² − b²) / (2ac) = (25 + 49 − 36) / 70 = 1935, donc B̂ ≈ 57,1°.

Ĉ = 180° − Â − B̂ ≈ 78,5°. Contrôle : cos Ĉ = (25 + 36 − 49) / 60 = 15, et cos⁻¹(0,2) ≈ 78,5° ✔.

12 Théorème de la médiane ★★★

Première partie. MA² + MB² = 2 MI² + AB²2, soit 25 + 49 = 2 MI² + 32. Donc 2 MI² = 74 − 32 = 42, MI² = 21 et MI = √21 ≈ 4,58.

Seconde partie. Soit I le milieu de [BC], BI = 5. AB² + AC² = 2 AI² + BC²2 donne 49 + 81 = 2 AI² + 50, donc AI² = 40 et AI = 2√10 ≈ 6,32.

13 Produit scalaire avec les trois côtés ★★★

1. AB⃗ · AC⃗ = 12 (AB² + AC² − BC²) = 12 (25 + 64 − 49) = 402 = 20.
2. cos  = 20 / (5 × 8) = 2040 = 12, donc  = 60°.

14 Équation à partir d’un vecteur normal ★★★

M(x ; y) ∈ d ⇔ AM⃗ · n⃗ = 0 avec AM⃗(x − 2 ; y + 1).

3(x − 2) + 4(y + 1) = 0 ⇔ 3x − 6 + 4y + 4 = 0 ⇔ 3x + 4y − 2 = 0. Contrôle avec A : 6 − 4 − 2 = 0 ✔.

Pour B(−2 ; 1) : 3 × (−2) + 4 × 1 − 2 = −6 + 4 − 2 = −4 ≠ 0. B n’appartient pas à d.

15 Droite perpendiculaire ★★★

Un vecteur normal à d est (2 ; −5). Il est un vecteur directeur de la perpendiculaire, donc un vecteur normal de celle-ci est (5 ; 2) (car 5 × 2 + 2 × (−5) = 0).

Équation : 5x + 2y + c = 0. Comme B est sur la droite : 15 + 8 + c = 0, donc c = −23.

La perpendiculaire a pour équation 5x + 2y − 23 = 0.

16 Équation d’un cercle ★★★

1. (x − 2)² + (y + 3)² = 16.
2. x² − 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 16, soit x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0.
3. A : (2 − 2)² + (1 + 3)² = 0 + 16 = 16 ✔, A ∈ (C). B : (5 − 2)² + (0 + 3)² = 9 + 9 = 18 ≠ 16, B ∉ (C).

17 Reconnaître un cercle ★★★

1. (x − 3)² − 9 + (y + 1)² − 1 − 6 = 0, donc (x − 3)² + (y + 1)² = 16 : cercle de centre (3 ; −1) et de rayon 4.
2. (x + 2)² − 4 + y² + 10 = 0, donc (x + 2)² + y² = −6 : impossible, l’ensemble est vide.
3. (x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 + 5 = 0, donc (x − 1)² + (y + 2)² = 0 : le seul point (1 ; −2), pas un cercle.

18 Cercle de diamètre [AB] ★★★

1. M(x ; y) : MA⃗(−1 − x ; 2 − y), MB⃗(5 − x ; −2 − y). Le produit vaut (−1 − x)(5 − x) + (2 − y)(−2 − y) = x² − 4x − 5 + y² − 4 (car (2 − y)(−2 − y) = y² − 4). Équation : x² + y² − 4x − 9 = 0.
2. (x − 2)² + y² = 13 : centre le milieu de [AB], (2 ; 0), rayon √13. Contrôle : AB² = 36 + 16 = 52 et 52/4 = 13 ✔.
3. C : 16 + 4 − 16 − 9 = −5 ≠ 0 : C n’est pas sur le cercle.

19 Tangente à un cercle ★★★

ΩA² = (4 − 1)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25 = 5² : A appartient à (C).

La tangente en A est perpendiculaire au rayon [ΩA]. Donc ΩA⃗(3 ; 4) est un vecteur normal. M(x ; y) est sur la tangente ⇔ AM⃗ · ΩA⃗ = 0 ⇔ 3(x − 4) + 4(y − 6) = 0.

Équation : 3x + 4y − 36 = 0. Contrôle avec A : 12 + 24 − 36 = 0 ✔.

20 Droite et cercle : intersection ★★★

On remplace y par x + 1 : x² + (x + 1)² = 25 ⇔ 2x² + 2x − 24 = 0 ⇔ x² + x − 12 = 0.

Δ = 1 + 48 = 49, donc x = −1−72 = −4 ou x = −1+72 = 3.

Pour x = −4, y = −3 ; pour x = 3, y = 4. Les points d’intersection sont (−4 ; −3) et (3 ; 4). Contrôle : 16 + 9 = 25 ✔ et 9 + 16 = 25 ✔.

21 Orthocentre ★★★

Hauteur issue de C : perpendiculaire à (AB), qui est l’axe des abscisses ; c’est la droite x = 2.

Hauteur issue de A : BC⃗(−4 ; 4) est un vecteur normal, d’où −4x + 4y = 0, soit y = x.

Le point commun vérifie x = 2 et y = x : H(2 ; 2).

Hauteur issue de B : AC⃗(2 ; 4) est normal, donc 2(x − 6) + 4(y − 0) = 0. Pour H : 2 × (−4) + 4 × 2 = −8 + 8 = 0 ✔. Les trois hauteurs sont bien concourantes en H.

22 Lignes de niveau ★★★

1. MA² = x² + y² et MB² = (x − 4)² + y². La différence vaut x² + y² − (x² − 8x + 16 + y²) = 8x − 16. On résout 8x − 16 = 8, d’où x = 3. C’est la droite verticale x = 3 (perpendiculaire à (AB)).
2. MA⃗(−2 − x ; −y) et MB⃗(2 − x ; −y). Produit : (−2 − x)(2 − x) + y² = x² − 4 + y². Donc x² + y² − 4 = 5, soit x² + y² = 9 : le cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 3.

23 Travail d’une force ★★★

W = ‖F⃗‖ × AB × cos θ = 120 × 15 × cos θ = 1800 cos θ.

1. 1800 × cos 30° = 1800 × √32 = 900√3 ≈ 1 558,8 J.
2. 1800 × cos 120° = 1800 × (−12) = −900 J : un travail résistant.
3. cos 90° = 0, donc W = 0 J : la force ne travaille pas.

24 Loi du parallélogramme ★★★

1. On a AC⃗ = AB⃗ + AD⃗ et BD⃗ = AD⃗ − AB⃗. Donc AC² = AB² + 2 AB⃗ · AD⃗ + AD² et BD² = AD² − 2 AB⃗ · AD⃗ + AB². En additionnant, les produits scalaires s’annulent : AC² + BD² = 2 AB² + 2 AD².
2. 100 + BD² = 2 (49 + 25) = 148, d’où BD² = 48 et BD = 4√3 ≈ 6,93.