Suites numériques : exercices de maths 1ère

1 Calculer des termes (formule explicite) ★★★

Calcule les quatre premiers termes (rangs 0 à 3) de chaque suite.

1. u_n = 4n − 3
2. v_n = (−2)ⁿ
3. w_n = 12n+2

Puis calcule u₂₅.

2 Calculer des termes (récurrence) ★★★

Calcule les termes demandés.

1. v₀ = 5 et v_n+1 = 3v_n − 4 : donne v₁, v₂, v₃, v₄.
2. w₀ = 64 et w_n+1 = wₙ2 + 4 : donne w₁, w₂, w₃, w₄.

3 Arithmétique ou non ? ★★★

Pour chaque suite, dis si elle est arithmétique. Justifie, et donne la raison quand c’est le cas.

1. u_n = 5n + 2
2. v_n = n² + 1
3. w₀ = 10 et w_n+1 = w_n − 4
4. t_n = 3 × 2ⁿ

4 Géométrique ou non ? ★★★

Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, donne la raison.

1. 5 ; 10 ; 20 ; 40 ; …
2. 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; …
3. u₀ = 3 et u_n+1 = −2u_n
4. 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; …

5 Terme général d’une suite arithmétique ★★★

1. (u_n) est arithmétique avec u₀ = 7 et r = 4. Écris u_n en fonction de n, puis calcule u₂₅. Pour quel rang u_n = 87 ?
2. (v_n) est arithmétique avec v₁ = −5 et r = 3. Écris v_n en fonction de n et calcule v₁₀.

6 Terme général d’une suite géométrique ★★★

1. (u_n) est géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3. Calcule u₅.
2. (v_n) est géométrique de premier terme v₀ = 500 et de raison 0,8. Calcule v₃.

7 Sens de variation par la différence ★★★

Étudie le sens de variation de chaque suite en calculant u_n+1 − u_n.

1. u_n = 2n² + 3n
2. v_n = 10 − 3n
3. w_n = 5 − n²

8 Lire un nuage de points ★★★

Le nuage ci-dessous représente les premiers termes d’une suite (u_n).

1. Lis graphiquement u₀, u₁ et u₂.
2. Quel semble être le sens de variation de la suite ?
3. La suite semble géométrique : quelle raison proposes-tu ? Donne alors u₇ (arrondi au centième).

9 Une salle de sport ★★★

Une salle de sport demande 40 € d’inscription, puis 25 € par mois. On note u_n le coût total (en euros) après n mois.

1. Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Donne u_n en fonction de n.
2. Quel est le coût après 18 mois ?
3. Avec un budget de 600 €, pendant combien de mois entiers peut-on s’abonner ?

10 Retrouver une suite arithmétique ★★★

(u_n) est une suite arithmétique telle que u₃ = 11 et u₈ = −4. Détermine sa raison, son premier terme u₀, puis u_n en fonction de n et u₂₀.

11 Retrouver une suite géométrique ★★★

(v_n) est une suite géométrique de raison positive telle que v₂ = 12 et v₅ = 96. Détermine la raison, v₀, puis v_n et v₈.

12 Sommes de termes arithmétiques ★★★

Calcule :

1. 1 + 2 + 3 + … + 60
2. 5 + 8 + 11 + … + 62
3. la somme de tous les multiples de 7 compris entre 7 et 700.

13 Sommes de termes géométriques ★★★

Calcule :

1. 1 + 3 + 9 + … + 3⁸
2. 4 + 2 + 1 + 12 + … (7 termes au total, de u₀ = 4 à u₆, raison 0,5)

14 Coefficients multiplicateurs et population ★★★

1. Donne le coefficient multiplicateur d’une hausse de 12 %, d’une baisse de 35 %, d’une hausse de 4,5 %, d’une baisse de 0,5 %.
2. Une ville compte 8 000 habitants et sa population augmente de 2,5 % par an. On note P_n la population après n années. Exprime P_n en fonction de n et calcule P₆ (arrondie à l’unité).

15 Variation des suites géométriques ★★★

Étudie le sens de variation de chaque suite, en justifiant avec le signe du premier terme et la raison.

1. u_n = −4 × 1,5ⁿ
2. v_n = 3 × 0,4ⁿ
3. w_n = 2 × (−0,5)ⁿ

16 Une suite auxiliaire ★★★

On définit u₀ = 3 et u_n+1 = 2u_n − 1. On pose v_n = u_n − 1.

1. Calcule u₁, u₂, u₃.
2. Montre que (v_n) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
3. En déduire v_n puis u_n en fonction de n. Calcule u₄.

17 Variation d’une suite avec un quotient ★★★

Soit u_n = 2n+3n+1 pour n ≥ 0.

1. Calcule u₀, u₁, u₂.
2. Montre que u_n+1 − u_n = −1(n+1)(n+2).
3. En déduire le sens de variation de (u_n).

18 Un plan d’épargne ★★★

Camille épargne 120 € le premier mois, puis 15 € de plus chaque mois que le mois précédent. On note a_n la somme épargnée le n-ième mois (n ≥ 1) et S_n le total épargné au bout de n mois.

1. Quelle est la nature de (a_n) ? Exprime a_n.
2. Calcule S₁₂.
3. À l’aide de la calculatrice ou d’un programme, trouve le nombre minimal de mois pour atteindre 5 000 €.

19 Rebonds d’une balle ★★★

Une balle est lâchée d’une hauteur de 2 m. À chaque rebond, elle remonte à 70 % de la hauteur précédente. On note h_n la hauteur (en mètres) atteinte après le n-ième rebond, avec h₀ = 2.

1. Montre que (h_n) est géométrique et exprime h_n.
2. Calcule h₃.
3. Après combien de rebonds la hauteur passe-t-elle pour la première fois sous 5 cm ? Complète un programme Python qui répond.

20 Un étang de poissons ★★★

Un étang contient 4 000 poissons. Chaque année, 12 % des poissons disparaissent, puis on en ajoute 150. On note u_n le nombre de poissons après n années.

1. Justifie que u_n+1 = 0,88u_n + 150.
2. Calcule u₁ et u₂ (au poisson près).
3. Écris un programme Python qui renvoie la première année où il y a moins de 3 000 poissons. Quelle valeur renvoie-t-il ?

21 Salaire linéaire ou exponentiel ? ★★★

Une entreprise propose deux contrats avec 1 500 € le premier mois de l’année 0. Contrat A : le salaire augmente de 50 € chaque année. Contrat B : il augmente de 3 % chaque année.

1. Exprime le salaire A_n et B_n après n années.
2. Calcule A₅, B₅, A₁₀, B₁₀ (arrondis au centime).
3. À partir de quelle année le contrat B est-il strictement meilleur que le contrat A ?

22 Somme des nombres impairs ★★★

1. Montre que pour tout entier n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².
2. En déduire 1 + 3 + 5 + … + 199.
3. Étudie le sens de variation de la suite w_n = n² − 7n (rangs 0 à 8 représentés ci-dessous) et donne son plus petit terme.