Suites numériques : corrigé des exercices de maths 1ère

1 Calculer des termes (formule explicite) ★★★

1. u₀ = −3 ; u₁ = 1 ; u₂ = 5 ; u₃ = 9.
2. v₀ = 1 ; v₁ = −2 ; v₂ = 4 ; v₃ = −8 (les signes alternent).
3. w₀ = 122 = 6 ; w₁ = 123 = 4 ; w₂ = 124 = 3 ; w₃ = 125 = 2,4.

Enfin u₂₅ = 4 × 25 − 3 = 97.

2 Calculer des termes (récurrence) ★★★

1. v₁ = 3 × 5 − 4 = 11 ; v₂ = 3 × 11 − 4 = 29 ; v₃ = 3 × 29 − 4 = 83 ; v₄ = 3 × 83 − 4 = 245.
2. w₁ = 32 + 4 = 36 ; w₂ = 18 + 4 = 22 ; w₃ = 11 + 4 = 15 ; w₄ = 7,5 + 4 = 11,5.

3 Arithmétique ou non ? ★★★

1. u_n+1 − u_n = 5(n + 1) + 2 − 5n − 2 = 5 : constante, donc arithmétique de raison 5.
2. v₁ − v₀ = 2 − 1 = 1 et v₂ − v₁ = 5 − 2 = 3 : différences différentes, donc non arithmétique.
3. w_n+1 = w_n + (−4) : arithmétique de raison −4.
4. t₀ = 3, t₁ = 6, t₂ = 12 : t₁ − t₀ = 3 et t₂ − t₁ = 6, donc non arithmétique (elle est géométrique de raison 2).

4 Géométrique ou non ? ★★★

1. 10 ÷ 5 = 20 ÷ 10 = 40 ÷ 20 = 2 : géométrique de raison 2.
2. 27 ÷ 81 = 13, 9 ÷ 27 = 13, 3 ÷ 9 = 13 : géométrique de raison 13.
3. u_n+1 = (−2) × u_n : géométrique de raison −2 ; les termes sont 3 ; −6 ; 12 ; −24 ; …
4. On ajoute 3 à chaque fois, mais 5 ÷ 2 ≠ 8 ÷ 5 : non géométrique (elle est arithmétique de raison 3).

5 Terme général d’une suite arithmétique ★★★

1. u_n = 7 + 4n. Donc u₂₅ = 7 + 100 = 107. Pour u_n = 87 : 7 + 4n = 87, 4n = 80, n = 20.
2. Le premier terme est au rang 1 : v_n = v₁ + (n − 1) × 3 = −5 + 3n − 3 = 3n − 8. Donc v₁₀ = 30 − 8 = 22.

6 Terme général d’une suite géométrique ★★★

1. u_n = 2 × 3ⁿ, donc u₅ = 2 × 243 = 486.
2. v_n = 500 × 0,8ⁿ, donc v₃ = 500 × 0,512 = 256.

7 Sens de variation par la différence ★★★

1. u_n+1 − u_n = 2(n + 1)² + 3(n + 1) − 2n² − 3n = 2(2n + 1) + 3 = 4n + 5 > 0 : strictement croissante.
2. v_n+1 − v_n = 10 − 3(n + 1) − 10 + 3n = −3 < 0 : strictement décroissante.
3. w_n+1 − w_n = −(n + 1)² + n² = −2n − 1 < 0 : strictement décroissante.

8 Lire un nuage de points ★★★

1. On lit u₀ = 8, u₁ = 6 et u₂ ≈ 4,5.
2. Les points descendent : la suite semble décroissante (c’est une conjecture, pas une preuve).
3. 68 = 0,75 et 4,56 = 0,75 : on propose q = 0,75, donc u_n = 8 × 0,75ⁿ et u₇ = 8 × 0,75⁷ ≈ 1,07.

9 Une salle de sport ★★★

1. On ajoute 25 € chaque mois : (u_n) est arithmétique de raison 25, avec u₀ = 40. Donc u_n = 40 + 25n.
2. u₁₈ = 40 + 450 = 490 €.
3. On résout 40 + 25n ≤ 600, soit 25n ≤ 560, n ≤ 22,4. Comme n est entier : u₂₂ = 590 ≤ 600 et u₂₃ = 615 > 600. On peut s’abonner 22 mois.

10 Retrouver une suite arithmétique ★★★

Du rang 3 au rang 8, on ajoute 5 fois la raison : u₈ = u₃ + 5r, donc −4 = 11 + 5r et r = −155 = −3.

u₀ = u₃ − 3r = 11 + 9 = 20, donc u_n = 20 − 3n. Vérification : u₈ = 20 − 24 = −4 ✓.

Enfin u₂₀ = 20 − 60 = −40.

11 Retrouver une suite géométrique ★★★

v₅ = v₂ × q³, donc q³ = 9612 = 8. Comme q > 0, q = 2.

v₀ = v₂q² = 124 = 3, donc v_n = 3 × 2ⁿ. Alors v₈ = 3 × 256 = 768.

12 Sommes de termes arithmétiques ★★★

1. 60×612 = 30 × 61 = 1830.
2. Raison 3, u_k = 5 + 3k ; 5 + 3k = 62 donne k = 19, soit 20 termes. Somme = 20 × 5+622 = 10 × 67 = 670.
3. Les multiples sont 7 × 1, 7 × 2, …, 7 × 100 : 100 termes. Somme = 7 × (1 + 2 + … + 100) = 7 × 5050 = 35 350.

13 Sommes de termes géométriques ★★★

1. Raison 3 et 9 termes (de la puissance 0 à la puissance 8) : 1−3⁹1−3 = 1−19683−2 = −19682−2 = 9841.
2. Premier terme 4, raison 0,5, 7 termes : 4 × 1−0,5⁷1−0,5 = 4 × 1−0,00781250,5 = 8 × 0,9921875 = 7,9375.

14 Coefficients multiplicateurs et population ★★★

1. 1 + 12100 = 1,12 ; 1 − 35100 = 0,65 ; 1 + 4,5100 = 1,045 ; 1 − 0,5100 = 0,995.
2. (P_n) est géométrique de raison 1,025 et de premier terme 8 000 : P_n = 8 000 × 1,025ⁿ. Donc P₆ = 8 000 × 1,025⁶ ≈ 9278 habitants.

15 Variation des suites géométriques ★★★

1. Premier terme −4 < 0 et raison 1,5 > 1 : la suite est strictement décroissante (−4 ; −6 ; −9 ; …).
2. Premier terme 3 > 0 et raison 0,4 entre 0 et 1 : la suite est strictement décroissante.
3. Raison négative : w₀ = 2, w₁ = −1, w₂ = 0,5 : les termes changent de signe, la suite n’est ni croissante ni décroissante.

16 Une suite auxiliaire ★★★

1. u₁ = 2 × 3 − 1 = 5 ; u₂ = 2 × 5 − 1 = 9 ; u₃ = 2 × 9 − 1 = 17.
2. v_n+1 = u_n+1 − 1 = 2u_n − 2 = 2(u_n − 1) = 2v_n. Donc (v_n) est géométrique de raison 2, avec v₀ = u₀ − 1 = 2.
3. v_n = 2 × 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹, donc u_n = v_n + 1 = 2ⁿ⁺¹ + 1. Ainsi u₄ = 2⁵ + 1 = 33 (cohérent avec u₃ = 17 et 2 × 17 − 1 = 33).

17 Variation d’une suite avec un quotient ★★★

1. u₀ = 3 ; u₁ = 52 = 2,5 ; u₂ = 73 ≈ 2,33.
2. u_n+1 = 2n+5n+2. On met au même dénominateur : u_n+1 − u_n = (2n+5)(n+1)−(2n+3)(n+2)(n+1)(n+2). Au numérateur : (2n² + 7n + 5) − (2n² + 7n + 6) = −1. D’où le résultat.
3. Pour tout n ≥ 0, (n + 1)(n + 2) > 0, donc u_n+1 − u_n < 0 : la suite est strictement décroissante.

18 Un plan d’épargne ★★★

1. (a_n) est arithmétique de raison 15 et de premier terme a₁ = 120 : a_n = 120 + 15(n − 1) = 105 + 15n.
2. a₁₂ = 105 + 180 = 285. S₁₂ = 12 × 120+2852 = 6 × 405 = 2 430 €.
3. S_n = n × 120+105+15n2 = n(225+15n)2. On calcule : S₁₉ = 19 × 5102 = 19 × 255 = 4 845 < 5 000 et S₂₀ = 20 × 5252 = 5 250 ≥ 5 000. Il faut 20 mois.

19 Rebonds d’une balle ★★★

1. h_n+1 = 0,7 × h_n : géométrique de raison 0,7, donc h_n = 2 × 0,7ⁿ.
2. h₃ = 2 × 0,343 = 0,686 m.
3. Programme :

   def rebonds():
       h = 2
       n = 0
       while h >= 0.05:
           h = 0.7 * h
           n = n + 1
       return n

   Il renvoie 11 : h₁₀ = 2 × 0,7¹⁰ ≈ 0,0565 m ≥ 0,05 m et h₁₁ ≈ 0,0395 m < 0,05 m.

20 Un étang de poissons ★★★

1. Perdre 12 % revient à multiplier par 0,88 ; on ajoute ensuite 150 : u_n+1 = 0,88u_n + 150.
2. u₁ = 0,88 × 4000 + 150 = 3 670 ; u₂ = 0,88 × 3670 + 150 = 3 229,6 + 150 ≈ 3 380.

3. def annee():
       u = 4000
       n = 0
       while u >= 3000:
           u = 0.88 * u + 150
           n = n + 1
       return n

   Valeurs : u₃ ≈ 3 124 et u₄ ≈ 2 899. Le programme renvoie 4.

21 Salaire linéaire ou exponentiel ? ★★★

1. A_n = 1 500 + 50n (arithmétique) et B_n = 1 500 × 1,03ⁿ (géométrique).
2. A₅ = 1 750 ; B₅ ≈ 1738,91 ; A₁₀ = 2 000 ; B₁₀ ≈ 2015,87.
3. Par essais : A₇ = 1 850 et B₇ ≈ 1844,81 ; A₈ = 1 900 et B₈ ≈ 1900,16. Le contrat B devient strictement meilleur à partir de l’année 8.

22 Somme des nombres impairs ★★★

1. Les nombres 1, 3, 5, … forment une suite arithmétique de raison 2 ; la somme comporte n termes, de premier terme 1 et de dernier terme 2n − 1. Donc la somme vaut n × 1+(2n−1)2 = n × 2n2 = n².
2. 199 = 2n − 1 donne n = 100, donc la somme vaut 100² = 10 000.
3. w_n+1 − w_n = (n + 1)² − 7(n + 1) − n² + 7n = 2n − 6. Négative pour n ≤ 2, nulle pour n = 3, positive ensuite : la suite décroît jusqu’au rang 3, vaut autant en 3 et en 4, puis croît. Termes : 0 ; −6 ; −10 ; −12 ; −12 ; −10 ; −6 ; 0 ; 8. Le plus petit terme est −12, atteint aux rangs 3 et 4.