1 Étude d’une fonction polynôme / 5 pts
Soit f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 définie sur [0 ; 5].
- Calcule f ′(x) et montre que f ′(x) = 3(x − 1)(x − 3).
- Étudie le signe de f ′(x) et dresse le tableau de variations de f sur [0 ; 5].
- Donne les extremums locaux de f. Quels sont le maximum et le minimum de f sur [0 ; 5] ? En quelles valeurs de x sont-ils atteints ?
2 Une fonction rationnelle / 3 pts
Soit f(x) = 2x + 8x sur ]0 ; +∞[.
- Montre que f ′(x) = 2(x − 2)(x + 2)x².
- Dresse le tableau de variations de f. Quel est son minimum ?
- Déduis-en que, pour tout x > 0, 2x² − 8x + 8 ≥ 0.
3 Lire la courbe d’une dérivée / 3 pts
On donne ci-dessous la courbe de la dérivée f ′ d’une fonction f dérivable sur [−2 ; 4].
- Dresse le tableau de signes de f ′ sur [−2 ; 4].
- Déduis-en le tableau de variations de f (sans valeurs numériques).
- f admet-elle un extremum local ? Précise sa nature et son abscisse. Que représente le nombre f ′(1) = 4 pour la courbe de f ?
4 Déterminer une fonction / 4 pts
Soit f(x) = ax³ + bx, où a et b sont deux réels. On sait que f admet un extremum local en x = 2 et que f(2) = −16.
- Calcule f ′(x) et traduis les deux informations par un système d’équations. Résous-le.
- Pour la suite, on prend f(x) = x³ − 12x. Dresse le tableau de variations de f sur ℝ et donne ses extremums locaux.
5 Problème d’optimisation / 5 pts
Un artisan veut fabriquer un bac en métal, sans couvercle, à base carrée, de volume 32 dm³. On note x (en dm) le côté de la base, avec x > 0, et h la hauteur. La quantité de métal est l’aire de la base plus celle des quatre faces latérales.
- Exprime h en fonction de x, puis montre que l’aire de métal est S(x) = x² + 128x.
- Montre que S ′(x) = 2(x³ − 64)x².
- Vérifie que x³ − 64 = (x − 4)(x² + 4x + 16) et montre que x² + 4x + 16 > 0 pour tout réel x. Déduis le signe de S ′(x).
- Dresse le tableau de variations de S et conclus : quelles dimensions donnent le moins de métal ? Quelle est alors l’aire de métal ?
