1 Étude d’une fonction polynôme / 5 pts
Barème : a) 1,5 pt ; b) 2 pts ; c) 1,5 pt. Calculatrice non nécessaire.
- (1,5 pt) f ′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3).
- (2 pts) Racines 1 et 3, coefficient 3 > 0 : f ′ > 0 sur [0 ; 1[, f ′ < 0 sur ]1 ; 3[, f ′ > 0 sur ]3 ; 5]. f(0) = 1 ; f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 ; f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 ; f(5) = 125 − 150 + 45 + 1 = 21 :
x 0 1 3 5 f ′(x) + 0 − 0 + f(x) 1 ↗ 5 ↘ 1 ↗ 21 - (1,5 pt) Maximum local 5 en x = 1 ; minimum local 1 en x = 3. Sur [0 ; 5], on compare 1 ; 5 ; 1 ; 21 : le maximum est 21, atteint en x = 5 ; le minimum est 1, atteint en x = 0 et en x = 3.
2 Une fonction rationnelle / 3 pts
Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt.
- (1 pt) f ′(x) = 2 − 8x² = 2x² − 8x² = 2(x² − 4)x² = 2(x − 2)(x + 2)x².
- (1 pt) Sur ]0 ; +∞[, 2(x + 2) > 0 et x² > 0 : f ′ a le signe de x − 2. f(2) = 4 + 4 = 8 :
x 0 2 +∞ f ′(x) − 0 + f(x) ↘ 8 ↗ Le minimum de f est 8, atteint en x = 2.
- (1 pt) D’après b), f(x) ≥ 8, soit 2x + 8x ≥ 8. On multiplie par x > 0 (le sens est conservé) : 2x² + 8 ≥ 8x, donc 2x² − 8x + 8 ≥ 0. (On retrouve 2(x − 2)² ≥ 0.)
3 Lire la courbe d’une dérivée / 3 pts
Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt.
- (1 pt) La courbe coupe l’axe des abscisses en x = −1 et x = 3. Elle est sous l’axe avant −1 et après 3, au-dessus entre les deux :
x −2 −1 3 4 f ′(x) − 0 + 0 − - (1 pt) f est décroissante sur [−2 ; −1], croissante sur [−1 ; 3], décroissante sur [3 ; 4].
- (1 pt) f ′ s’annule en changeant de signe en −1 (− puis +) : minimum local en x = −1. Elle s’annule en 3 en passant de + à − : maximum local en x = 3. f ′(1) = 4 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1.
4 Déterminer une fonction / 4 pts
Barème : a) 2 pts ; b) 2 pts.
- (2 pts) f ′(x) = 3ax² + b. Un extremum local en 2 impose f ′(2) = 0 : 12a + b = 0. Et f(2) = 8a + 2b = −16. De la première, b = −12a ; on remplace : 8a − 24a = −16, donc −16a = −16 et a = 1, puis b = −12.
- (2 pts) f ′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2) : positif sur ]−∞ ; −2[, négatif sur ]−2 ; 2[, positif sur ]2 ; +∞[. f(−2) = −8 + 24 = 16 et f(2) = −16 :
x −∞ −2 2 +∞ f ′(x) + 0 − 0 + f(x) ↗ 16 ↘ −16 ↗ Maximum local 16 en x = −2, minimum local −16 en x = 2 (conforme à l’énoncé).
5 Problème d’optimisation / 5 pts
Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1,5 pt ; d) 1,5 pt. Calculatrice non nécessaire.
- (1 pt) Le volume est x²h = 32, donc h = 32x². L’aire est x² + 4xh = x² + 4x × 32x² = x² + 128x.
- (1 pt) S ′(x) = 2x − 128x² = 2x³ − 128x² = 2(x³ − 64)x².
- (1,5 pt) (x − 4)(x² + 4x + 16) = x³ + 4x² + 16x − 4x² − 16x − 64 = x³ − 64. ✓ Le trinôme x² + 4x + 16 a pour discriminant 16 − 64 = −48 < 0 et un coefficient dominant positif : il est strictement positif. Comme x² > 0, S ′(x) a le signe de x − 4 : négatif sur ]0 ; 4[, positif sur ]4 ; +∞[.
- (1,5 pt) S(4) = 16 + 32 = 48 :
x 0 4 +∞ S ′(x) − 0 + S(x) ↘ 48 ↗ Le minimum est atteint pour x = 4 dm, avec h = 3216 = 2 dm. Le bac qui utilise le moins de métal a une base de 4 dm × 4 dm, une hauteur de 2 dm, et il faut 48 dm² de métal.