Fonction exponentielle : corrigé des exercices de maths 1ère

1 Simplifier des produits et quotients ★★★

1. e³ × e⁻⁵ = e³⁺⁽⁻⁵⁾ = e⁻².
2. (e²)³ = e^2×3 = e⁶.
3. e⁷ / e⁴ = e⁷⁻⁴ = e³.
4. 1 / e⁻² = e⁻⁽⁻²⁾ = e².
5. e^x × e^2x = e^3x.
6. (e^−x)² = e^−2x, puis e^−2x × e^x = e^−x.
7. e^x+1 × e^1−x = e^{(x+1)+(1−x)} = e² : l’expression ne dépend pas de x.

2 Vrai ou faux ? (justifie) ★★★

1. Vrai : exp(0) = 1 par définition.
2. Faux : e^a+b = e^a × e^b. Contre-exemple a = b = 0 : e⁰ = 1 alors que e⁰ + e⁰ = 2.
3. Faux : e^x > 0 pour tout x.
4. Vrai : (e^x)² = e^x × e^x = e^x+x = e^2x.
5. Faux : exp est strictement croissante sur ℝ, donc aussi sur ]−∞ ; 0].
6. Vrai : −3 < −2 et exp est strictement croissante (e⁻³ ≈ 0,050 et e⁻² ≈ 0,135).
7. Vrai : c’est la propriété « la courbe est au-dessus de sa tangente en 0 ».

3 Valeurs approchées à la calculatrice ★★★

a) e^1,5 ≈ 4,482 ; b) e^−0,3 ≈ 0,741 ; c) e^2,5 ≈ 12,182 ; d) e^−1,2 ≈ 0,301 ; e) e^0,1 ≈ 1,105.

Rangement : l’exponentielle est strictement croissante, donc il suffit de ranger les exposants : −1,2 < −0,3 < 0,1 < 1,5 < 2,5. Donc e^−1,2 < e^−0,3 < e^0,1 < e^1,5 < e^2,5, ce qui est cohérent avec les valeurs.

4 Équations avec des exponentielles ★★★

1. e^2x = e⁵ ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 2,5. S = {2,5}.
2. 1 = e⁰, donc e^3x−1 = e⁰ ⇔ 3x − 1 = 0 ⇔ x = 13. S = {13}.
3. e^x² = e^4x−3 ⇔ x² = 4x − 3 ⇔ x² − 4x + 3 = 0. Δ = 16 − 12 = 4, donc x = 4−22 = 1 ou x = 4+22 = 3. S = {1 ; 3}. (Vérification : 1² = 4×1 − 3 ✓ ; 3² = 4×3 − 3 = 9 ✓.)
4. e^x > 0 pour tout x, donc e^x = −2 est impossible. S = ∅.
5. e = e¹, donc e^2x+1 = e¹ ⇔ 2x + 1 = 1 ⇔ x = 0. S = {0}.

5 Inéquations avec des exponentielles ★★★

1. L’exponentielle est strictement croissante : e^x < e⁻² ⇔ x < −2. S = ]−∞ ; −2[.
2. e^−x+1 ≥ e^3x ⇔ −x + 1 ≥ 3x ⇔ 1 ≥ 4x ⇔ x ≤ 14. S = ]−∞ ; 14].
3. 1 = e⁰ : e^2x−3 > e⁰ ⇔ 2x − 3 > 0 ⇔ x > 1,5. S = ]1,5 ; +∞[.
4. e^x > 0 donc e^x + 1 > 1 > 0 pour tout x. S = ℝ.

6 Dériver des fonctions avec e^ax+b ★★★

1. f ′(x) = 3e^3x.
2. f ′(x) = −2e^−2x+1.
3. f ′(x) = 5 × (−0,4) e^−0,4x = −2e^−0,4x.
4. e^x/2 = e^0,5x, donc f ′(x) = 0,5 e^x/2.
5. f ′(x) = 4 − 2e^2x = 4 − 2e^2x.
6. f ′(x) = e^x + 2x.

7 Étudier un signe ★★★

On utilise e^… > 0 : une exponentielle ne change jamais le signe d’un produit.

1. (x − 3)e^x a le signe de x − 3 : négatif pour x < 3, nul en 3, positif pour x > 3.
2. −4e^−x : on multiplie un nombre strictement positif par −4, donc strictement négatif pour tout x.
3. e^x + 1 > 0, donc l’expression a le signe de 2 − x : positive pour x < 2, nulle en 2, négative pour x > 2.
4. x² + 1 ≥ 1 > 0 et e^−2x > 0 : strictement positif pour tout x.

8 Développer et réduire ★★★

1. (e^x + 1)(e^x − 1) = (e^x)² − 1 = e^2x − 1.
2. (e^x + 2)² = (e^x)² + 4e^x + 4 = e^2x + 4e^x + 4.
3. e^xe^−x + e^xe^2x = e⁰ + e^3x = 1 + e^3x.
4. (e^2x)² = e^4x, puis e^4x / e^3x = e^x.

9 Tangentes à des courbes exponentielles ★★★

On applique y = f ′(a)(x − a) + f(a).

1. f(0) = 1, f ′(x) = 2e^2x, f ′(0) = 2. Tangente : y = 2(x − 0) + 1, soit y = 2x + 1.
2. f(1) = e, f ′(1) = e. Tangente : y = e(x − 1) + e = ex − e + e, soit y = ex (elle passe par l’origine).
3. f(12) = e⁰ = 1 ; f ′(x) = 2e^2x−1, donc f ′(12) = 2e⁰ = 2. Tangente : y = 2(x − 12) + 1 = 2x − 1 + 1, soit y = 2x.

10 Retrouver les paramètres sur une courbe ★★★

1. f(0) = A e⁰ = A, et f(0) = 3 d’après le point A : A = 3.
2. f(2) = 3e^2k = 3/e = 3e⁻¹, donc e^2k = e⁻¹ ⇔ 2k = −1 ⇔ k = −0,5. Comme k < 0, f est strictement décroissante : f(x) = 3e^−0,5x.
3. f ′(x) = 3 × (−0,5)e^−0,5x = −1,5e^−0,5x, donc f ′(0) = −1,5. Tangente : y = −1,5x + 3.
4. f(4) = 3e⁻² ≈ 0,406.

11 Étude de f(x) = (x + 1)e^x ★★★

1. f = uv avec u(x) = x + 1, u ′ = 1, v(x) = e^x, v ′ = e^x. Donc f ′(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x.
2. e^x > 0 : f ′(x) a le signe de x + 2, négatif pour x < −2 et positif pour x > −2.

   x	−∞		−2		+∞
   f ′(x)		−	0	+
   f(x)		↘	−e−2	↗

3. Le minimum est f(−2) = (−1)e⁻² = −e⁻² ≈ −0,135.
4. (x + 1)e^x = 0 ⇔ x + 1 = 0 (car e^x ≠ 0) ⇔ x = −1.

12 Étude de f(x) = (2x − 1)e^−x ★★★

1. u(x) = 2x − 1, u ′ = 2, v(x) = e^−x, v ′(x) = −e^−x. f ′(x) = 2e^−x − (2x − 1)e^−x = (2 − 2x + 1)e^−x = (3 − 2x)e^−x.
2. e^−x > 0 : f ′(x) a le signe de 3 − 2x, positif si x < 1,5, négatif si x > 1,5.

   x	−∞		1,5		+∞
   f ′(x)		+	0	−
   f(x)		↗	2e−1,5	↘

3. Maximum : f(1,5) = (3 − 1)e^−1,5 = 2e^−1,5 ≈ 0,446.
4. f(x) ≥ 0 ⇔ 2x − 1 ≥ 0 (car e^−x > 0) ⇔ x ≥ 0,5. S = [0,5 ; +∞[.

13 Équations à factoriser ★★★

1. e^x ≠ 0 donc x − 1 = 0. S = {1}.
2. e^2x − e^x = e^x(e^x − 1) = 0 ⇔ e^x = 1 = e⁰ ⇔ x = 0. S = {0}.
3. x e^x + e^x = (x + 1)e^x = 0 ⇔ x = −1. S = {−1}.
4. e^2x = e^x+3 ⇔ 2x = x + 3 ⇔ x = 3. S = {3}.
5. e^x + 1 > 0 donc le produit est nul ⇔ x − 4 = 0. S = {4}.

14 Démontrer des identités ★★★

1. (e^x − e^−x)² = e^2x − 2e^xe^−x + e^−2x = e^2x − 2 + e^−2x. On ajoute 4 : e^2x + 2 + e^−2x, qui est bien le développement de (e^x + e^−x)². ✓
2. On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction de droite par e^x (non nul) : 1 / (1 + e^−x) = e^x / (e^x + e^xe^−x) = e^x / (e^x + 1). ✓
3. On multiplie par e^x le numérateur et le dénominateur de la fraction de droite : (1 − e^−x)e^x = e^x − 1 et (1 + e^−x)e^x = e^x + 1. On obtient (e^x − 1) / (e^x + 1). ✓

15 Une suite géométrique en disguise ★★★

1. u_n+1 = 3e^−0,2(n+1) = 3e^−0,2n × e^−0,2 = e^−0,2 u_n. La suite est géométrique de raison q = e^−0,2 ≈ 0,819 et de premier terme u₀ = 3.
2. 0 < q < 1 et u₀ > 0 : la suite est strictement décroissante.
3. u₅ = 3e⁻¹ ≈ 1,104.
4. On teste : u₁₇ = 3e^−3,4 ≈ 0,1001 > 0,1 et u₁₈ = 3e^−3,6 ≈ 0,0820 < 0,1. Comme la suite est décroissante, le plus petit entier est n = 18.

16 Culture de bactéries ★★★

1. N(0) = 500e⁰ = 500 bactéries.
2. N(3) = 500e^0,9 ≈ 1230 bactéries.
3. N ′(t) = 500 × 0,3 e^0,3t = 150e^0,3t. N ′(0) = 150 : au départ, la population augmente à la vitesse d’environ 150 bactéries par heure. N ′(t) > 0 : N est croissante.
4. N est strictement croissante. N(9) = 500e^2,7 ≈ 7440 < 10 000 et N(10) = 500e³ ≈ 10043 > 10 000. Le seuil est dépassé au bout de 10 heures.

17 Désintégration d’un échantillon ★★★

1. m(0) = 80 g. Ici k = −0,05 < 0 : décroissance exponentielle (m ′(t) = −4e^−0,05t < 0).
2. m(10) = 80e^−0,5 ≈ 48,52 g.
3. m(13) = 80e^−0,65 ≈ 41,76 > 40 et m(14) = 80e^−0,7 ≈ 39,73 < 40. Comme m est décroissante, le premier entier est 14 jours (la demi-vie est un peu inférieure).

18 Déterminer f(x) = A e^kx avec deux conditions ★★★

1. f(0) = A e⁰ = A, donc A = 5. Puis f ′(x) = A k e^kx et f ′(0) = A k = 5k = −2, donc k = −0,4. Ainsi f(x) = 5e^−0,4x.
2. y = f ′(0)(x − 0) + f(0) = −2x + 5.
3. f(5) = 5e⁻² ≈ 0,677.

19 Conséquences de l’inégalité e^x ≥ x + 1 ★★★

1. On applique l’inégalité au réel −x : e^−x ≥ −x + 1 = 1 − x. ✓
2. Si x < 1, alors 1 − x > 0. De e^−x ≥ 1 − x > 0, on passe aux inverses (qui renversent l’ordre pour des nombres positifs) : 1 / e
   ≤ 11−x, c’est-à-dire e^x ≤ 11−x. ✓
3. Avec x = 1n : e^1/n ≥ 1 + 1n > 0. On élève à la puissance n (la fonction t ↦ tⁿ est croissante sur [0 ; +∞[) : (e^1/n)ⁿ ≥ (1 + 1n)ⁿ. Or (e^1/n)ⁿ = e¹ = e. Donc (1 + 1n)ⁿ ≤ e. Pour n = 10 : 1,1¹⁰ ≈ 2,5937 ≤ e ≈ 2,7183. ✓
4. Avec x = −1n : e^−1/n ≥ 1 − 1n ≥ 0 (car n ≥ 2). En élevant à la puissance n : e⁻¹ ≥ (1 − 1n)ⁿ. Pour n = 10 : 0,9¹⁰ ≈ 0,3487 ≤ e⁻¹ ≈ 0,3679. ✓

20 Les solutions de f ′ = f ★★★

1. φ ′(x) = f ′(x)e^−x + f(x) × (−e^−x) = (f ′(x) − f(x)) e^−x = 0 car f ′ = f. Une fonction dérivable de dérivée nulle sur ℝ est constante : φ est constante, égale à φ(0) = f(0)e⁰ = f(0).
2. Donc f(x)e^−x = f(0) pour tout x ; en multipliant par e^x : f(x) = f(0)e^x. Les solutions de f ′ = f sont donc toutes les fonctions x ↦ C e^x.
3. f(x) = f(0)e^x avec f(0) = −2 : f(x) = −2e^x.
4. g(x) = g(0)e^x, donc g(1) = g(0) × e = e², d’où g(0) = e. Ainsi g(x) = e × e^x = e^x+1. Vérification : g(1) = e² ✓.

21 Une fonction avec un quotient ★★★

1. f = u/v avec u(x) = e^x − 2, u ′ = e^x, v(x) = e^x + 1, v ′ = e^x. Alors f ′(x) = [numérateur] / (e^x + 1)² avec [numérateur] = e^x(e^x + 1) − (e^x − 2)e^x. Numérateur : e^x[(e^x + 1) − (e^x − 2)] = e^x × 3. Donc f ′(x) = 3e^x / (e^x + 1)².
2. Pour tout x, 3e^x > 0 et (e^x + 1)² > 0 : f ′(x) > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ.

   x	−∞		+∞
   f ′(x)		+
   f(x)		↗

   (f(0) = 1−21+1 = −0,5.)

3. 1 − 3 / (e
   +1) = (e
   +1−3) / (e
   +1) = (e
   −2) / (e
   +1) = f(x). ✓ (Cette écriture montre aussi que f(x) < 1 pour tout x.)
4. f(0) = −12 et f ′(0) = 34. Tangente : y = 34x − 12.

22 Fonction « sinus hyperbolique » ★★★

1. f(−x) = (e
   −e
   ) / 2 = −(e
   −e
   ) / 2 = −f(x). La fonction est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
2. f ′(x) = (e
   +e
   ) / 2 (car la dérivée de e^−x est −e^−x). C’est une somme de deux nombres strictement positifs : f ′(x) > 0 et f est strictement croissante sur ℝ.
3. f(x) = 0 ⇔ e^x = e^−x ⇔ x = −x ⇔ x = 0. Comme f est strictement croissante et f(0) = 0 : f(x) < 0 pour x < 0 et f(x) > 0 pour x > 0.
4. (e^x/2 − e^−x/2)² = e^x − 2 + e^−x ≥ 0 (un carré). Donc e^x + e^−x ≥ 2, avec égalité seulement pour x = 0.

23 Étude de f(x) = (x² + x)e^−x ★★★

1. u(x) = x² + x, u ′ = 2x + 1, v = e^−x, v ′ = −e^−x. f ′(x) = (2x + 1)e^−x − (x² + x)e^−x = (−x² + x + 1)e^−x. ✓
2. Δ = 1 + 4 = 5 > 0, racines x₁ = 1−√52 ≈ −0,618 et x₂ = 1+√52 ≈ 1,618. Le trinôme −x² + x + 1 (coefficient de x² négatif) est positif entre les racines et négatif à l’extérieur. Comme e^−x > 0, f ′ a le même signe.
3. f est décroissante sur ]−∞ ; x₁], croissante sur [x₁ ; x₂], décroissante sur [x₂ ; +∞[.

   x	−∞		x1		x2		+∞
   f ′(x)		−	0	+	0	−
   f(x)		↘	−0,438	↗	0,840	↘

   Valeurs : f(x₁) = (2 − √5)e^(√5−1)/2 ≈ −0,438 (minimum local) et f(x₂) = (2 + √5)e^{−(1+√5)/2} ≈ 0,840 (maximum local). (On utilise x² = x + 1 pour les racines, donc x² + x = 2x + 1.)

24 Refroidissement d’une boisson ★★★

1. T(0) = 20 + 60 = 80 °C. T(10) = 20 + 60e⁻¹ ≈ 20 + 22,1 ≈ 42,1 °C.
2. T ′(t) = 60 × (−0,1)e^−0,1t = −6 × e^−0,1t < 0 : T est strictement décroissante. À t = 0, T ′(0) = −6 : la boisson perd environ 6 °C par minute au début.
3. 60e^−0,1t > 0, donc T(t) > 20 : la boisson se rapproche de la température de la pièce sans jamais l’atteindre.
4. T(t) < 30 ⇔ 60e^−0,1t < 10. T(17) ≈ 30,96 > 30 et T(18) = 20 + 60e^−1,8 ≈ 29,92 < 30. La boisson passe sous 30 °C au bout de 18 minutes.