Trigonométrie : corrigé du contrôle de maths 1ère

1 Radians et mesure principale / 3 pts

1. 75 × π180 = 5π12 rad. (1 pt)
2. 7π9 rad = 7 × 20° = 140°. (1 pt)
3. 29π6 − 4π = 5π6, qui est dans ]−π ; π]. −17π4 + 4π = −π4. (1 pt : 0,5 par mesure)

2 Valeurs exactes / 3 pts

Barème : 0,75 pt par valeur.

1. cos 2π3 = cos(π − π3) = −cos π3 = −12.
2. sin 5π4 = sin(π + π4) = −sin π4 = −√22.
3. cos(−5π6) = cos 5π6 = cos(π − π6) = −√32.
4. 11π3 − 4π = −π3, donc sin 11π3 = sin(−π3) = −sin π3 = −√32.

3 Cosinus donné / 3 pts

1. sin² x = 1 − 116 = 1516. Sur [−π2 ; 0], M(x) est dans le demi-plan inférieur, donc sin x ≤ 0 : sin x = −√154. (1,5 pt)
2. cos(π − x) = −cos x = −14 ; sin(π + x) = −sin x = √154 ; cos(π2 − x) = sin x = −√154. (0,5 pt chacune)

4 Équations et inéquation / 4 pts

1. cos x = −√22 = cos 3π4, donc x = ±3π4 + 2kπ. S = {−3π4 ; 3π4}. (1,5 pt)
2. sin x = 12 : x = π6 ou x = π − π6 = 5π6. S = {π6 ; 5π6}. (1,5 pt)
3. cos x = −√32 pour x = ±5π6. Les points d’abscisse supérieure à −√32 forment l’arc contenant I. S = [−5π6 ; 5π6]. (1 pt)

5 Étude d’une fonction / 4 pts

1. g(−x) = 2cos(−x) + 3 = 2cos x + 3 = g(x), et ℝ est symétrique par rapport à 0. (1 pt)
2. g(0) = 5 ; g(π3) = 4 ; g(π) = 1. Le cosinus décroît sur [0 ; π] donc g aussi.

   x	0	π3	π
   g(x)	5	↘ 4	↘ 1

   (1 pt)

3. g(x) = 4 ⇔ cos x = 12 ⇔ x = ±π3. S = {−π3 ; π3}. (1 pt)
4. g(x) ≥ 4 ⇔ cos x ≥ 12 ⇔ x ∈ [−π3 ; π3]. (1 pt)

6 Un jardin en secteur / 3 pts

1. 5π6 rad = 5 × 30° = 150°. (1 pt)
2. ℓ = 12 × 5π6 = 10π ≈ 31,42 m. (1 pt)
3. 𝒜 = 12 × 12² × 5π6 = 60π ≈ 188,5 m². Bordure : 12 + 12 + 10π ≈ 55,42 m. (1 pt : 0,5 + 0,5)