Variables aléatoires et loi binomiale : exercices de maths 1ère

Sommaire

1 Trois lancers de pièce ★★★

On lance trois fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de « Pile » obtenus.

Quelles valeurs X peut-elle prendre ?
Donne la loi de probabilité de X (tableau).
Calcule P(X ≥ 2).
Calcule E(X).

2 Une probabilité manquante ★★★

Une variable aléatoire X a pour loi :

x_i	−2	0	1	4
P(X = x_i)	0,1	a	0,3	0,2

Détermine a, puis calcule E(X).

3 La roue de la fortune ★★★

Une roue est partagée en 8 secteurs égaux : 1 secteur rapporte 10 €, 2 secteurs rapportent 3 €, les 5 autres ne rapportent rien. Participer coûte 2 €. Soit G le gain algébrique (gain moins mise).

Donne la loi de G.
Calcule E(G). Le jeu est-il équitable ?

4 Bernoulli ou pas ? ★★★

Dans chaque cas, dis s’il s’agit d’une épreuve de Bernoulli. Si oui, précise le succès et p.

On lance un dé équilibré ; le succès est « obtenir un 6 ».
On lance un dé équilibré et on note le numéro de la face.
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes ; on regarde si c’est un roi.
On interroge un élève de la classe sur son âge.

5 Coefficients binomiaux ★★★

Calcule : C(6 ; 0), C(7 ; 6), C(5 ; 2), C(8 ; 3), C(10 ; 8). Puis vérifie la relation de Pascal pour n = 6 et k = 2.

6 Vrai ou faux : loi binomiale ? ★★★

Dans chaque situation, X suit-elle une loi binomiale ? Justifie et donne les paramètres si c’est le cas.

On lance 10 fois une pièce équilibrée ; X est le nombre de Face.
Une urne contient 5 boules rouges et 5 noires ; on tire 3 boules sans remise ; X est le nombre de boules rouges.
Même urne, mais on tire 3 boules avec remise ; X est le nombre de boules rouges.
On lance un dé jusqu’à obtenir un 6 ; X est le nombre de lancers.

7 Quatre tirs à l’arc ★★★

Un archer atteint sa cible avec la probabilité 14 à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire 4 flèches. Soit X le nombre de cibles atteintes. Donne la loi de X en fractions, puis calcule P(X = 0) et P(X = 2).

8 Variance et écart-type ★★★

X a pour loi :

x_i	1	2	5	10
P(X = x_i)	0,4	0,3	0,2	0,1

Calcule E(X), V(X) (avec deux méthodes) et σ(X) arrondi au centième.

9 Transformation affine ★★★

On reprend la variable X de l’exercice précédent (E(X) = 3 et V(X) = 7,6). Soit Y = 3X − 2. Calcule E(Y), V(Y) et σ(Y) (arrondi au centième).

10 Loi complète de B(6 ; 0,4) ★★★

X suit la loi binomiale B(6 ; 0,4).

Calcule P(X = k) pour k de 0 à 6 (arrondis au millième).
Vérifie que la somme vaut environ 1.
Calcule E(X) avec la définition de l’espérance, puis avec n p.
Calcule V(X).

11 Boules rouges avec remise ★★★

Un sac contient 3 boules rouges et 7 boules vertes. On tire une boule, on regarde sa couleur et on la remet ; on répète cela 5 fois. Soit X le nombre de boules rouges obtenues.

Justifie que X suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
Calcule P(X = 2) (arrondi au millième).
Calcule P(X ≥ 1).
Calcule P(X ≥ 4).

12 Les fléchettes ★★★

Un joueur atteint le centre d’une cible avec la probabilité 0,6 à chaque lancer, indépendamment. Il lance 8 fléchettes. X est le nombre de centres atteints.

Donne la loi de X.
Calcule P(X = 5).
Calcule P(X ≤ 2).
Calcule P(X ≥ 7).

13 Un questionnaire au hasard ★★★

Un questionnaire comporte 10 questions ; chacune propose 4 réponses dont une seule est exacte. Léo répond au hasard à toutes les questions. X est le nombre de bonnes réponses.

Quelle est la loi de X ? Justifie.
Calcule P(X = 3).
Calcule la probabilité d’avoir au moins une bonne réponse.
Quel est le nombre moyen de bonnes réponses ?

14 Arbre et fractions exactes ★★★

On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès 13. X est le nombre de succès.

Calcule la probabilité de la liste SÉS.
Combien de listes contiennent exactement deux succès ? Donne P(X = 2).
Donne toute la loi de X sous forme de fractions et vérifie que la somme vaut 1.

15 Un jeu de pile ou face truqué ★★★

Une pièce truquée donne Pile avec la probabilité 0,4. Pour jouer, on mise 5 €. On lance la pièce 5 fois ; chaque Pile rapporte 3 €. Soit X le nombre de Pile et G le gain algébrique.

Quelle est la loi de X ?
Exprime G en fonction de X.
Calcule E(G) et V(G). Le jeu est-il favorable au joueur ?

16 Combien de répétitions ? ★★★

On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès 0,2. Quel est le plus petit entier n tel que la probabilité d’obtenir au moins un succès soit supérieure ou égale à 0,99 ?

17 Contrôle qualité ★★★

Dans une usine, 4 % des pièces sont défectueuses. On prélève 50 pièces au hasard (on assimile à un tirage avec remise). X est le nombre de pièces défectueuses.

Donne la loi de X, son espérance et son écart-type (arrondi au centième).
Calcule P(X = 0) puis P(X ≤ 2) (arrondis au millième).
Calcule P(X ≥ 3). L’atelier déclenche une alerte s’il y a au moins 3 pièces défectueuses ; l’alerte est-elle fréquente ?

18 Lire et compléter un programme ★★★

On considère le programme :

from math import comb

def loi(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def esperance(n, p):
    s = 0
    for k in range(n + 1):
        s = s + k * loi(n, p, k)
    return s

Que calcule loi(4, 0.5, 2) ? Donne sa valeur.
Que calcule esperance(4, 0.5) ? Quelle valeur attend-on ?
Écris une fonction au_moins_un(n, p) qui renvoie P(X ≥ 1) en utilisant loi.

19 Une preuve de la relation de Pascal ★★★

Soit n et k deux entiers avec 0 ≤ k ≤ n − 1.

Vérifie la relation C(n ; k) + C(n ; k + 1) = C(n + 1 ; k + 1) pour n = 6 et k = 2.
Démontre-la à l’aide de la formule C(n ; k) = n! ÷ (k! (n − k)!).

20 La surréservation ★★★

Une compagnie vend 52 billets pour un vol de 50 places. Chaque passager vendu se présente à l’embarquement avec la probabilité 0,92, indépendamment des autres. X est le nombre de passagers présents.

Quelle est la loi de X ?
Calcule E(X) et σ(X) (arrondi au centième).
Quelle est la probabilité que des passagers se voient refuser l’embarquement, c’est-à-dire que X ≥ 51 ? (arrondi au millième)

21 Retrouver n et p ★★★

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n ; p) d’espérance 12 et de variance 7,2. Détermine n et p.

22 Une pièce est-elle truquée ? ★★★

On lance 20 fois une pièce équilibrée ; X est le nombre de Pile. X suit B(20 ; 0,5).

Détermine le plus petit entier a tel que P(X ≤ a) > 0,025.
Détermine le plus petit entier b tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975.
Un élève obtient 16 Pile sur 20 lancers. Que peut-il en penser, si on suit la règle « on soupçonne la pièce d’être truquée quand le résultat sort de l’intervalle [a ; b] » ?