Variables aléatoires et loi binomiale : contrôle de maths 1ère

1 Loi d’une variable aléatoire / 5 pts

Une roue de loterie donne un gain algébrique X (en euros) de loi :

1. Détermine a.
2. Calcule E(X).
3. Calcule V(X) puis σ(X) arrondi au centième.
4. On modifie le jeu : le nouveau gain est Y = 2X + 1. Donne E(Y) et V(Y).

2 Reconnaître une loi binomiale / 3 pts

Dans chaque cas, dis si X suit une loi binomiale et, si oui, donne ses paramètres.

1. Une urne contient 4 boules bleues et 6 vertes. On tire 15 boules avec remise ; X est le nombre de boules bleues.
2. Même urne ; on tire 5 boules sans remise ; X est le nombre de boules bleues.
3. Un tireur réussit 70 % de ses tirs ; il tire 12 fois, indépendamment ; X est le nombre de tirs réussis.

3 Coefficients binomiaux / 2 pts

1. Calcule C(8 ; 3) à l’aide de la formule avec les factorielles.
2. Sachant que C(8 ; 4) = 70, déduis-en C(9 ; 4) puis C(9 ; 5).

4 Ampoules défectueuses / 5 pts

Dans une production, 10 % des ampoules sont défectueuses. On prélève un lot de 12 ampoules (assimilé à un tirage avec remise). X est le nombre d’ampoules défectueuses dans le lot.

1. Justifie que X suit B(12 ; 0,1).
2. Calcule P(X = 0), puis P(X = 2) (arrondis au millième).
3. Calcule la probabilité qu’il y ait au moins une ampoule défectueuse.
4. Calcule E(X) et σ(X) (arrondi au centième).

5 Un jeu de dé / 3 pts

Pour jouer, on mise 3 €. On lance 4 fois un dé équilibré ; chaque 6 obtenu rapporte 6 €. Soit X le nombre de 6 obtenus et G le gain algébrique.

1. Donne la loi de X et calcule E(X).
2. Exprime G en fonction de X et calcule E(G).
3. Le jeu est-il favorable au joueur ? Interprète.

6 Simulation en Python / 2 pts

import random

def simul(n, p):
    s = 0
    for i in range(n):
        if random.random() < p:
            s = s + 1
    return s

1. Que représente la valeur renvoyée par simul(20, 0.3) ? Quelle valeur moyenne obtient-on si on répète l’appel un très grand nombre de fois ?
2. On veut estimer P(X ≥ 1) pour X ~ B(20 ; 0,3). Complète : on appelle simul(20, 0.3) N fois et on compte combien de fois le résultat est ______ ; on divise par ______.