Fonctions polynômes du second degré : corrigé des exercices de maths 1ère

1 Reconnaître un trinôme ★★★

1. f est déjà sous forme développée : c’est un trinôme avec a = 3, b = −5, c = 2.
2. g(x) = x² + 4x − x − 4 = x² + 3x − 4 : trinôme, a = 1, b = 3, c = −4.
3. h contient x³ : ce n’est pas une fonction du second degré.
4. k(x) = 4x² − 4x + 1 − 4x² = −4x + 1. Les termes en x² disparaissent : k est affine, pas du second degré.
5. m(x) = −x² + 7 : trinôme avec a = −1, b = 0, c = 7.

2 Développer une forme factorisée ★★★

1. (x − 1)(x + 3) = x² + 3x − x − 3 = x² + 2x − 3, puis f(x) = 2x² + 4x − 6.
2. (x + 2)(x − 5) = x² − 5x + 2x − 10 = x² − 3x − 10. Le signe « − » devant change tous les signes : g(x) = −x² + 3x + 10.
3. (x − 4)² = x² − 8x + 16 (identité remarquable), donc h(x) = 3x² − 24x + 48.

3 Développer une forme canonique ★★★

1. (x − 3)² = x² − 6x + 9 ; × 2 : 2x² − 12x + 18 ; puis + 1 : f(x) = 2x² − 12x + 19.
2. (x + 1)² = x² + 2x + 1 ; le signe « − » donne −x² − 2x − 1 ; puis + 5 : g(x) = −x² − 2x + 4.

4 Lire le sommet et les variations ★★★

On lit α et β dans a(x − α)² + β, en faisant attention au signe de α.

1. α = 2, β = −5 : sommet S(2 ; −5). Comme a = 3 > 0, f est décroissante sur ]−∞ ; 2], croissante sur [2 ; +∞[ et admet un minimum −5, atteint en 2.
2. x + 4 = x − (−4), donc α = −4, β = 7 : sommet S(−4 ; 7). Comme a = −1 < 0, g est croissante sur ]−∞ ; −4], décroissante sur [−4 ; +∞[ et admet un maximum 7, atteint en −4.
3. α = −1, β = −3 : sommet S(−1 ; −3). a = −2 < 0 : h est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; +∞[, maximum −3 atteint en −1.

5 Calculer des discriminants ★★★

1. Δ = (−6)² − 4×1×5 = 36 − 20 = 16 > 0 : deux racines.
2. Δ = 1² − 4×2×3 = 1 − 24 = −23 < 0 : aucune racine.
3. Δ = (−12)² − 4×9×4 = 144 − 144 = 0 : une racine double.
4. Δ = 2² − 4×(−1)×3 = 4 + 12 = 16 > 0 : deux racines.
5. Δ = (−1)² − 4×3×(−2) = 1 + 24 = 25 > 0 : deux racines.

6 Résoudre trois équations ★★★

1. Δ = 16 (exercice précédent), √Δ = 4. x₁ = 6−42 = 1 et x₂ = 6+42 = 5. Solutions : 1 et 5.
2. Δ = (−7)² − 4×2×3 = 49 − 24 = 25, √Δ = 5. x₁ = 7−54 = 12 et x₂ = 7+54 = 3. Solutions : 12 et 3.
3. Δ = 16 − 4×1×5 = 16 − 20 = −4 < 0 : aucune solution réelle.

7 Racines évidentes ★★★

1. a + b + c = 1 − 7 + 6 = 0 : 1 est racine. Le produit des racines vaut ca = 6, donc l’autre racine est 6. Contrôle : 1 + 6 = 7 = −ba ✓.
2. a − b + c = 3 − 5 + 2 = 0 : −1 est racine. Le produit vaut 23, donc l’autre racine est 23 ÷ (−1) = −23. Contrôle de la somme : −1 − 23 = −53 = −53 ✓.

8 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut : il y a un minimum, pas de maximum (la fonction carré tend vers +∞).
2. Faux. x² = −1 est impossible dans ℝ. Δ = 0 − 4 = −4 < 0.
3. Vrai. 2x² − 4x + 2 = 2(x − 1)², un carré multiplié par 2 : toujours positif ou nul (Δ = 0).
4. Faux. Contre-exemple : x² − x − 2 a Δ = 9 > 0 et pour racines −1 et 2, de signes contraires (produit = −2 < 0).
5. Faux. −3(x + 2)² + 1 = −3(x − (−2))² + 1 : α = −2, le sommet est S(−2 ; 1).
6. Vrai. Δ = 36 − 40 = −4 < 0 et a = 1 > 0 : le trinôme est du signe de a, donc strictement positif. (Aussi : x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 > 0.)

9 Lecture graphique d’une parabole ★★★

1. La courbe coupe l’axe des abscisses en x = −1 et x = 3 : les racines sont −1 et 3. Le sommet est S(1 ; 4).
2. La parabole est ouverte vers le bas : a < 0, donc f admet un maximum, égal à 4, atteint en 1.
3. f(x) > 0 quand la courbe est au-dessus de l’axe : ]−1 ; 3[. f(x) ≤ 0 pour x ∈ [−2 ; −1] ∪ [3 ; 4].
4. On regarde où la courbe rencontre la droite horizontale y = 3 : en x = 0 et x = 2 (symétriques par rapport à l’axe x = 1). Solutions : 0 et 2.
5. Comme |a| = 1 et a < 0, a = −1, α = 1, β = 4 : f(x) = −(x − 1)² + 4. Vérification : f(0) = −1 + 4 = 3 ✓ (la courbe passe par (0 ; 3)).

10 Forme canonique de quatre trinômes ★★★

1. α = 82 = 4, β = 16 − 32 + 3 = −13. Forme canonique : (x − 4)² − 13.
2. α = −84 = −2, β = 2×4 − 16 − 1 = −9. Forme canonique : 2(x + 2)² − 9.
3. α = −6−6 = 1, β = −3 + 6 + 4 = 7. Forme canonique : −3(x − 1)² + 7.
4. α = −32, β = 94 − 92 = −94. Forme canonique : (x + 32)² − 94.

Chaque résultat peut être contrôlé en développant : par exemple 2(x + 2)² − 9 = 2x² + 8x + 8 − 9 = 2x² + 8x − 1 ✓.

11 Résoudre quatre équations ★★★

1. Δ = 4 + 12 = 16, √Δ = 4. x₁ = 2−46 = −13 et x₂ = 2+46 = 1.
2. Δ = 4 + 4 = 8 = 4×2, √Δ = 2√2. x₁ = 2−2√22 = 1 − √2 et x₂ = 1 + √2 (≈ −0,41 et 2,41).
3. Δ = 400 − 400 = 0 : solution double x₀ = 208 = 52. (On reconnaît (2x − 5)² = 0.)
4. Δ = 9 − 4×(−2)×(−5) = 9 − 40 = −31 < 0 : aucune solution réelle.

12 Factoriser des trinômes ★★★

1. Δ = 1 + 80 = 81, √Δ = 9. Racines 1−94 = −2 et 1+94 = 52. Donc 2x² − x − 10 = 2(x + 2)(x − 52) = (x + 2)(2x − 5). Vérification : 2x² − 5x + 4x − 10 ✓.
2. Δ = 100 − 100 = 0, racine double 5 : x² − 10x + 25 = (x − 5)².
3. Δ = 144 − 108 = 36, √Δ = 6. Racines −12−6−6 = 3 et −12+6−6 = 1. Donc −3x² + 12x − 9 = −3(x − 1)(x − 3). Vérification : −3(x² − 4x + 3) = −3x² + 12x − 9 ✓.

13 Variations et extremum ★★★

1. α = −8−4 = 2, β = f(2) = −8 + 16 − 3 = 5. Donc f(x) = −2(x − 2)² + 5.
2. a = −2 < 0 : f est croissante sur ]−∞ ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[.

   x	−∞		2		+∞
   f(x)		↗	5	↘

3. Sur [0 ; 3], 2 est dans l’intervalle : le maximum est f(2) = 5. f est croissante sur [0 ; 2] puis décroissante sur [2 ; 3], donc le minimum est la plus petite des valeurs aux bornes : f(0) = −3 et f(3) = −18 + 24 − 3 = 3. Le minimum est −3, atteint en x = 0.

14 Signe de trois trinômes ★★★

1. Δ = 4 + 12 = 16, racines 2−42 = −1 et 2+42 = 3. a = 1 > 0 :

   x	−∞		−1		3		+∞
   x² − 2x − 3		+	0	−	0	+

2. Δ = 16 − 16 = 0, racine double 2. a = −1 < 0 : le trinôme est négatif partout sauf en 2 où il s’annule (−x² + 4x − 4 = −(x − 2)²).

   x	−∞		2		+∞
   −x² + 4x − 4		−	0	−

3. Δ = 1 − 8 = −7 < 0 et a = 2 > 0 : le trinôme est strictement positif pour tout réel x, il ne s’annule jamais.

15 Résoudre des inéquations ★★★

1. Racines 2 et 3 (Δ = 25 − 24 = 1). a = 1 > 0 : positif à l’extérieur des racines. Solution : ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[ (crochets ouverts car l’inégalité est stricte).
2. Δ = 1 + 8 = 9, racines −1−3−4 = 1 et −1+3−4 = −12. a = −2 < 0 : positif entre les racines. Solution : [−12 ; 1].
3. Δ = 4 − 20 = −16 < 0 et a > 0 : le trinôme est toujours strictement positif. Aucune solution : ∅.
4. 3x² ≥ 12 ⇔ 3x² − 12 ≥ 0 ⇔ 3(x² − 4) ≥ 0 ⇔ 3(x − 2)(x + 2) ≥ 0. Racines −2 et 2, a = 3 > 0 : solution ]−∞ ; −2] ∪ [2 ; +∞[.

16 Somme et produit : le rectangle ★★★

1. Le demi-périmètre est 26 ÷ 2 = 13 : longueur + largeur = 13 ; longueur × largeur = 40.
2. Les deux dimensions sont les racines de t² − 13t + 40 = 0. Δ = 169 − 160 = 9, √Δ = 3, t = 13±32, soit t = 5 ou t = 8. Le rectangle mesure 8 cm sur 5 cm (contrôle : 8×5 = 40, 2×(8 + 5) = 26).
3. On résout t² − 13t + 50 = 0 : Δ = 169 − 200 = −31 < 0. Il n’y a pas de solution : un tel rectangle n’existe pas (l’aire maximale à périmètre donné est celle du carré de côté 6,5 cm, soit 42,25 cm²).

17 Retrouver une fonction ★★★

1. Les racines sont −1 et 2, donc f(x) = a(x + 1)(x − 2). La courbe passe par C : f(0) = a×1×(−2) = −2a = 4, donc a = −2 et f(x) = −2(x + 1)(x − 2).
2. (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2, donc f(x) = −2x² + 2x + 4.
3. α = −2−4 = 12 (c’est aussi le milieu de [−1 ; 2]). β = f(12) = −2×14 + 1 + 4 = 92. Le sommet est S(12 ; 92), c’est un maximum puisque a < 0.

18 Deux carrés sur un segment ★★★

1. AM = x et MB = 10 − x. S(x) = x² + (10 − x)² = x² + 100 − 20x + x² = 2x² − 20x + 100.
2. a = 2 > 0 : la fonction admet un minimum en α = 204 = 5, qui est bien dans [0 ; 10]. S(5) = 2×25 − 100 + 100 = 50. Le minimum est 50 cm², quand M est le milieu de [AB] (deux carrés de côté 5 cm).
3. S(x) = 68 ⇔ 2x² − 20x + 32 = 0 ⇔ x² − 10x + 16 = 0. Δ = 100 − 64 = 36, x = 10±62, soit x = 2 ou x = 8. Contrôle : 2² + 8² = 4 + 64 = 68 ✓. M est à 2 cm de A, ou à 8 cm de A (c’est-à-dire à 2 cm de B).

19 Un paramètre dans l’équation ★★★

1. Ici a = 1, b = m, c = 9 : Δ = m² − 36.
2. Une unique solution équivaut à Δ = 0 : m² = 36, donc m = 6 ou m = −6. Pour m = 6, la solution est x₀ = −62 = −3 (et x² + 6x + 9 = (x + 3)²). Pour m = −6, x₀ = 3.
3. Aucune solution : Δ < 0 ⇔ m² < 36 ⇔ −6 < m < 6. Deux solutions : Δ > 0 ⇔ m² > 36 ⇔ m < −6 ou m > 6 (m ∈ ]−∞ ; −6[ ∪ ]6 ; +∞[).
4. x² + 10x + 9 = 0 : Δ = 100 − 36 = 64, √Δ = 8, x = −10±82, soit −1 et −9. Contrôle : produit 9 = c ✓, somme −10 = −m ✓.

20 Équations bicarrées ★★★

1. X² − 10X + 9 = 0 : Δ = 100 − 36 = 64, X = 10±82, soit X = 1 ou X = 9. Les deux sont positifs : x² = 1 donne x = ±1 ; x² = 9 donne x = ±3. S = {−3 ; −1 ; 1 ; 3}.
2. X² + 3X − 4 = 0 : Δ = 9 + 16 = 25, X = −3±52, soit X = 1 ou X = −4. X = −4 est rejeté (un carré ne peut pas être négatif). Il reste x² = 1 : S = {−1 ; 1}.
3. X² + X + 1 = 0 : Δ = 1 − 4 = −3 < 0, pas de valeur de X. Aucune solution réelle (d’ailleurs x⁴ + x² + 1 ≥ 1 > 0).

21 Parabole et droite ★★★

1. On résout x² − 2x − 3 = x + 1, soit x² − 3x − 4 = 0. Δ = 9 + 16 = 25, x = 3±52, donc x = −1 ou x = 4. Ordonnées : y = −1 + 1 = 0 et y = 4 + 1 = 5. Points d’intersection : A(−1 ; 0) et B(4 ; 5). Vérification avec la parabole : (−1)² + 2 − 3 = 0 ✓ ; 16 − 8 − 3 = 5 ✓.
2. Le signe de (x² − 2x − 3) − (x + 1) = x² − 3x − 4 donne la position. Ce trinôme a pour racines −1 et 4 et a = 1 > 0 : il est positif pour x < −1 ou x > 4, négatif entre −1 et 4. Donc (P) est au-dessus de (d) sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]4 ; +∞[ et au-dessous de (d) sur ]−1 ; 4[.
3. x² − 2x − 3 = −4 ⇔ x² − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)² = 0 (Δ = 0) : un seul point commun, S(1 ; −4), qui est le sommet : la droite y = −4 est tangente à (P). Pour y = −5 : x² − 2x + 2 = 0, Δ = 4 − 8 = −4 < 0 : la droite est extérieure (sous le minimum −4).

22 L’enclos de 60 mètres ★★★

1. Les deux côtés perpendiculaires utilisent 2x mètres de grillage. Il reste 60 − 2x pour le côté parallèle au mur. Il faut x > 0 et 60 − 2x > 0, donc 0 < x < 30.
2. A(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x.
3. a = −2 < 0 : maximum en α = −60−4 = 15 (dans ]0 ; 30[). A(15) = 15×30 = 450. L’aire maximale est 450 m², pour un enclos de 15 m sur 30 m.
4. −2x² + 60x = 400 ⇔ −2x² + 60x − 400 = 0 ⇔ x² − 30x + 200 = 0. Δ = 900 − 800 = 100, x = 30±102, soit x = 10 ou x = 20. Deux enclos possibles : 10 m sur 40 m (10×40 = 400), ou 20 m sur 20 m (20×20 = 400).

23 Le lancer de balle ★★★

1. a = −5 < 0 : maximum en t = −20−10 = 2 s. h(2) = −20 + 40 + 1,5 = 21,5. Hauteur maximale : 21,5 m, à t = 2 s.
2. On résout h(t) = 0 : Δ = 400 − 4×(−5)×1,5 = 400 + 30 = 430. t = −20±√430−10. La solution positive est t = −20−√430−10 = 2 + √43010 ≈ 2 + 2,07 = 4,07 (l’autre, 2 − 2,07 ≈ −0,07, est négative : rejetée). La balle touche le sol au bout d’environ 4,07 s.
3. h(t) ≥ 16,5 ⇔ −5t² + 20t − 15 ≥ 0 ⇔ t² − 4t + 3 ≤ 0 (on divise par −5, ce qui renverse l’inégalité). Racines 1 et 3 (Δ = 16 − 12 = 4) ; le trinôme est négatif entre les racines : t ∈ [1 ; 3]. La balle reste à plus de 16,5 m pendant 2 secondes, de t = 1 s à t = 3 s.

24 Le bénéfice d’une entreprise ★★★

1. Δ = 784 − 4×(−2)×(−66) = 784 − 528 = 256, √Δ = 16. Racines −28−16−4 = 11 et −28+16−4 = 3. Donc B(x) = −2(x − 3)(x − 11). (Développement : −2(x² − 14x + 33) = −2x² + 28x − 66 ✓.)
2. B(x) > 0 ⇔ x entre les racines (car a < 0) ⇔ 3 < x < 11 : le bénéfice est positif pour une production comprise entre 300 et 1 100 objets.
3. α = −28−4 = 7 et B(7) = −98 + 196 − 66 = 32. Le bénéfice maximal est de 32 000 €, pour 700 objets.
4. B(x) ≥ 20 ⇔ −2x² + 28x − 86 ≥ 0 ⇔ x² − 14x + 43 ≤ 0. Δ = 196 − 172 = 24, √24 = 2√6 ≈ 4,90, racines 14±2√62 = 7 ± √6 ≈ 4,55 et 9,45. Le trinôme est négatif entre les racines : x ∈ [7 − √6 ; 7 + √6] ≈ [4,55 ; 9,45], soit entre environ 455 et 945 objets.

25 Démontrer des inégalités ★★★

1. Le discriminant est Δ = (−1)² − 4×1×1 = −3 < 0 et a = 1 > 0. Le trinôme est donc du signe de a pour tout réel x : x² − x + 1 > 0.
2. x² − x + 1 > 0 ⇔ x² + 1 > x (on ajoute x aux deux membres). C’est vrai pour tout réel x.
3. x + 1x − 2 = x²+1−2xx = (x−1)²x. Pour x > 0, le numérateur (x − 1)² est positif ou nul et le dénominateur est strictement positif : le quotient est positif ou nul. Donc x + 1x ≥ 2, avec égalité seulement pour x = 1.

26 Combien de solutions selon k ? ★★★

1. α = 42 = 2, β = f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. Comme a = 1 > 0, le minimum de f est −3, atteint en 2.
2. x² − 4x + 1 = k ⇔ x² − 4x + 1 − k = 0. Δ = 16 − 4(1 − k) = 12 + 4k = 4(k + 3).
3. • Si k > −3 : Δ > 0, deux solutions.
   • Si k = −3 : Δ = 0, une solution (x = 2).
   • Si k < −3 : Δ < 0, aucune solution.
   Graphiquement : la droite horizontale d’équation y = k coupe la parabole en deux points si elle est au-dessus du sommet, la touche au sommet S(2 ; −3), et ne la rencontre pas si elle est en dessous.
4. Pour k = 6 : x² − 4x − 5 = 0, Δ = 16 + 20 = 36, x = 4±62, soit x = −1 ou x = 5. Contrôle : f(−1) = 1 + 4 + 1 = 6 ✓ et f(5) = 25 − 20 + 1 = 6 ✓.