Fonctions polynômes du second degré : corrigé du contrôle de maths 1ère

1 Forme canonique et variations / 4 pts

1. α = −12−6 = 2 (0,5 pt) ; β = f(2) = −12 + 24 − 5 = 7 (0,5 pt). Donc f(x) = −3(x − 2)² + 7 (0,5 pt pour l’écriture, 0,5 pt pour la justification ou la vérification : −3(x² − 4x + 4) + 7 = −3x² + 12x − 5 ✓).
2. a = −3 < 0 : f est croissante sur ]−∞ ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[ (0,5 pt). Maximum 7 en x = 2 (0,5 pt).

   x	−∞		2		+∞
   f(x)		↗	7	↘

3. f(x) = −5 ⇔ −3x² + 12x = 0 ⇔ −3x(x − 4) = 0 (0,5 pt) ⇔ x = 0 ou x = 4. Solutions : 0 et 4 (0,5 pt). On retrouve la symétrie par rapport à x = 2.

Barème : a) 2 pts, b) 1 pt, c) 1 pt. Calculatrice autorisée.

2 Trois équations / 3 pts

1. Δ = 9 + 40 = 49, √Δ = 7 (0,5 pt). x₁ = 3−74 = −1 et x₂ = 3+74 = 52 (0,5 pt). Solutions : −1 et 52. (Racine évidente : a − b + c = 2 + 3 − 5 = 0.)
2. Δ = 36 − 36 = 0 (0,5 pt). Solution double x₀ = −618 = −13 (0,5 pt). (On reconnaît (3x + 1)² = 0.)
3. Δ = 1 − 16 = −15 < 0 (0,5 pt) : aucune solution dans ℝ (0,5 pt).

3 Signe et inéquations / 4 pts

1. Δ = 1 + 24 = 25 (0,5 pt), √Δ = 5. Racines −1−5−2 = 3 et −1+5−2 = −2 (1 pt). Factorisation : g(x) = −(x + 2)(x − 3) (0,5 pt). Vérification : −(x² − x − 6) = −x² + x + 6 ✓.
2. Comme a = −1 < 0, g est négative à l’extérieur des racines (0,5 pt) :

   x	−∞		−2		3		+∞
   g(x)		−	0	+	0	−

   Solution de g(x) < 0 : ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[ (0,5 pt).

3. g(x) ≥ 4 ⇔ −x² + x + 2 ≥ 0 (0,5 pt). Δ = 1 + 8 = 9, racines −1−3−2 = 2 et −1+3−2 = −1 ; a = −1 < 0 : positif entre les racines. Solution : [−1 ; 2] (0,5 pt).

Barème : a) 2 pts, b) 1 pt, c) 1 pt.

4 Retrouver une parabole / 3 pts

1. Les racines étant −2 et 1, f(x) = a(x + 2)(x − 1) (0,5 pt). f(0) = a×2×(−1) = −2a = −4, donc a = 2 (0,5 pt). f(x) = 2(x² + x − 2) = 2x² + 2x − 4 (1 pt).
2. α = −24 = −12 (0,5 pt) (milieu de −2 et 1 : −2+12). β = f(−12) = 2×14 − 1 − 4 = −92 (0,5 pt). Sommet : S(−12 ; −92), c’est un minimum puisque a > 0.

5 Équation bicarrée / 2 pts

Avec X = x² : X² − 13X + 36 = 0 (0,5 pt). Δ = 169 − 144 = 25, X = 13±52, soit X = 4 ou X = 9 (0,5 pt). Les deux valeurs sont positives : x² = 4 donne x = ±2 ; x² = 9 donne x = ±3 (0,5 pt). S = {−3 ; −2 ; 2 ; 3} (0,5 pt).

6 Optimiser le bénéfice d’un pâtissier / 4 pts

1. Développons : −40(x − 2)(x − 10) = −40(x² − 12x + 20) = −40x² + 480x − 800 = B(x) ✓ (1 pt). (Ou : Δ = 230 400 − 128 000 = 102 400 = 320², racines 2 et 10.)
2. a = −40 < 0 : B est positive entre les racines (0,5 pt). Donc B(x) > 0 pour 2 < x < 10 : le pâtissier gagne de l’argent s’il vend entre 200 et 1 000 crêpes (0,5 pt).
3. a < 0 : maximum en α = −480−80 = 6 (le milieu des racines 2 et 10) (1 pt). B(6) = −40×36 + 480×6 − 800 = −1 440 + 2 880 − 800 = 640 (0,5 pt). Le bénéfice maximal est de 640 € par jour, obtenu en vendant 600 crêpes (0,5 pt).

Barème : a) 1 pt, b) 1 pt, c) 2 pts. Durée de l’épreuve : 55 minutes. Calculatrice autorisée.