Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.
1 Limites directes / 3 pts
- −2n³ → −∞, donc limn→+∞ un = −∞. (1 pt)
- vn = (4 + 1/n²)/(1 + 3/n) → 4/1 : limn→+∞ vn = 4. (1 pt : factorisation 0,5 + résultat 0,5)
- wn = n(1/√n − 1) ; 1/√n − 1 → −1 et n → +∞ : limn→+∞ wn = −∞. (1 pt)
Barème : 1 pt par question.
2 Indéterminées / 3 pts
- un = (n + 1 + 1/n)/(2 + 3/n) : numérateur → +∞, dénominateur → 2 : limn→+∞ un = +∞. (1,5 pt)
- vn = ((4n² + n) − 4n²)/(√(4n² + n) + 2n) = n/(√(4n² + n) + 2n) = 1/(√(4 + 1/n) + 2) (0,75 pt), qui tend vers 1/(2 + 2) : limn→+∞ vn = 1/4. (0,75 pt)
Barème : a) 1,5 pt ; b) 1,5 pt.
3 Encadrements / 3 pts
- −1 ≤ sin n ≤ 1 donne 4n − 2 ≤ 4n + 2 sin n ≤ 4n + 2 ; on divise par 2n + 1 > 0 (0,5 pt). Les bornes valent (4 − 2/n)/(2 + 1/n) et (4 + 2/n)/(2 + 1/n) : elles tendent vers 2 (0,5 pt). Gendarmes : limn→+∞ un = 2. (0,5 pt)
- cos n ≥ −1 donc wn ≥ n² − 5 (0,5 pt) ; n² − 5 → +∞ ; par comparaison limn→+∞ wn = +∞. (0,5 pt)
Barème : a) 1,5 pt ; b) 1,5 pt (dont 0,5 pour la justification de la comparaison).
4 Suites géométriques / 4 pts
- −1 < −0,5 < 1 donc (−0,5)n → 0 et limn→+∞ an = 4. (1 pt)
- Sn = 3 × (1 − (1/2)n+1)/(1 − 1/2) = 6 × (1 − (1/2)n+1) (1 pt). Comme (1/2)n+1 → 0, limn→+∞ Sn = 6. (1 pt)
- 1,2 > 1 donc 1,2n → +∞ ; le premier terme est négatif : limn→+∞ bn = −∞. (1 pt)
Barème : a) 1 pt ; b) 2 pts ; c) 1 pt.
5 Suite récurrente et seuil / 4 pts
- u1 = 0,6 × 1 + 2 = 2,6 ; u2 = 0,6 × 2,6 + 2 = 3,56. (0,5 pt)
- vn+1 = 0,6un + 2 − 5 = 0,6un − 3 = 0,6(un − 5) = 0,6vn : suite géométrique de raison 0,6, v0 = −4 (1 pt). Donc vn = −4 × 0,6n et un = 5 − 4 × 0,6n. (0,5 pt)
- 0 < 0,6 < 1 donc 0,6n → 0 et limn→+∞ un = 5. (1 pt)
while u <= 4.99: (0,5 pt). Le programme affiche 12 : u_12 = 5 − 4 × 0,612 ≈ 4.9913 > 4,99 et u_11 ≈ 4.9855 ≤ 4,99. (0,5 pt)
Barème : a) 0,5 pt ; b) 1,5 pt ; c) 1 pt ; d) 1 pt. Calculatrice autorisée pour la question d.
6 Convergence monotone / 3 pts
- Initialisation : u0 = 1 ∈ [0 ; 4]. Hérédité : si 0 ≤ un ≤ 4, alors 4 ≤ 3un + 4 ≤ 16, donc 2 ≤ un+1 ≤ 4, d’où 0 ≤ un+1 ≤ 4. (1 pt)
- un+1 − un = (3un + 4 − u_n²)/(√(3un + 4) + un) = (4 − un)(un + 1)/(√(3un + 4) + un) ≥ 0 car 0 ≤ un ≤ 4. (1 pt)
- Croissante et majorée par 4 : convergente vers ℓ (0,5 pt). ℓ = √(3ℓ + 4) ⇒ ℓ² − 3ℓ − 4 = 0 ⇒ (ℓ − 4)(ℓ + 1) = 0 ; ℓ ≥ 0 donc ℓ = 4. (0,5 pt)
Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1 pt. Calculatrice non autorisée pour cet exercice.
