Limites de suites : contrôle de maths Terminale

1 Limites directes / 3 pts

Détermine la limite de chaque suite.

1. u_n = 5 − 2n³
2. v_n = (4n² + 1)/(n² + 3n)
3. w_n = √n − n

2 Indéterminées / 3 pts

Calcule la limite de chaque suite.

1. u_n = (n² + n + 1)/(2n + 3)
2. v_n = √(4n² + n) − 2n

3 Encadrements / 3 pts

a. Soit u_n = (4n + 2 sin n)/(2n + 1). Montre que (4n − 2)/(2n + 1) ≤ u_n ≤ (4n + 2)/(2n + 1) et déduis-en la limite de (u_n).

b. Soit w_n = n² + 5cos(n). Détermine lim_n→+∞ w_n.

4 Suites géométriques / 4 pts

a. Donne la limite de a_n = 4 + 3 × (−0,5)ⁿ.

b. Calcule S_n = 3 + 3/2 + 3/4 + … + 3/2ⁿ et sa limite.

c. Quelle est la limite de b_n = −5 × 1,2ⁿ ?

5 Suite récurrente et seuil / 4 pts

Soit u₀ = 1 et u_n+1 = 0,6 u_n + 2. On pose v_n = u_n − 5.

1. Calcule u₁ et u₂.
2. Montre que (v_n) est géométrique et donne u_n en fonction de n.
3. Quelle est la limite de (u_n) ?
4. Complète : while ...... pour que le programme suivant renvoie le plus petit n tel que u_n > 4,99 :

   n = 0
   u = 1
   while ......:
       u = 0.6 * u + 2
       n = n + 1
   print(n)

   Quelle valeur affiche-t-il ?

6 Convergence monotone / 3 pts

Soit u₀ = 1 et u_n+1 = √(3u_n + 4).

1. Montre par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 4.
2. Montre que (u_n) est croissante.
3. Justifie que (u_n) converge et détermine sa limite.