Loi binomiale : cours de maths Terminale

Sur dix lancers francs, combien de paniers ? Dans un lot de 50 pièces, combien de défectueuses ? Parmi 1 000 personnes interrogées, combien préfèrent la même marque ? Dans chaque cas, on répète la même expérience aléatoire à deux issues et on compte les succès. La loi binomiale est l’outil qui permet de calculer toutes les probabilités associées. En Terminale, tu la maîtrises à fond : formule, calculatrice, Python, espérance et variance, seuils et intervalles de probabilité.

1. Épreuve et schéma de Bernoulli (rappels)

Par indépendance, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités le long de la branche. Pour SES : 0,6 × 0,4 × 0,6 = 0,144. Toute issue à 2 succès et 1 échec a la même probabilité, quel que soit l’ordre : 0,6² × 0,4 = 0,144.

2. Coefficients binomiaux

La relation de Pascal se comprend sur l’arbre : pour avoir k + 1 succès en n + 1 épreuves, soit la dernière épreuve est un succès (il faut alors k succès avant : C(n ; k) chemins), soit c’est un échec (il faut k + 1 succès avant : C(n ; k + 1) chemins). Elle construit le triangle de Pascal.

3. La loi binomiale B(n ; p)

Démonstration. Dans l’arbre du schéma de Bernoulli, un chemin qui comporte exactement k succès et n − k échecs a pour probabilité p^k(1 − p)^{n − k} (produit le long de la branche, épreuves indépendantes). Il y a C(n ; k) chemins de ce type, et ils correspondent à des événements deux à deux incompatibles. On additionne leurs probabilités, d’où la formule.

Comme les événements {X = 0}, …, {X = n} forment une partition de l’univers, la somme des probabilités vaut 1. C’est exactement la formule du binôme : (p + (1 − p))ⁿ = 1.

4. Reconnaître et justifier une loi binomiale

Observe l’allure des diagrammes en bâtons : pour p = 0,3 et n = 10, la loi est « penchée » vers la gauche, avec un maximum en k = 3. Le diagramme de B(10 ; 0,7) serait son symétrique par rapport à k = 5.

5. Calculer des probabilités : P(X = k), P(X ≤ k) et autres

La calculatrice donne deux fonctions : la densité P(X = k) (« BinomialPD » ou « binomFdp » ou « binomial_pdf ») et la répartition P(X ≤ k) (« BinomialCD » ou « binomFRép »). Il faut savoir ramener toute probabilité à ces deux-là.

from math import comb

def proba(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def repartition(n, p, k):
    total = 0
    for i in range(k + 1):
        total = total + proba(n, p, i)
    return total

print(proba(10, 0.3, 4))
print(repartition(10, 0.3, 4))

6. Espérance, variance et écart type

Démonstration de E(X) = np. On pose q = 1 − p. Par définition, E(X) = Σ k C(n ; k) p^kq^{n − k} (somme pour k de 0 à n). Le terme k = 0 est nul. Pour k ≥ 1, on utilise k C(n ; k) = n C(n − 1 ; k − 1) (vérifie avec les factorielles). Ainsi E(X) = np × Σ C(n − 1 ; k − 1) p^{k − 1}q^{(n − 1) − (k − 1)}, avec k − 1 allant de 0 à n − 1. La somme est celle des probabilités de la loi B(n − 1 ; p) : elle vaut 1. Donc E(X) = np.

Pour la variance (admise), on écrit X = X₁ + … + X_n, où chaque X_i vaut 1 en cas de succès et 0 sinon. Chaque X_i a pour espérance p et pour variance p(1 − p) ; les X_i sont indépendantes, donc les variances s’ajoutent : V(X) = np(1 − p).

La variance np(1 − p) est maximale pour p = 0,5, car p(1 − p) ≤ 14 (la quantité 1/4 − p(1 − p) vaut (p − 0,5)², toujours positive). Un schéma « équilibré » est donc le plus dispersé.

7. « Au moins un succès » et recherche de seuil

On peut aussi chercher le seuil par tâtonnement à la calculatrice (tableau de valeurs) ou avec un programme :

def seuil(p, cible):
    n = 1
    while 1 - (1 - p)**n < cible:
        n = n + 1
    return n

print(seuil(0.05, 0.95))

Ce programme renvoie 59. Vérifions : 1 − 0,95⁵⁸ ≈ 0,949 < 0,95 et 1 − 0,95⁵⁹ ≈ 0,952 ≥ 0,95.

8. Intervalle de probabilité, fluctuation et concentration

Quand X suit B(n ; p), les valeurs de X « raisonnables » se concentrent autour de E(X). Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est un intervalle [a ; b] d’entiers tel que P(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,95.

9. Simuler et programmer une loi binomiale

On peut simuler X en répétant n fois une épreuve de Bernoulli avec random.random(), qui renvoie un nombre aléatoire de [0 ; 1[. Avec N simulations, la fréquence observée d’un événement s’approche de sa probabilité (loi des grands nombres).

import random

def binomiale(n, p):
    s = 0
    for i in range(n):
        if random.random() < p:
            s = s + 1
    return s

N = 10000
compteur = 0
for j in range(N):
    if binomiale(20, 0.4) >= 10:
        compteur = compteur + 1
print(compteur / N)

Ce programme estime P(X ≥ 10) pour X suivant B(20 ; 0,4). La vraie valeur est ≈ 0,245 : la simulation s’en approche, sans jamais être exacte, et deux exécutions donnent des résultats légèrement différents.

À retenir

• Schéma de Bernoulli : n épreuves à deux issues, identiques et indépendantes, de probabilité de succès p.
• X = nombre de succès suit B(n ; p) et P(X = k) = C(n ; k) p^k(1 − p)^{n − k}.
• C(n ; k) = n! ÷ (k!(n − k)!) ; symétrie ; relation de Pascal ; somme d’une ligne = 2ⁿ.
• Sans remise dans une petite population, la loi n’est pas binomiale.
• Tout se ramène à P(X ≤ k) : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
• E(X) = np, V(X) = np(1 − p), σ(X) = √(np(1 − p)).
• P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ ; seuil par logarithme (attention au sens de l’inégalité), tableau ou Python.
• Intervalle de fluctuation à 95 % : a = plus petit entier avec P(X ≤ a) > 0,025, b = plus petit entier avec P(X ≤ b) ≥ 0,975.
• Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) ÷ δ².