2 Dérivées et primitives / 3 pts
Calculatrice non autorisée.
- Dérive g(x) = ex²−3x.
- Dérive h(x) = (x + 3)e2x et factorise.
- Donne une primitive de k(x) = 4x ex² puis de m(x) = e−3x+1.
3 Limites / 3 pts
Calcule, en justifiant :
- limx→+∞ (x² − 3x) e−x
- limx→−∞ (2x + 1) ex
- limx→+∞ (ex − x²)
4 Étude de fonction / 8 pts
Calculatrice autorisée pour les valeurs approchées. Soit f(x) = (2x − 1)e−x définie sur ℝ.
- Calcule la limite de f en +∞ et en −∞. Que peut-on dire de la courbe ?
- Montre que f ′(x) = (3 − 2x)e−x et dresse le tableau de variations complet.
- Donne l’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 0.
- Montre que f ″(x) = (2x − 5)e−x. Étudie la convexité et précise le point d’inflexion.
- Résous f(x) = 0.
- Combien de solutions l’équation f(x) = 0,4 admet-elle ? Justifie.
5 Modélisation : médicament / 3 pts
Calculatrice autorisée. La concentration d’un médicament dans le sang (en mg/L) vérifie C ′ = −0,25 C (le temps t est en heures) avec C(0) = 8.
- Donne l’expression de C(t).
- Calcule la demi-vie du médicament (valeur exacte puis approchée en heures).
- À partir de quel instant la concentration est-elle inférieure à 1 mg/L ?
