Limites de fonctions : exercices de maths Terminale

1 Limites de référence ★★★

Donne, sans justification, les limites suivantes.

1. lim_x→−∞ x³
2. lim_x→+∞ √x
3. lim_x→+∞ 1x²
4. lim_x→0⁺ 1x
5. lim_x→0⁻ 1x
6. lim_x→−∞ 1x³

2 Vrai ou faux ? ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie (un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse).

1. Si lim_x→+∞ f(x) = 0, alors f(x) > 0 pour x assez grand.
2. Si lim_x→+∞ f(x) = +∞, alors f est croissante sur [0 ; +∞[.
3. La courbe de x ↦ 1x² admet l’axe des ordonnées pour asymptote verticale.
4. Comme x² → +∞ et x² → +∞, la limite de x² − x² en +∞ n’existe pas.

3 Opérations simples ★★★

Détermine les limites suivantes en citant les limites de référence utilisées.

1. lim_x→+∞ (√x + 5)
2. lim_x→+∞ (3 − 1x)
3. lim_x→−∞ (x³ − 4)
4. lim_x→0⁺ (1x + 2)
5. lim_x→+∞ x² √x
6. lim_x→−∞ (x² + 1x)

4 Lecture graphique ★★★

On donne la courbe d’une fonction f définie sur ℝ \ {2}.

1. Lis lim_x→+∞ f(x) et lim_x→−∞ f(x).
2. Lis lim_x→2⁺ f(x) et lim_x→2⁻ f(x).
3. Quelles sont les équations des asymptotes à la courbe ?

5 Asymptotes d’une courbe ★★★

Soit f(x) = 3 + 2x+4 définie sur ℝ \ {−4}.

1. Calcule les limites de f en +∞ et en −∞. Que peux-tu dire de la courbe ?
2. Calcule les limites de f en −4⁺ et en −4⁻. Que peux-tu dire de la courbe ?
3. Étudie la position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale.

6 Quotient et signe du dénominateur ★★★

Détermine les limites suivantes.

1. lim_x→3⁺ 1x−3
2. lim_x→3⁻ 1x−3
3. lim_x→−2⁺ 5x+2
4. lim_x→0⁻ −2x²
5. lim_x→4⁺ 34−x

7 Coût moyen de fabrication ★★★

Un atelier fabrique chaque jour q objets (q > 0). Le coût total est 2q + 300 euros. Le coût moyen par objet est C(q) = 2q+300q.

1. Montre que C(q) = 2 + 300q.
2. Calcule lim_q→+∞ C(q) et interprète le résultat.
3. Calcule lim_q→0⁺ C(q) et interprète le résultat.
4. À partir de quelle production quotidienne le coût moyen est-il inférieur ou égal à 2,50 euros ?

8 Polynômes en l’infini ★★★

Détermine les limites suivantes (forme indéterminée à lever).

1. lim_x→+∞ (x³ − 5x² + 2)
2. lim_x→−∞ (−2x⁴ + x³)
3. lim_x→+∞ (x − x²)
4. lim_x→−∞ (4x³ − x)

9 Fractions rationnelles en l’infini ★★★

Calcule les limites en +∞ et en −∞ des fonctions suivantes.

1. f(x) = 3x²−x+1x²+4
2. g(x) = 2x+1x²−3
3. h(x) = x³+12x²−1
4. k(x) = 5x−21−x

10 Formes 0/0 ★★★

Détermine les limites suivantes.

1. lim_x→3 x²−9x−3
2. lim_x→2 x²−5x+6x−2
3. lim_x→0 x²−xx
4. lim_x→2 x+1x²−4x+4

11 Deux asymptotes verticales ★★★

Soit f(x) = x−1x²−x−2.

1. Factorise le dénominateur et donne l’ensemble de définition de f.
2. Détermine les limites de f en +∞ et en −∞.
3. Détermine les limites de f à gauche et à droite de chaque valeur interdite.
4. Donne les équations des asymptotes à la courbe.

12 Quantité conjuguée ★★★

Détermine les limites suivantes.

1. lim_x→+∞ (√(x+3) − √x)
2. lim_x→+∞ (√(x²+1) − x)
3. lim_x→+∞ (√x − x)
4. lim_x→−∞ (√(x²+1) + x)

13 Composition ★★★

Détermine les limites suivantes en utilisant le théorème de composition.

1. lim_x→+∞ √(x²+1)
2. lim_x→+∞ (1 + 2x)³
3. lim_x→2⁺ √(1x−2)
4. lim_x→+∞ cos(1x)
5. lim_x→−∞ 1√(x²+1)

14 Encadrements simples ★★★

En utilisant un théorème de comparaison, détermine :

1. lim_x→+∞ (x + cos x)
2. lim_x→+∞ (3x − 2 sin x)
3. lim_x→+∞ (−x² + 3 sin x)
4. lim_x→+∞ cos xx²

15 Position par rapport à l’asymptote ★★★

Soit f(x) = 2x+3x+1 définie sur ℝ \ {−1}.

1. Montre que f(x) = 2 + 1x+1.
2. Déduis-en les limites de f en +∞, en −∞ et en −1 (à gauche et à droite).
3. Donne les équations des asymptotes, puis étudie la position de la courbe par rapport à l’asymptote horizontale.

16 Trouver des paramètres ★★★

Soit f(x) = ax+bx−1 où a et b sont deux réels. La courbe de f admet la droite d’équation y = 3 pour asymptote horizontale et passe par le point A(2 ; 7).

1. Exprime lim_x→+∞ f(x) en fonction de a et déduis la valeur de a.
2. Utilise le point A pour trouver b.
3. Pour f(x) = 3x+1x−1, étudie les limites en 1 et vérifie que f(x) − 3 = 4x−1.

17 Gendarmes ★★★

Détermine les limites suivantes à l’aide du théorème des gendarmes.

1. lim_x→+∞ 2x+sin xx+1
2. lim_x→+∞ 3+cos xx²+1
3. lim_x→+∞ x cos xx²+1

18 Croissances comparées ★★★

Détermine les limites suivantes (E désigne la fonction exponentielle : E^x = e^x).

1. lim_x→+∞ eˣx²
2. lim_x→+∞ x e^−x
3. lim_x→+∞ ln xx²
4. lim_x→0⁺ x ln x
5. lim_x→+∞ (e^x − x²)
6. lim_x→−∞ x² e^x

19 Une racine et un quotient ★★★

On considère f(x) = √(x²+x) − x pour x > 0.

1. Montre que f(x) = x√(x²+x) + x.
2. Divise numérateur et dénominateur par x et déduis lim_x→+∞ f(x).
3. Interprète le résultat pour la courbe de f.

20 Vitesse limite d’un train ★★★

Un train accélère à partir de l’arrêt. Sa vitesse, en km/h, au bout de t minutes est v(t) = 80tt+5 (t ≥ 0).

1. Montre que v(t) = 80 − 400t+5.
2. Calcule lim_t→+∞ v(t). Que représente ce nombre ?
3. Au bout de combien de minutes le train atteint-il 72 km/h ?
4. Le train atteint-il un jour 80 km/h ? Justifie.

21 Étude complète des asymptotes ★★★

Soit f(x) = 2x²−x−1x²−4.

1. Détermine l’ensemble de définition de f.
2. Calcule les limites de f en +∞ et en −∞.
3. Calcule les limites de f en 2⁺, 2⁻, −2⁺ et −2⁻.
4. Donne les asymptotes à la courbe.
5. Montre que f(x) − 2 = 7−xx²−4 puis étudie la position de la courbe par rapport à l’asymptote horizontale.

22 Démontrer une limite infinie ★★★

On considère f(x) = x²+cos xx+1 pour x > 0.

1. Montre que pour x > 0, f(x) ≥ x²−1x+1.
2. Simplifie x²−1x+1 puis déduis lim_x→+∞ f(x).
3. Rédige la même démarche pour montrer que lim_x→+∞ x²+cos xx = +∞ (sans simplification utile).